THE HARDY-LITTLEWOOD METHOD pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:世界图书出版公司

作者:R.C.Vaughan

出品人:

页数:232

译者:

出版时间:1998-8

价格:35.00元

装帧:

isbn号码:9787506239226

丛书系列:

图书标签:

数学
2019
数学分析
调和分析
数论
逼近论
傅里叶级数
小波分析
实分析
函数空间
积分变换
渐近分析

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具体描述

There have been two earlier Cambridge Tracts that have touched upon the Hardy-Littlewood method, namely those of Landau, 1937, and Estermann, 1952. However there has been no general account of the method published in the United Kingdom despite the not inconsiderable contribution of English scholars in inventing and developing the method and the numerous monographs that have appeared abroad. The purpose of this tract is to give an account of the classical forms of the method together with an outline of some of the more recent developments. It has been deemed more desirable to have this particular emphasis as many of the later applications make important use of the classical material.

　　本书为英文版。

《数论中的分析方法：从丢番图方程到圆法》书籍简介本书深入探讨了现代数论中一个至关重要的分支——利用分析工具解决代数和数论问题的技术，特别是围绕丢番图方程的解的结构与分布展开。全书以严谨的数学语言和清晰的逻辑结构，勾勒出解析数论发展历程中的关键里程碑，并详细阐述了如何将复变函数论、傅里叶分析以及概率论的思想融入到纯粹的数论研究之中。第一部分：基础与预备知识的重构本书的开篇部分并非简单地回顾基础知识，而是对数论研究中常用分析工具的深刻重构与整合。首先，我们聚焦于狄利克雷级数的现代视角，探讨其在描述算术函数（如$zeta(s)$函数及其推广）的渐近行为中的核心作用。重点分析了函数方程的推导及其在估计零点分布上的意义。这一部分详尽讨论了黎曼-西格尔公式的精确形式及其在计算$zeta(s)$函数零点方面的实际应用，并引入了莫尔勒积分在反演系数时的严格性证明。随后，内容转向了自守形式的初步介绍，特别是模形式的拉马努金猜想框架下的傅里叶展开。我们详细分析了梅林变换在连接算术乘积与狄利克雷级数之间的桥梁作用，并给出了一个关于伯努利多项式和欧拉-马歇罗尼常数的统一处理框架，这些是后续分析构造所必需的“分析工具箱”。第二部分：圆法（The Circle Method）的精细化与扩展本书的核心部分，也是对解析数论发展产生深远影响的技术，即圆法的系统性阐述。我们摒弃了对该方法初级形式的简单介绍，而是直接深入到其现代、精细化的构造。首先，详细解析了加权积分和加权求和在圆法中的应用。重点论述了如何通过精确选择积分核函数，来有效控制由“坏点”（即与模的公共因子相关的点）产生的误差项。我们引入了参数分解技巧，将积分路径分解为主要弧（Major Arcs）和次要弧（Minor Arcs）。在主要弧的分析上，本书提供了对广义高斯和的严格估计，并引入了幂平均估计来改进对亏格和指数和的界限。特别地，我们对涉及指数和的估计进行了深入探讨，展示了如何利用维诺格拉多夫（Vinogradov）的改进方法，尤其是指数和的三角积分估计，以获得更紧密的上界。次要弧的处理部分，是本书区别于其他教材的关键点。我们详细阐述了文科-霍利（Vaughan's Identity）和佩特尔森-哈西（Pettersson-Hasse）的现代分解技术，用以系统地剥离出具有较小因子数的项，从而将次要弧上的误差项控制在一个可接受的范围内。本书完整地给出了这些分解技术在解决经典问题（如哥德巴赫猜想的弱形式）中的实际操作步骤和渐近分析。第三部分：丢番图方程的密度估计与零点分布本书的第三部分将分析方法应用于具体的数论问题，特别是丢番图方程的解集。我们不再停留在简单的“存在性”证明，而是致力于研究解的渐近分布。我们详细讨论了椭圆曲线上整数点的密度估计，并将其与布赫瓦尔德-塞尔伯格（Buchwald-Serrure）框架下的周期积分联系起来。特别地，对于高次丢番图方程（如费马方程的推广），本书使用圆法结合霍尔的稠密定理（Hall's Density Theorem）的分析修正版，来估计光滑解（smooth solutions）的数目。此外，本书引入了筛法与圆法的混合策略，即混合方法。我们展示了如何利用特定的筛（如布伦奇-珀西筛或里奇筛）来预先过滤掉由小素数因子构成的解，然后利用圆法处理剩余的部分。这种混合技术在解决“几乎素数”解的计数问题上取得了突破性进展。第四部分：高级主题与未来展望最后，本书触及了一些前沿和高度专业化的领域。我们探讨了自守形式的L-函数在解析数论中的作用，特别是韦伊猜想（Weil Conjectures）的代数几何背景如何影响我们对数论函数的分析估计。我们还分析了霍奇理论在光滑簇上的应用，以及如何通过黎曼-罗赫定理的推广来估计代数簇上合理点的数量。最后的章节侧重于高维空间中的圆法（即广义圆法），讨论了其在处理多变量丢番图方程中的挑战，特别是积分区域的复杂性和主要弧的重叠问题，为读者指明了当前研究的前沿方向。本书旨在为有志于深入研究解析数论，尤其是对利用分析工具解决代数结构问题的研究人员，提供一套全面、深入且具有高度实战价值的理论框架和技术工具集。