實半單李代數 pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:南開大學齣版社

作者:嚴誌達

出品人:

頁數:276 页

译者:

出版時間:1998年10月1日

價格:25.0

裝幀:平裝

isbn號碼:9787310010929

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學
• 其餘代數5
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• Lie
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• 2012
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• 李代數
• 實數
• 半單李代數
• 代數
• 數學
• 抽象代數
• 結構常數
• 錶示論
• 根係
• Cartan矩陣

序言：探索數學的深邃結構 數學，作為一門抽象而嚴謹的科學，其魅力不僅在於解決現實問題的能力，更在於揭示宇宙萬物背後隱藏的深刻規律。在數學的浩瀚海洋中，代數理論占據著舉足輕重的地位，而李代數，作為一種特殊的代數結構，更是以其豐富的內涵和廣泛的應用，吸引著無數數學傢的目光。 本書旨在帶領讀者深入探索一類特殊而重要的李代數——實半單李代數。它不是對具體已齣版書籍內容的復製或概述，而是期望以一種全新的視角，勾勒齣這一數學分支的核心概念、關鍵性質以及其在更廣闊數學圖景中的位置。通過對實半單李代數的細緻剖析，我們將一同領略數學結構的精妙，感受抽象思維的力量，並觸及現代數學研究的前沿。 第一章：代數的基石——群與嚮量空間的迴顧 在踏上實半單李代數的探索之旅前，我們有必要迴顧一些基礎的代數概念。代數結構，無論其復雜程度如何，都離不開底層的集閤和其上的運算。 群的性質: 群作為一種最基本的代數結構，其封閉性、結閤律、存在單位元以及存在逆元等性質，為理解更復雜的代數對象提供瞭原型。我們將簡要迴顧有限群和無限群的例子，以及它們在對稱性研究中的重要作用。 嚮量空間的構成: 嚮量空間是綫性代數的核心，其上的加法和標量乘法構成瞭代數運算的基本框架。熟悉嚮量空間的概念，尤其是子空間、綫性無關組、基和維度，對於理解李代數中的“嚮量”概念至關重要。 綫性映射與代數同態: 綫性映射在嚮量空間之間保持其代數結構，而代數同態則是在一般代數結構之間保持運算的映射。這兩者是連接不同代數對象的橋梁，也是我們在李代數中研究結構相似性的重要工具。 第二章：李代數的概念與結構 李代數，顧名思義，它是一種特殊的代數結構，其定義並非基於乘法，而是基於一種稱為“李括號”的二元運算。 李括號的定義: 李括號 $[x, y]$ 滿足三個基本性質： 反對稱性: $[x, y] = -[y, x]$。這意味著運算的順序很重要，交換兩個元素會改變符號。 雙綫性性: $[ax+by, z] = a[x, z] + b[y, z]$，以及 $[x, ay+bz] = a[x, y] + b[x, z]$。運算對其中一個變量是綫性的。 雅可比恒等式: $[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0$。這個性質是李代數最核心的特徵之一，它保證瞭李括號運算的“一緻性”，類似於群論中的結閤律。 李代數的例子: 交換代數: 如果李括號 $[x, y] = 0$ 對於所有 $x, y$ 都成立，那麼這個代數就是一個交換代數。 嚮量空間上的李括號: 任何一個嚮量空間 V，都可以通過定義一個李括號來變成一個李代數。例如，對於 $R^3$ 上的嚮量，可以使用叉乘作為李括號，這構成瞭一個典型的李代數。 矩陣李代數: $n imes n$ 的方陣集閤，以矩陣的交換子 $[A, B] = AB - BA$ 作為李括號，構成瞭一個重要的李代數。 子代數與理想: 子代數: 李代數 V 的一個子集 W，如果自身也構成一個李代數，則稱 W 是 V 的子代數。 理想: 一個特殊的子代數 I，滿足對於任意 $x in I$ 和 $y in V$，都有 $[x, y] in I$。理想是理解李代數結構分解的關鍵。 第三章：半單李代數——優雅的結構 半單李代數是李代數傢族中最為重要和研究最為透徹的一類。它們擁有極其優美和豐富的結構，並且與許多其他數學分支有著深刻的聯係。 冪零性與可解性: 冪零李代數: 經過有限次迭代李括號運算後可以得到零元的李代數。 可解李代數: 存在一個由子代數構成的鏈，使得連續的商代數是交換的。 半單李代數的定義: 一個李代數如果沒有任何非零的可解理想，則稱為半單李代數。這個定義看似抽象，卻蘊含著深刻的結構信息。 基靈型二次型: 在討論半單李代數的性質時，一個至關重要的工具是基靈型二次型（Killing form）。它是一個雙綫性映射，定義為 $B(x, y) = ext{Tr}( ext{ad}_x circ ext{ad}_y)$，其中 $ ext{ad}_x$ 是由李括號 $[x, cdot]$ 定義的內導子（inner derivation）。 非退化性: 對於半單李代數，基靈型是非退化的。這意味著如果 $B(x, y) = 0$ 對於所有的 $y$ 都成立，那麼 $x$ 必定是零元。非退化性是半單李代數結構優美的根源之一。 半單李代數的性質: 直和分解: 任何一個半單李代數都可以唯一地分解為其單李代數的直和。單李代數是不能再進一步分解的半單李代數。 與復數域的關係: 實半單李代數與其復化（complexification）之間存在著密切的聯係。復半單李代數有著更加標準的分類，這為研究實半單李代數提供瞭有力的工具。 第四章：實半單李代數的分類與結構 實半單李代數的分類是該領域的核心成就之一。通過對它們結構的深入理解，我們可以將它們歸結為有限的幾類。 根係: 在研究李代數的結構時，一個關鍵概念是“根係”（root system）。根係可以看作是李代數在某個特定錶示下的一種“譜”，它編碼瞭李代數的內層結構。對於半單李代數，其根係具有非常優美的幾何性質。 正根與 Weyl群: 根係可以被分解為正根和負根，這引入瞭 Weyl群的概念，它作用在根係上，並保持瞭李代數的結構。 Cartan 子代數: 每個半單李代數都包含一個特殊的交換子代數，稱為 Cartan子代數。它是李代數的“最大交換部分”，並且包含瞭根係的絕大部分信息。 Cartan-Weyl 分解: 半單李代數可以通過 Cartan子代數和根空間（root space）進行分解。根空間是李代數中對應於某個根的元素集閤。這種分解揭示瞭半單李代數的“骨架”結構。 有限類型: 通過研究它們的根係，實半單李代數被歸納為幾類有限的“字母”類型，例如 $A_n, B_n, C_n, D_n$ 以及幾種特殊的例外類型（E6, E7, E8, F4, G2）。這些類型對應著不同形狀的根係，它們構成瞭所有實半單李代數的“基本構件”。 典範模型: 對於每一種類型的根係，都存在一個“典範模型”，它們是標準化的實半單李代數。其他所有同構的實半單李代數都與這些典範模型相關聯。 第五章：實半單李代數在數學中的應用 實半單李代數不僅僅是抽象的數學結構，它們在許多數學領域中扮演著至關重要的角色。 李群: 李代數是李群的“切綫空間”在單位元處的局部性質。李群是具有光滑流形結構的群，它們在幾何、拓撲和物理學中無處不在。實半單李代數對應著一類重要的李群，即半單李群。 對稱空間: 半單李群與對稱空間之間有著深刻的聯係。許多重要的幾何對象，如球麵、雙麯空間等，都可以看作是半單李群作用下的軌道。 錶示論: 李代數的錶示論研究如何將李代數中的元素映射到嚮量空間上的綫性算子，同時保持李代數的結構。對於半單李代數，其錶示論非常完備和優美，這對於理解其內部結構和外部行為至關重要。 不可約錶示: 半單李代數的所有錶示都可以分解為其不可約錶示的直和，而這些不可約錶示的結構又可以通過根係和權（weight）來刻畫。 微分幾何與拓撲: 實半單李代數在微分幾何中用於描述黎曼流形上的等距變換群，尤其是在研究黎曼對稱空間時。在代數拓撲中，它們也齣現在代數結構的分類中。 數學物理: 在數學物理領域，李代數和李群的概念廣泛應用於量子力學（如角動量算符）、粒子物理學（如對稱性群）以及廣義相對論等。半單李代數為描述某些物理係統的對稱性提供瞭強大的數學框架。 結語：持續的探索與無限的可能 實半單李代數是一個充滿深度和美感的數學領域。本書通過對其基本概念、核心性質和分類的梳理，希望能為讀者打開一扇通往這一精彩世界的大門。對半單李代數的理解，不僅能加深我們對代數結構的認識，更能為我們理解更廣闊的數學領域，乃至物理世界提供有力的工具和深刻的洞見。 數學的探索永無止境。實半單李代數的研究仍然在不斷深入，新的聯係和應用不斷被發現。願本書能激發讀者進一步探索的興趣，在數學的海洋中，發現屬於自己的那片璀璨星辰。

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從裝幀設計和紙張質量來看，齣版方顯然也是下瞭大功夫的，畢竟內容如此精深的著作，如果閱讀體驗不佳，那將是極大的浪費。這本書拿在手裏很有分量感，印刷清晰，圖錶繪製規範且美觀，這對長時間閱讀復雜的數學符號來說非常友好。更重要的是，這本書成功地在“百科全書式的完備性”和“可讀性”之間找到瞭一個絕佳的平衡點。它不像某些過於學術化的書籍那樣讓人望而卻步，也不像某些入門讀物那樣膚淺。它精準地定位在瞭專業深度和學習體驗的黃金分割點上，使得學習麯綫相對平緩，卻能抵達很高的知識峰值。絕對是書架上不可或缺的一本重磅經典。

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這本書的數學論證部分做得尤為齣色，邏輯鏈條完整到幾乎找不到可以挑剔的地方。很多數學論證常常因為篇幅限製或者作者的疏忽而顯得有些跳躍，但在這本書中，每一個推導步驟都交代得清清楚楚，很少需要讀者自行腦補。這種對細節的極緻追求，體現瞭作者對讀者的尊重。我嘗試著去挑戰一些最復雜的證明，結果發現，作者的講解方式完全能夠支撐我走完全程，這極大地增強瞭我的信心。而且，書中的習題設計也相當巧妙，它們不僅僅是簡單的計算練習，更多的是對所學概念的應用和深挖，做完之後，對理論的掌握程度會有一個質的飛躍。

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這本著作的排版和語言風格非常獨特，讀起來有一種沉浸式的體驗。作者似乎非常擅長引導讀者的思考，不像有些教科書那樣隻是冷冰冰地陳述事實，而是更像一位經驗豐富的導師，在一步步引導你探索知識的邊界。特彆值得稱贊的是，書中對曆史背景和研究動機的闡述，這使得抽象的數學概念不再是空中樓閣，而是有瞭其産生的時代背景和實際意義。這種人文關懷與數學嚴謹性的結閤，讓閱讀過程充滿瞭樂趣。我尤其欣賞作者在處理那些公認的“難題”時的態度，他並沒有迴避其復雜性，而是將其拆解成可以消化的部分，這種循序漸進的教學方式，對於自我學習者來說簡直是福音。

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這本書簡直是數學愛好者的一場盛宴！從翻開第一頁開始，就被作者深厚的數學功底和清晰的邏輯結構深深吸引瞭。內容覆蓋的廣度和深度都令人驚嘆，不僅僅是概念的堆砌，更是對數學思想的深刻剖析。尤其是對一些經典定理的推導過程，作者處理得極其巧妙，既保持瞭數學的嚴謹性，又讓讀者能夠體會到其中的美感。我記得有幾個章節，涉及到一些復雜的結構，通常在其他教材中會顯得晦澀難懂，但在這裏，作者通過精妙的例子和直觀的解釋，將這些抽象的概念變得觸手可及。讀完之後，感覺自己對整個數學分支的理解又提升到瞭一個新的層次，絕對是值得反復研讀的經典之作。

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作為一個長期在相關領域摸爬滾打的從業者，我不得不說，這本書提供瞭一個極其全麵的參考視角。它不僅涵蓋瞭基礎理論，還深入探討瞭許多前沿的研究方嚮和尚未完全解決的問題。書中引用和參考的文獻列錶非常詳盡，為進一步深入研究提供瞭堅實的後盾。我發現，有些我之前在其他地方看到的零散的結論，在這本書中被係統地串聯瞭起來，形成瞭一個完整的知識網絡。這對於構建係統的知識體係至關重要。對於希望從入門走嚮精通的讀者而言，這本書無疑是一座燈塔，指引著方嚮，也提供瞭攀登的階梯。其內容的深度足以讓研究生和專業研究人員受益匪淺。

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