具体描述
深度解析：数学思维的基石与应用前沿 书名：高等数学 上册 内容提要： 本书《高等数学 上册》是一部旨在系统、深入地构建读者现代数学思维体系的权威性教材。它立足于严格的逻辑推理和清晰的几何直观，全面覆盖了微积分学的核心内容，为理工科、经济学以及相关交叉学科的后续学习奠定坚实的基础。全书的编写遵循“由浅入深，循序渐进，理论与应用紧密结合”的原则，力求在保证数学严谨性的同时，最大程度地贴合现代科学技术发展的需求。 本书内容主要围绕以下几个核心模块展开，力求构建一个逻辑自洽且富有启发性的知识网络： 第一部分：预备知识与函数极限（奠定分析学根基） 本部分首先对读者已有的中学数学知识进行回顾与提升，重点在于建立严格的数学分析概念。 1. 数系与基本概念的重构： 我们将详细探讨实数系的完备性，引入“有界性原理”（或称“上确界原理”），这是整个高等数学分析部分能够成立的根本公理基础。理解实数的内在结构是后续处理极限、连续性等概念的关键。 2. 序列（数列）的极限： 详细阐述数列极限的$epsilon-N$ 定义。不同于直观理解，本书强调对该定义的精确把握，并通过构造性证明来展示如何判断一个序列是否收敛。同时，引入柯西收敛准则，并论证了有界单调数列必收敛的定理，这是分析学中最为重要的收敛性判据之一。 3. 函数与极限： 这是全书逻辑的第一个高潮。函数部分不仅涵盖了函数的四要素（定义域、对应法则、值域）和基本函数的性质（如有界性、周期性、单调性、奇偶性），更重要的是对函数极限的精确定义（$epsilon-delta$ 定义）进行了深入剖析。本书通过大量的几何直观图示和代数运算实例，帮助读者克服对该定义的畏惧感，理解“任意小的邻域”所蕴含的精确控制力。 4. 连续性与间断点： 基于函数极限，本部分严格定义了函数的连续性（左、右连续性及在点、区间上的连续性）。着重分析了连续函数在闭区间上的三大基本性质：有界性定理、最大值最小值定理，以及介值定理。这些定理在后续的微积分计算和实际问题建模中具有不可替代的作用。对各种类型的间断点（可去、跳跃、无穷间断点）的分类讨论，加深了对函数图像局部行为的理解。 第二部分：导数与微分（刻画变化率的工具） 本部分是高等数学的核心，是研究函数瞬时变化率的数学工具。 1. 导数的概念与几何意义： 从切线斜率和瞬时速度这两个经典的物理模型出发，严格定义了导数。重点剖析了导数的几何意义（切线斜率）和物理意义（瞬时变化率）。导数存在的充分必要条件与函数在该点连续性的关系将被深入探讨。 2. 求导法则与基本初等函数的导数： 系统总结了加减乘除、复合函数（链式法则）、反函数以及隐函数和参数方程的求导法则。本书特别强调了链式法则的灵活应用，它是进行复杂函数求导和隐函数求导的基础。随后，对幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及其反函数的导数公式进行了严格推导和记忆策略指导。 3. 高阶导数与微分： 引入高阶导数的概念，并阐述其在物理学中描述加速度、角加速度等高阶变化率的应用。微分的概念被引入，强调$dy = f'(x)dx$ 这一线性近似关系，它为泰勒级数和数值计算提供了理论基础。 4. 中值定理（微积分学的核心定理）： 本部分将重点介绍并证明罗尔定理、拉格朗日中值定理（平均值定理）以及柯西中值定理。这些定理是微积分学从定义走向应用的关键桥梁。特别是拉格朗日中值定理，它揭示了函数在区间上的平均变化率与区间内某一点的瞬时变化率之间的内在联系。 5. 导数的应用（局部性质）： 运用中值定理，深入探讨函数的单调性（一阶导数判别法）和极值（一阶、二阶导数判别法）。基于这些分析，读者将掌握如何使用导数工具描绘函数图形（确定拐点、凹凸性）。 6. 不定式与洛必达法则： 针对 $0/0$ 和 $infty/infty$ 等不定式极限，系统讲解洛必达法则。本书不仅展示了法则的应用，更深入探究了法则适用的严格条件，并拓展讨论了其他不定式（如 $1^infty, 0 cdot infty, infty - infty, 0^0$）如何通过代数变形转化为可应用洛必达法则的形式。 第三部分：定积分（累积效应的量化） 本部分从对曲边梯形面积的求解出发，引出定积分的概念，并将其推广到更广泛的累积问题。 1. 定积分的定义与性质： 从黎曼和的极限角度严格定义定积分。详细讨论了定积分的线性性、区间可加性等基本性质。对积分的上、下和（达布斯和）的讨论，为判断函数是否可积提供了更一般的标准。 2. 微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）： 这是高等数学的第二个逻辑高潮。本书将微积分基本定理视为连接微分学和积分学的“金桥”，并对其进行严谨的证明。该定理将求解定积分的复杂求和过程，转化为求原函数原函数求值的简单过程。 3. 不定积分的求解方法： 全面系统地介绍求解不定积分的各种技巧，这是实际应用中的技术核心： 换元积分法（第一、第二类）： 重点分析如何根据被积函数的结构特征选择合适的替换变量。 分部积分法： 总结“反对面对数幂三角”的选取口诀，并通过实例展示其迭代应用。 有理函数的积分： 详细讲解部分分式分解法，这是求解复杂有理函数积分的标准化流程。 三角有理式的积分：介绍三角换元法在特定形式积分中的应用。 4. 定积分的应用： 定积分的应用展示了其强大的量化能力： 几何应用： 计算平面图形的面积、旋转体的体积、弧长以及曲面的面积。 物理应用： 计算变力做功、质心、转动惯量等物理量。 经济应用： 涉及总成本、总收益与边际量之间的累积关系。 全书特色： 本书在概念的引入上保持了高度的抽象性和严谨性，同时在例题和习题的设计上，兼顾了基础巩固与思维拓展。每一个定理的证明都力求清晰，旨在让学习者不仅“知道是什么”，更能理解“为什么是这样”。旨在培养读者运用数学语言精确描述和解决实际问题的能力。
作者简介
目录信息
读后感
评分
评分
评分
评分
评分
用户评价
评分
评分
评分
评分
评分
相关图书
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2026 book.wenda123.org All Rights Reserved. 图书目录大全 版权所有