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出版者:东南大学出版社

作者:俞南雁

出品人:

页数:281

译者:

出版时间:2000-8

价格:14.00元

装帧:

isbn号码:9787810239059

丛书系列:

图书标签:

• 线性代数
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• 数值计算

深入探索计算科学的基石：离散数学与算法设计 图书名称： 离散数学与算法设计 内容提要： 本书旨在为读者提供一个全面而深入的离散数学基础，并以此为阶梯，系统地探讨现代计算机科学与工程领域的核心——算法设计与分析。我们深知，在信息爆炸的时代，对离散结构的精确理解和高效解决问题的能力是构建任何复杂系统的基石。本书不仅仅是数学理论的堆砌，更是一座连接抽象逻辑与实际应用（如图形学、网络通信、数据结构优化等）的坚实桥梁。 全书内容划分为四大核心模块，旨在构建一个由浅入深、逻辑严密的知识体系： --- 第一部分：逻辑、集合与证明的艺术（The Craft of Logic, Sets, and Proof） 本部分是构建数学思维的起点，重点在于培养严谨的逻辑推理能力和数学表达的精确性。 1. 数理逻辑基础： 我们从命题逻辑（Propositional Logic）开始，详述联结词、真值表、重言式、矛盾式以及逻辑等价性。随后深入到谓词逻辑（Predicate Logic），引入量词（全称量词与存在量词）的意义及其在数学陈述中的应用。本章强调如何将自然语言描述的问题转化为符号逻辑表达式，并使用推理规则（如肯定前件、否定后件）进行有效推导。 2. 集合论与函数： 集合是所有数学对象的容器。本章细致讲解集合的代数运算（并、交、差、补集），笛卡尔积，以及幂集的构造。特别关注无穷集合的概念，引入可数集与不可数集（如实数集）的区别，为后续的计算复杂性理论埋下伏笔。此外，详尽阐述函数的各种性质：单射（一对一）、满射（映 onto）和双射（一一对应），及其在编码和映射中的重要性。 3. 证明的技巧与范式： 证明是数学的灵魂。本章系统梳理主要的证明方法：直接证明、间接证明（反证法）、数学归纳法（包括强归纳法和良序原理的应用）。我们通过大量精心挑选的实例，展示如何选择最合适的证明策略来解决数论和集合论中的问题，旨在让读者掌握“如何证明”而非仅仅“知道结论”。 --- 第二部分：结构化计数与组合分析（Structured Counting and Combinatorial Analysis） 本部分聚焦于“数数”的艺术——如何精确计算事件发生的可能性。这直接关系到概率论的应用和算法的效率评估。 4. 基础计数原理： 详述加法原理和乘法原理。重点讲解排列（Permutations，考虑顺序）与组合（Combinations，不考虑顺序）的公式及其适用场景，包括带重复的排列组合。 5. 高级计数技术： 引入鸽巢原理（The Pigeonhole Principle）的强大应用，展示其在证明存在性问题中的简洁性。深入探讨二项式定理和多项式定理，并将其与组合恒等式相结合，展示恒等式的推导与证明过程。 6. 生成函数与递推关系： 生成函数（Generating Functions）被视为处理复杂计数问题的强大工具。本章介绍如何构造生成函数来表示序列，并利用代数方法求解组合问题。同时，系统分析线性常系数齐次递推关系（Linear Homogeneous Recurrence Relations），并使用特征方程法求解，这是分析递归算法时间复杂度的必备技能。 --- 第三部分：图论的广阔天地（The Vast Landscape of Graph Theory） 图论是离散数学中应用最为广泛的分支，它是模型化网络、关系、路径和结构的最佳工具。 7. 图的基本概念与表示： 明确定义图（Graph）、有向图与无向图、子图、通路、回路、连通性等基本术语。深入探讨图的表示方法，包括邻接矩阵（Adjacency Matrix）和邻接表（Adjacency List），并分析不同表示方法在内存占用和操作效率上的权衡。 8. 图的遍历与连通性： 详述图的两种核心遍历算法：深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。分析它们在线路查找、拓扑排序（Topological Sorting）中的关键作用，特别是在处理有向无环图（DAGs）时的应用。 9. 图的特殊结构与性质： 探讨欧拉路径与哈密顿回路的存在性条件。重点讲解树（Trees）的性质，如生成树的概念，并介绍寻找最小生成树的经典算法——普里姆（Prim’s）算法和克鲁斯卡尔（Kruskal’s）算法，这些是网络设计中的核心技术。 10. 图的着色与匹配： 介绍图着色问题（Graph Coloring），包括其与四色定理的历史联系，以及在资源分配中的实际意义。引入匹配理论，特别是二分图中的最大匹配问题及其求解算法（如匈牙利算法的理论基础）。 --- 第四部分：代数结构与算法基础（Algebraic Structures and Algorithmic Foundations） 本部分将离散数学的抽象结构与计算效率紧密结合，为高级算法打下坚实的数学基础。 11. 代数结构初步： 介绍群论的基础概念，包括群（Group）、子群、陪集和同态。虽然不深入代数几何，但重点在于理解代数结构（如模运算下的整数集）如何用于设计高效的加密算法和校验码。 12. 关系与等价关系： 详细分析二元关系（Binary Relations）的性质：自反性、对称性、反对称性和传递性。重点讲解等价关系（Equivalence Relations）的定义及其将集合划分为不相交的等价类（Equivalence Classes）的过程，这在数据库设计和数据抽象中至关重要。 13. 模运算与数论应用： 深入探讨同余（Congruence）的概念及其性质。详细讲解欧几里得算法（Euclidean Algorithm）及其扩展形式，用于求解模逆元。这部分内容是理解RSA等公钥加密体系的数学前提。 14. 算法效率与渐进分析： 这一章作为实践应用的高潮，将离散数学工具应用于算法分析。介绍大O记法（Big O Notation）、Ω记法和Θ记法，精确描述函数增长的上限、下限和紧致界。通过对排序、搜索等基本算法的时间复杂度分析，展示如何使用递推关系（第四章所得）来评估递归算法的效率。 --- 本书的特点在于其理论的严谨性与应用的紧密结合。每一章节都包含大量的例题和习题，旨在促使读者动手实践，将抽象的符号运算转化为解决实际计算问题的能力。它不仅仅是为计算机科学专业的学生准备的入门教材，更是所有需要处理复杂逻辑、数据结构和系统性能的工程师和研究人员的宝贵参考资料。通过系统学习，读者将掌握驾驭离散世界，设计高效计算解决方案的必备思维工具。

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我最近在研究的这本《微分几何入门：流形与张量分析》绝对是近年来几何学教材中的一股清流。它的难度梯度设置非常巧妙，从欧几里得空间中的曲线曲面讲起，逐步过渡到抽象的微分流形，每一步的衔接都显得水到渠成，没有那种生硬的“跳跃感”。书中对黎曼度量的引入，处理得极为细致，通过类比旧的勾股定理在弯曲空间中的推广，很好地解释了为什么我们需要张量来描述长度和角度。最让我印象深刻的是关于测地线的讨论，作者没有满足于给出欧拉-拉格朗日方程，而是用了一个非常形象的比喻：想象一只蚂蚁在苹果表面爬行，它总会选择最短的路径，而测地线就是这个“最短路径”在任意弯曲空间中的精确数学描述。这种将高深概念置于具体物理情境中的能力，使得原本晦涩难懂的微分几何变得触手可及，强烈推荐给想深入了解广义相对论背景的物理或数学学生。

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这部新版的《矩阵运算精要》确实让人眼前一亮，尤其是在对高维空间几何直觉的阐述上，作者的笔触细腻而深刻。我记得以前学矩阵时，总是感觉概念很抽象，像一堆冷冰冰的数字在眼前晃悠，但这本书通过大量精心设计的可视化案例，比如将线性变换与三维世界的旋转、缩放联系起来，使得那些复杂的特征值、特征向量的概念变得异常直观。特别是关于奇异值分解（SVD）那一章，它不仅给出了严谨的数学推导，更重要的是，它解释了SVD在数据降维和图像压缩中是如何“魔法般”起作用的。我花了整整一个下午的时间，对照书中的插图和代码示例（虽然书里没有代码，但描述非常清晰，让人很容易在自己的环境中复现），才真正领会到矩阵的“本质”——它不仅仅是数的排列，而是描述空间形变的映射工具。对于那些希望跨越纯粹计算，真正理解线性代数在现代科学中作用的读者来说，这本书的讲解方式无疑是革命性的，它不再是枯燥的定理堆砌，而是一场深入物理世界和信息科学核心的探索之旅。

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关于《概率论与随机过程：理论与应用》这本书的评价，我必须强调其在应用层面的深度。许多概率论教材在讲完大数定律和中心极限定理后，就迅速转入随机过程的理论框架，留下大片的应用空白。然而，这本书成功地架起了理论与实际工程问题之间的桥梁。例如，在讲解马尔可夫链时，它不仅清晰地推导了稳态分布的性质，还专门辟章讨论了它在网络延迟分析和搜索引擎排序算法中的具体实现细节，这对我当前的工作极有帮助。此外，书中对随机过程的随机微分方程（SDE）部分的讲解，虽然数学上要求较高，但作者通过布朗运动的直观构建，使得读者能够把握住SDE作为金融建模核心工具的精髓，而不是被复杂的积分符号所吓倒。总而言之，这是一本非常“实用”的教材，它要求读者付出努力，但回报的知识密度和应用广度是无可替代的。

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翻阅这本《数论：素数与二次型》时，我最大的感受是作者对“美感”的追求。这本书的行文风格典雅、考究，仿佛在阅读一本古典文学作品，而非冷硬的数学著作。它并没有过多纠缠于计算技巧的复杂性，而是聚焦于数论中那些最具洞察力的定理和猜想。比如，关于素数分布的论述，作者没有直接展示复杂积分公式，而是用数论特有的“筛法”和“期望”来构建读者的直觉，使人感受到素数背后隐藏着一种令人敬畏的秩序感。至于二次型的那部分，书中对高斯和勒让德工作的回顾，展示了数学思想是如何在历史长河中逐步完善的，这种历史的厚重感，是许多现代教材所缺乏的。它教会我的不仅仅是证明某个二次剩余是否存在，更是如何以一种更具哲学思辨的角度去看待自然数本身，非常适合那些对数学的内在逻辑和历史发展感兴趣的读者。

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说实话，我之前对《抽象代数基础》这本书的期望值并不高，毕竟很多教材在处理群论和环论时，总是显得过于学术化和孤立。然而，这本书成功地将抽象结构与具体的例子结合得天衣无缝。例如，在介绍群的概念时，作者没有直接跳到费马小定理，而是先从时钟上的时间循环、对称群（Dih4）的实际操作入手，让读者首先在“操作”层面理解群的封闭性和结合律。更让我惊喜的是，书中对同态和同构的讨论，不仅数学上严谨，还穿插了历史背景，解释了为什么代数学家需要引入这些结构来统一描述不同系统间的关系。这种叙事手法极大地增强了阅读的连贯性，避免了纯粹符号操作带来的疲劳感。虽然对于完全零基础的读者来说，开篇可能需要一些适应期，但一旦度过前两章，你会发现自己对抽象思维的掌握程度有了质的飞跃，这本书更像是一本引导你构建数学心智模型的指南，而非仅仅是知识点的传输。

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