具体描述
With the advent of powerful computing tools and numerous advances in mathematics, computer science and cryptography, algorithmic number theory has become an important subject in its own right. Both external and internal pressures gave a powerful impetus to the development of more powerful algorithms. These in turn led to a large number of spectacular breakthroughs. To mention but a few, the LLL algorithm which has a wide range of applications, including real world applications to integer programming, primality testing and factoring algorithms, sub-exponential class group and regulator algorithms, etc ……
本书为英文版！
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用户评价
这本书的内容让我对计算代数在数值分析中的作用有了全新的认识。作者们在讲解多项式根的求解时，不仅仅是介绍了数值方法，还深入到利用多项式的代数性质来简化求解过程。例如，通过利用多项式的对称性来减少计算量，或者通过分析多项式的判别式来判断根的性质。这种从代数根源出发的思路，使得读者能够更深入地理解数值算法的优劣和适用范围。我特别喜欢书中关于逼近理论的章节，作者们从代数结构出发，探讨了如何构造最优的逼近基，例如使用伯恩斯坦基来构造 Bézier 曲线，这在计算机图形学和设计领域有着广泛的应用。书中对这些应用场景的详细阐述，使得抽象的数学概念变得更加具体和生动。此外，书中关于线性代数中的谱分析部分，也从代数角度出发，探讨了矩阵的特征值和特征向量的计算，以及这些代数不变量在数值问题中的意义。它不仅仅是介绍了算法，更重要的是解释了算法背后的代数原理。这本书的优点在于，它能够引导读者从更深层次去理解数值问题，去发现隐藏在计算背后的数学美。对于那些希望在数学和计算机科学交叉领域有所成就的读者，这本书无疑是一次宝贵的学习机会。
评分这本书在数值分析与代数方法融合的探索上，无疑达到了相当高的水准。书中关于矩阵特征值问题的讨论，除了介绍常见的迭代法如幂法和反幂法，还深入分析了基于代数几何的方法，例如使用伴随矩阵来构建特征多项式，并进一步利用多项式根的性质来求解特征值。这是一种更具数学深度的视角，能够帮助读者理解数值算法背后更本质的代数原理。我特别喜欢书中关于多项式插值和逼近的章节，它不仅仅是介绍插值多项式的构造，更是探讨了如何在代数结构上构造更优的插值基，例如使用伯恩斯坦基来构造Bézier曲线，这在计算机图形学和设计领域有着广泛的应用。书中对于这些应用场景的详细阐述，使得抽象的代数概念变得触手可及。另外，书中关于误差分析的部分，也与代数结构紧密相连。例如，在分析插值误差时，作者们会从多项式误差项的代数形式入手，分析其性质，并提出优化策略。这种从代数源头追溯数值问题的思路，是本书最显著的特色之一。它不仅仅教会我们如何做计算，更重要的是教会我们为什么这样做，以及如何做得更好。对于那些希望理解数值算法背后数学原理的读者来说，这本书无疑是一本不可多得的宝典。
评分我从这本书中获得的不仅仅是数值计算的技巧，更重要的是理解了计算代数如何为这些技巧提供坚实的理论基础。作者们在讲解多项式插值时，并没有止步于插值多项式的构造，而是深入到关于多项式环和理想的代数理论，以及如何利用这些理论来构造更有效的插值基。这为理解更高级的插值理论，如 Hermite 插值和样条插值，奠定了坚实的代数基础。我特别欣赏书中关于 Gröbner 基在求解非线性代数方程组中的应用。虽然 Gröbner 基的计算本身可能非常复杂，但它提供了一种系统性的方法来解决各种代数方程组问题，并且在理论上具有普适性。书中对 Gröbner 基算法的详细讲解，以及其在数值计算中的应用潜力，都令人印象深刻。此外，书中关于矩阵特征值问题的讨论，也从代数几何的角度出发，探讨了如何利用代数方法来分析特征值和特征向量的性质，并进一步指导数值算法的设计。这些内容都表明，作者们并非简单地罗列数值算法，而是从代数结构和理论的高度来理解和组织这些算法，从而让读者能够形成更深刻、更系统的认识。这本书无疑为那些希望在数值计算领域进行更深入研究的读者，提供了一个坚实的理论基础和广阔的研究视角。
评分这本书在计算代数与数值计算的结合点上，提供了一种非常独特的视角。作者们并没有回避那些数学上较为抽象的概念，而是将其巧妙地融入到数值算法的讲解中。例如，在介绍线性方程组的求解时，书中不仅仅涵盖了基本的迭代法，还引入了基于代数理论的预条件技术，并且深入探讨了这些预条件子的代数构造和性质。这使得读者能够理解为什么某些预条件子能够显著加速收敛速度，而不仅仅是将其视为一个黑箱。我特别欣赏书中关于多项式插值和逼近的部分，作者们从代数几何的角度出发，探讨了插值问题与代数曲线的联系，以及如何利用代数方法来构造最优的逼近。这为理解更高级的逼近理论，如最佳一致逼近，打下了坚实的基础。此外，书中关于数值优化部分，也从代数入手，探讨了与代数方程组求解相关的优化问题，例如使用牛顿法求解非线性方程组，而牛顿法本身就涉及到雅可比矩阵的求逆，这又回到了代数计算的范畴。本书的整体风格是严谨而不失趣味，它鼓励读者去思考数值算法的代数本质，去发现数学的美妙之处。对于那些希望在数值计算领域有所建树，并且对数学理论有浓厚兴趣的读者来说，这本书绝对是值得深入研读的。
评分这本书在探讨计算代数与数值分析的结合时，展现出了一种独特的深度和广度。作者们并没有仅仅罗列数值算法，而是深入到那些能够体现代数结构在数值计算中扮演关键角色的核心思想。例如，在关于多项式插值的章节中，书中不仅仅介绍了拉格朗日插值和牛顿插值，还引入了关于多项式环的代数结构，以及如何利用这些结构来构造更有效的插值基。这为理解更高级的插值理论，如 Hermite 插值和样条插值，奠定了坚实的代数基础。我特别欣赏书中关于线性方程组求解的章节，它不仅仅涵盖了基本的迭代法，还引入了基于代数理论的预条件技术，并且深入探讨了这些预条件子的代数构造和性质。这使得读者能够理解为什么某些预条件子能够显著加速收敛速度，而不仅仅是将其视为一个黑箱。此外，书中关于数值优化部分，也从代数入手，探讨了与代数方程组求解相关的优化问题，例如使用牛顿法求解非线性方程组，而牛顿法本身就涉及到雅可比矩阵的求逆，这又回到了代数计算的范畴。这本书的优点在于，它能够引导读者从更深层次去理解数值问题，去发现隐藏在计算背后的数学美。
评分从这本书的视角来看，我们能够窥见计算代数如何深刻地影响着数值分析的各个分支。书中关于多项式根的求解部分，不仅仅停留在数值方法如牛顿法、二分法，而是深入探讨了基于多项式理论的更优化的算法，例如使用判别式来分析根的性质，或者利用根的对称性来简化计算。这对于理解为什么某些数值方法在特定情况下表现得更好，提供了理论依据。我尤其被书中关于代数方程组求解的章节所吸引，它不仅仅是线性代数中的高斯消元法，更重要的是引入了基于多项式环和理想的 Gröbner 基理论。虽然 Gröbner 基的计算本身可能非常复杂，但它提供了一种系统性的方法来解决非线性代数方程组，并且在理论上具有普适性。书中对 Gröbner 基算法的介绍，虽然不是最简化的实现，但却很好地阐释了其核心思想和在数值求解中的潜力。此外，书中关于数值积分的部分，也从代数角度出发，探讨了如何构造最优的数值积分公式，而不是仅仅依赖于经验性的方法。例如，通过代数方法求解高斯积分的节点和权重，可以获得更高的精度。这些内容都表明，作者们并非简单地罗列数值算法，而是从代数结构和理论的高度来理解和组织这些算法，从而让读者能够形成更深刻、更系统的认识。这本书无疑为那些希望在数值计算领域进行更深入研究的读者，提供了一个坚实的理论基础和广阔的研究视角。
评分这本书的作者们显然是在数学教育领域有着深厚的积累，从这本书的整体结构和内容编排上就可以看出来。在选择讲解代数和数值分析的交汇点时，他们并没有选择最直观、最表面的联系，而是深入到那些能够真正体现计算代数在数值计算中扮演关键角色的核心算法和理论。例如，关于多项式插值和逼近，书中不仅仅是介绍了拉格朗日插值公式和牛顿插值法，更深入地探讨了切比雪夫逼近理论，以及如何利用Chebyshev多项式来优化插值误差，这对于理解数值分析中的最佳逼近问题至关重要。而且，在讲解过程中，作者们非常注重理论与实践的结合，大量的例子都来源于实际应用，比如信号处理中的滤波器设计、物理建模中的曲线拟合等等，这使得抽象的数学概念变得生动具体，也让读者能够感受到计算代数在解决实际问题中的强大威力。此外，书中对一些高级主题的介绍，如代数数论在密码学中的应用，以及代数几何在计算机图形学中的作用，都极大地拓宽了读者的视野，让人惊叹于数学的无限可能性。虽然有些章节的数学推导相当严谨，需要读者具备一定的数学基础，但这正是本书的价值所在，它不是一本泛泛而谈的入门读物，而是一本能够真正引领读者深入探索计算代数数值论精髓的著作。我特别欣赏作者们在引入每个新概念时，都会先回顾相关的背景知识，然后层层递进，使得整个学习过程流畅而高效。
评分这本书在计算代数与数值分析的交汇之处，提供了一种非常深刻的洞察。作者们并非简单地介绍数值方法，而是从代数结构的高度来理解和组织这些方法。例如，在关于多项式根的求解部分，书中不仅仅是介绍了数值方法，还深入探讨了如何利用多项式的代数性质，例如通过构建伴随矩阵，然后求解伴随矩阵的特征值来求多项式的根。这种思路将代数理论与数值计算巧妙地结合起来，展现了计算代数在数值分析中的重要地位。我特别喜欢书中关于逼近理论的章节，作者们从代数结构出发，探讨了如何构造最优的逼近基，例如使用切比雪夫多项式来获得最优的一致逼近，这在信号处理和数据分析中有广泛的应用。书中对这些应用场景的详细描述，让理论知识变得更加生动。此外，书中关于数值积分的部分，也从代数角度出发，探讨了如何构造最优的数值积分公式，例如通过求解高斯积分的节点和权重，来获得更高的精度。这些内容都体现了作者们对代数思想在数值计算中应用的深刻理解。这本书的价值在于，它能够引导读者跳出单纯的算法层面，去思考数值问题背后的代数结构和原理，从而形成更全面的知识体系。
评分我被这本书的深度和广度深深吸引。它不仅仅是一本关于数值方法的教程，更是一本关于如何利用计算代数的强大工具来解决数值问题的指导书。书中关于多项式求根的讨论，就超越了单纯的数值算法，深入到利用多项式的代数性质，例如通过构建伴随矩阵，然后求解伴随矩阵的特征值来求多项式的根。这种思路将代数理论与数值计算巧妙地结合起来，展现了计算代数在数值分析中的重要地位。我特别喜欢书中关于逼近理论的章节，作者们从代数结构出发，探讨了如何构造最优的逼近基，例如使用切比雪夫多项式来获得最优的一致逼近，这在信号处理和数据分析中有广泛的应用。书中对这些应用场景的详细描述，让理论知识变得更加生动。另外，书中关于线性代数中的谱分析部分，也从代数角度出发，探讨了矩阵的特征值和特征向量的计算，以及这些代数不变量在数值问题中的意义。它不仅仅是介绍了算法，更重要的是解释了算法背后的代数原理。这本书的优点在于，它能够引导读者从更深层次去理解数值问题，去发现隐藏在计算背后的数学美。对于那些希望在数学和计算机科学交叉领域有所成就的读者，这本书无疑是一次宝贵的学习机会。
评分从这本书的整体脉络来看，作者们试图构建一个计算代数与数值分析相辅相成的知识体系。在讲解多项式插值时，书中不仅仅是介绍了传统的插值方法，还引入了关于多项式环的代数结构，以及如何利用这些结构来构造更有效的插值基。这为理解更高级的插值理论，如Hermite插值和样条插值，奠定了坚实的代数基础。我尤其欣赏书中关于多项式方程组求解的章节，它不仅仅是介绍了数值方法，更重要的是引入了 Gröbner 基理论，并探讨了 Gröbner 基在求解非线性代数方程组中的优势。虽然 Gröbner 基的计算可能非常复杂，但它提供了一种理论上的普适性方法，能够系统地解决各种代数方程组问题。书中对 Gröbner 基算法的详细讲解，以及其在数值计算中的应用潜力，都令人印象深刻。此外，书中关于数值积分的部分，也从代数角度出发，探讨了如何构造最优的数值积分公式，例如通过求解高斯积分的节点和权重，来获得更高的精度。这些内容都体现了作者们对代数思想在数值计算中应用的深刻理解。这本书的价值在于，它能够引导读者跳出单纯的算法层面，去思考数值问题背后的代数结构和原理，从而形成更全面的知识体系。
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