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出版者:武汉大学

作者:郑慧娆 陈绍林 莫忠息

出品人:

页数:577

译者:

出版时间:2004-1

价格:25.50元

装帧:

isbn号码:9787307036307

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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《高等代数与矩阵理论精要》 图书简介 本书旨在为读者提供一个坚实而深入的代数基础，尤其聚焦于线性代数的核心概念及其在现代科学和工程领域中的广泛应用。不同于侧重于数值算法的著作，《高等代数与矩阵理论精要》将核心精力置于理论的严谨性、概念的清晰阐释以及结构性的理解之上。本书的编写遵循逻辑递进的原则，从最基础的集合与映射开始，逐步过渡到向量空间、线性变换、特征值理论，最终触及更高级的矩阵分解与二次型理论。 第一部分：基础结构与向量空间 本书伊始，我们首先奠定了严谨的代数基础。集合论的基本概念被引入，随后重点阐述了群、环、域这三种基本代数结构。这种结构化的引入方式，使得读者能够理解后续向量空间这一核心概念是如何在特定的代数框架下定义的。 向量空间部分是本书的基石。我们详尽地定义了向量空间的公理体系，并通过大量的实例，如函数空间、多项式空间，展示了向量空间的普遍性。线性组合、线性相关性与线性无关性的概念被细致剖析，这是后续理解基与维度的前提。维度定理的证明被置于核心地位，强调了维数作为衡量空间“大小”的内在属性的不可替代性。 本书特别强调了抽象性与具体性的结合。在讲解了抽象的线性空间后，紧接着会引入欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 和 $mathbb{C}^n$，利用直观的几何解释来辅助理解抽象代数结构，例如通过二维和三维空间的几何变换来具象化线性变换。 第二部分：线性变换与矩阵表示 线性变换是连接抽象空间与具体计算的桥梁。本书系统地探讨了线性变换的性质、核（Kernel）与像（Image）之间的关系，并深入推导了秩-零化度定理，该定理是线性方程组理论的精髓所在。 矩阵作为线性变换在特定基下的表示，其重要性不言而喻。我们不仅阐述了如何进行基变换（Change of Basis），更重要的是，我们深入探讨了相似变换。相似矩阵的引入自然地导向了特征值与特征向量的理论，这是理解系统动态行为的关键。 在特征值理论部分，本书采取了循序渐进的教学法。从特征多项式的求解，到代数重数与几何重数的区分，再到对角化（Diagonalization）的充分必要条件，每一步都力求精确无误。对于不可对角化的矩阵，我们引入了Jordan标准型理论的初步概念，指出其在简化矩阵表示中的理论意义，尽管详细的Jordan块构造可能在更高级的课程中深入，但对其存在性的阐述是本部分理论的升华。 第三部分：内积空间与正交性 为了处理几何意义更丰富的结构，本书引入了内积空间的概念。这超越了纯粹的线性代数，开始渗透到几何度量和拓扑学的边缘。我们定义了内积、范数和角度，并详述了柯西-施瓦茨不等式及其在度量空间中的重要性。 正交性是内积空间的核心工具。Gram-Schmidt正交化过程被详细展示，它提供了一种构造正交基的有效方法。基于正交基，我们进而讨论了正交投影定理，这在最小二乘问题（作为理论推导而非数值求解）的理解中至关重要。 特殊矩阵类型在本章得到了深入探讨，特别是正交矩阵和酉矩阵。对于实数域上的正交矩阵，我们分析了它们在线性变换中保持长度和角度不变的几何特性。 第四部分：矩阵的分解与结构理论 本章是本书理论深度的集中体现。我们不再满足于简单的对角化，而是探讨了矩阵分解在揭示矩阵深层结构方面的强大能力。 SVD (奇异值分解) 的理论推导占据了重要篇幅。我们从正定矩阵的特征值理论出发，论证了任意 $m imes n$ 矩阵都可以被分解为 $USigma V^T$ 的形式。奇异值分解的几何意义——主方向的确定、奇异值的尺度效应——被清晰地阐述，使其不仅仅是一个代数公式，更是一种强大的数据降维和分析工具的理论基础。 二次型理论与正定性分析是本章的另一重点。通过合同变换将二次型化为标准形，我们深入研究了主轴定理。这不仅在几何上解释了二次曲面的分类，更在优化理论中提供了寻找极值的代数判据（如Hessian矩阵的正定性检验）。 矩阵函数与指数：本书对矩阵函数 $exp(A)$ 的定义采用了基于泰勒级数展开的方法，并严格论证了这种定义在有限维空间中的有效性。这为理解常系数线性微分方程组的解的结构奠定了理论基石，将代数结构直接与动态系统的演化联系起来。 总结与读者定位 《高等代数与矩阵理论精要》是一本面向数学、物理、理论计算机科学及工程类专业高年级本科生或研究生的教材。它侧重于证明的严密性、概念的精确界定以及理论之间的内在联系。本书力求培养读者抽象思维能力和对线性结构本质的深刻洞察，而非侧重于算法的实现细节或数值误差的分析。掌握本书内容，读者将具备深入理解更高级抽象代数、泛函分析乃至理论物理中线性代数应用所需的坚实理论武器。书中的习题设计旨在检验读者对证明过程的掌握程度和对概念的灵活运用能力。

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写的很差，有些前面的证明要用到后面的结论，而且还少写了一些东西

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老实说，还不如北大那本。

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写的很差，有些前面的证明要用到后面的结论，而且还少写了一些东西

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