具体描述
有限元法与面向对象编程，ISBN：9787030129888，作者：俞铭华等编著
图书简介：深入解析现代工程计算与软件设计范式 书名：有限元法与面向对象编程（注：此为对比参考，本书内容不涉及此主题） --- 本书名称：高性能计算中的矩阵分解与优化算法 面向读者群体： 本书面向具有一定线性代数和数值方法基础的工程专业学生、科研人员、高性能计算工程师以及对大规模科学计算感兴趣的软件开发者。要求读者熟悉基本的编程概念，并对矩阵运算有初步的了解。 内容概述： 本书旨在系统、深入地探讨现代高性能计算领域中至关重要的核心技术——矩阵分解及其在求解大规模线性方程组和优化问题中的应用。我们聚焦于如何将理论算法转化为高效、可扩展的实际代码，特别强调在多核处理器、图形处理器（GPU）以及分布式集群环境下的性能优化策略。 本书共分为五大部分，循序渐进地构建起从基础理论到前沿应用的知识体系。 --- 第一部分：线性代数基础回顾与高性能计算背景 本部分首先快速回顾了对后续内容至关重要的线性代数基础知识，包括向量空间、矩阵乘法（BLAS 1、2、3级定义）、矩阵范数与条件数。重点在于强调这些数学概念在计算复杂度分析中的作用。 随后，我们详细阐述了高性能计算（HPC）的时代背景。我们将探讨冯·诺依曼架构的局限性，引入内存层次结构（寄存器、L1/L2/L3缓存、主存、外存）的概念，并解释为什么现代算法设计必须以最小化内存访问延迟和最大化数据局部性为核心目标。本部分还将简要介绍衡量计算性能的关键指标，如FLOPS、可扩展性（Scaling）和利用率。 关键章节示例： 并行计算模型概览：SIMD、SIMT与多核并行 内存访问模式分析与缓存效率的理论界限 --- 第二部分：稠密矩阵分解：理论与实现优化 本部分是本书的核心基础，集中研究稠密矩阵（Dense Matrix）的分解技术，特别是LU分解、Cholesky分解和QR分解。 对于每一种分解，我们不仅会给出其数学推导过程和稳定性分析，更会投入大量篇幅讨论其底层实现细节。我们将剖析经典的算法（如Doolittle或Crout方法），并详细介绍如何将其转化为高度优化的代码。重点在于块算法（Block Algorithms）的引入，解释如何通过重排计算顺序，将算法从计算密集型（Compute-bound）转变为内存带宽受限型（Memory-bound）的BLAS 3级操作，从而有效利用现代CPU的流水线和缓存结构。 我们将使用伪代码和实际编程语言（如C/C++）片段来演示数据布局优化（如行主序与列主序的选择）和循环展开（Loop Unrolling）技术的应用。 关键章节示例： LU分解的稳定性：部分选主元策略的实现 Cholesky分解在正定系统求解中的性能优势与线程安全设计 Householder变换与Givens旋转在QR分解中的应用与向量化 --- 第三部分：稀疏矩阵分解：应对大规模系统的挑战 随着问题规模的爆炸式增长，现实世界中的许多应用（如网络分析、有限元网格的求解）产生了极度稀疏的矩阵。本部分专门处理稀疏矩阵（Sparse Matrix）的分解。 由于稀疏矩阵的非结构化特性，传统的块算法不再适用。本部分将重点讨论如何高效地存储稀疏矩阵（如CSR、CSC、COO格式的优缺点与选择标准）。随后，我们将深入探讨稀疏LU分解和稀疏Cholesky分解中填料问题（Fill-in）的控制。我们将介绍最小度排序（Minimum Degree Ordering, AMD/MCS）等预处理技术，这些技术的目标是在分解前重新排列矩阵的行和列，以最小化计算过程中产生的非零元素，从而显著减少内存消耗和计算时间。 关键章节示例： 稀疏矩阵存储格式的内存效率比较 利用图论方法进行矩阵重排序：深度优先搜索与矩阵结构分析 迭代法与直接法的混合策略：稀疏预条件子的构建 --- 第四部分：加速技术与异构计算 理论上高效的算法必须在现代硬件上得到体现。本部分聚焦于如何将矩阵分解算法移植到并行和异构架构上，实现数量级的加速。 我们将首先介绍OpenMP和MPI在多核CPU和多节点集群上的并行化策略，包括如何安全地划分矩阵的行/列子块并处理同步开销。 随后，我们将把重点转向GPU加速。本书将详细讲解CUDA/OpenCL编程模型，并解释如何将标准的BLAS 3级操作（如GEMM）映射到GPU的数千个线程上。我们将剖析cuBLAS等库的内部工作原理，并指导读者如何手动优化Kernel函数，例如利用共享内存（Shared Memory）实现数据重用，以及管理线程块和网格的层次结构以最大化GPU吞吐量。 关键章节示例： MPI中的矩阵块通信拓扑设计与负载均衡 CUDA编程模型深入：线程束（Warp）调度与内存合并访问 混合精度计算在加速矩阵分解中的潜力与误差控制 --- 第五部分：特征值问题的数值方法与高级应用 矩阵分解是求解线性系统 $Ax=b$ 的基石，而特征值问题（求解 $Ax=lambda x$）则是理解系统稳定性和动态特性的关键。本部分将从矩阵分解的角度切入，探讨特征值问题的数值解法。 我们将介绍Power Iteration（幂迭代）、Rayleigh Quotient Iteration以及用于稠密矩阵的QR算法的演进历史，并特别关注其在现代HPC中的优化版本——迭代式Subspace方法。我们将详细讲解如何利用Schur分解或Lanczos/Arnoldi算法来构建高效的迭代求解器，特别是如何为稀疏、非对称矩阵设计有效的预条件子。 本书的最后一个章节将通过实际案例（如结构动力学分析中的模态分析或图的谱聚类）展示这些矩阵分解与特征值算法如何无缝集成到复杂的工程软件栈中，展示其在解决真实世界复杂问题中的强大能力。 关键章节示例： Lanczos算法与稀疏矩阵的特征值估计 矩阵函数求值（如矩阵指数）的算法选择与限制 --- 本书特点总结： 1. 理论与实践紧密结合： 不仅提供数学证明，更侧重于如何将算法转化为高性能的工程代码。 2. 硬件感知型设计： 贯穿始终地关注内存层次结构和并行架构对算法选择的影响。 3. 前沿技术覆盖： 全面涵盖了从传统LU到现代GPU加速稀疏求解器的完整技术栈。 4. 丰富的案例与代码示例： 辅助读者理解复杂概念，并直接应用于自身项目。 通过学习本书，读者将能够设计、实现和优化下一代科学计算软件所需的高效、可扩展的矩阵运算内核。
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