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出版者:武漢大學

作者:鄭慧嬈 陳紹林 莫忠息

出品人:

頁數:577

译者:

出版時間:2004-1

價格:25.50元

裝幀:

isbn號碼:9787307036307

叢書系列:

圖書標籤:

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《高等代數與矩陣理論精要》 圖書簡介 本書旨在為讀者提供一個堅實而深入的代數基礎，尤其聚焦於綫性代數的核心概念及其在現代科學和工程領域中的廣泛應用。不同於側重於數值算法的著作，《高等代數與矩陣理論精要》將核心精力置於理論的嚴謹性、概念的清晰闡釋以及結構性的理解之上。本書的編寫遵循邏輯遞進的原則，從最基礎的集閤與映射開始，逐步過渡到嚮量空間、綫性變換、特徵值理論，最終觸及更高級的矩陣分解與二次型理論。 第一部分：基礎結構與嚮量空間 本書伊始，我們首先奠定瞭嚴謹的代數基礎。集閤論的基本概念被引入，隨後重點闡述瞭群、環、域這三種基本代數結構。這種結構化的引入方式，使得讀者能夠理解後續嚮量空間這一核心概念是如何在特定的代數框架下定義的。 嚮量空間部分是本書的基石。我們詳盡地定義瞭嚮量空間的公理體係，並通過大量的實例，如函數空間、多項式空間，展示瞭嚮量空間的普遍性。綫性組閤、綫性相關性與綫性無關性的概念被細緻剖析，這是後續理解基與維度的前提。維度定理的證明被置於核心地位，強調瞭維數作為衡量空間“大小”的內在屬性的不可替代性。 本書特彆強調瞭抽象性與具體性的結閤。在講解瞭抽象的綫性空間後，緊接著會引入歐幾裏得空間 $mathbb{R}^n$ 和 $mathbb{C}^n$，利用直觀的幾何解釋來輔助理解抽象代數結構，例如通過二維和三維空間的幾何變換來具象化綫性變換。 第二部分：綫性變換與矩陣錶示 綫性變換是連接抽象空間與具體計算的橋梁。本書係統地探討瞭綫性變換的性質、核（Kernel）與像（Image）之間的關係，並深入推導瞭秩-零化度定理，該定理是綫性方程組理論的精髓所在。 矩陣作為綫性變換在特定基下的錶示，其重要性不言而喻。我們不僅闡述瞭如何進行基變換（Change of Basis），更重要的是，我們深入探討瞭相似變換。相似矩陣的引入自然地導嚮瞭特徵值與特徵嚮量的理論，這是理解係統動態行為的關鍵。 在特徵值理論部分，本書采取瞭循序漸進的教學法。從特徵多項式的求解，到代數重數與幾何重數的區分，再到對角化（Diagonalization）的充分必要條件，每一步都力求精確無誤。對於不可對角化的矩陣，我們引入瞭Jordan標準型理論的初步概念，指齣其在簡化矩陣錶示中的理論意義，盡管詳細的Jordan塊構造可能在更高級的課程中深入，但對其存在性的闡述是本部分理論的升華。 第三部分：內積空間與正交性 為瞭處理幾何意義更豐富的結構，本書引入瞭內積空間的概念。這超越瞭純粹的綫性代數，開始滲透到幾何度量和拓撲學的邊緣。我們定義瞭內積、範數和角度，並詳述瞭柯西-施瓦茨不等式及其在度量空間中的重要性。 正交性是內積空間的核心工具。Gram-Schmidt正交化過程被詳細展示，它提供瞭一種構造正交基的有效方法。基於正交基，我們進而討論瞭正交投影定理，這在最小二乘問題（作為理論推導而非數值求解）的理解中至關重要。 特殊矩陣類型在本章得到瞭深入探討，特彆是正交矩陣和酉矩陣。對於實數域上的正交矩陣，我們分析瞭它們在綫性變換中保持長度和角度不變的幾何特性。 第四部分：矩陣的分解與結構理論 本章是本書理論深度的集中體現。我們不再滿足於簡單的對角化，而是探討瞭矩陣分解在揭示矩陣深層結構方麵的強大能力。 SVD (奇異值分解) 的理論推導占據瞭重要篇幅。我們從正定矩陣的特徵值理論齣發，論證瞭任意 $m imes n$ 矩陣都可以被分解為 $USigma V^T$ 的形式。奇異值分解的幾何意義——主方嚮的確定、奇異值的尺度效應——被清晰地闡述，使其不僅僅是一個代數公式，更是一種強大的數據降維和分析工具的理論基礎。 二次型理論與正定性分析是本章的另一重點。通過閤同變換將二次型化為標準形，我們深入研究瞭主軸定理。這不僅在幾何上解釋瞭二次麯麵的分類，更在優化理論中提供瞭尋找極值的代數判據（如Hessian矩陣的正定性檢驗）。 矩陣函數與指數：本書對矩陣函數 $exp(A)$ 的定義采用瞭基於泰勒級數展開的方法，並嚴格論證瞭這種定義在有限維空間中的有效性。這為理解常係數綫性微分方程組的解的結構奠定瞭理論基石，將代數結構直接與動態係統的演化聯係起來。 總結與讀者定位 《高等代數與矩陣理論精要》是一本麵嚮數學、物理、理論計算機科學及工程類專業高年級本科生或研究生的教材。它側重於證明的嚴密性、概念的精確界定以及理論之間的內在聯係。本書力求培養讀者抽象思維能力和對綫性結構本質的深刻洞察，而非側重於算法的實現細節或數值誤差的分析。掌握本書內容，讀者將具備深入理解更高級抽象代數、泛函分析乃至理論物理中綫性代數應用所需的堅實理論武器。書中的習題設計旨在檢驗讀者對證明過程的掌握程度和對概念的靈活運用能力。

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寫的很差，有些前麵的證明要用到後麵的結論，而且還少寫瞭一些東西

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老實說，還不如北大那本。

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寫的很差，有些前麵的證明要用到後麵的結論，而且還少寫瞭一些東西

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寫的很差，有些前麵的證明要用到後麵的結論，而且還少寫瞭一些東西