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出版者:科学出版社

作者:姚天行 编

出品人:

页数:240

译者:

出版时间:2005-1

价格:23.00元

装帧:

isbn号码:9787030136695

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 高等数学
• 大学教材
• 理工科
• 基础数学
• 微积分
• 线性代数
• 概率论
• 数学分析
• 考研

《高等代数：结构与应用》 图书简介 本书旨在为理工科、经济学及计算机科学等专业学生提供一套全面、深入且富有洞察力的高等代数基础知识体系。不同于侧重于传统计算技巧的教材，《高等代数：结构与应用》将抽象代数的思想方法与现代科学领域的实际应用紧密结合，强调对数学结构的理解和逻辑推理能力的培养。 第一部分：代数基础与数域的拓展 本部分从实数域和复数域的严谨定义出发，为后续的抽象结构奠定基础。我们深入探讨了多项式理论的精髓，不仅包括根的性质、有理根定理和多项式的因式分解，更引入了多项式环的概念，为理解更高级的代数结构做铺垫。 一章：数域与复平面 详细考察了复数的代数和几何性质。引入高斯平面，并利用复数对平面几何问题进行高效的代数表达。重点解析了代数基本定理及其在求解高次方程中的重要性。对于复数域的完备性进行了较为严谨的讨论。 二章：多项式的环论基础 深入研究多项式的带余除法、最大公因式（GCD）的求解（扩展欧几里得算法的应用），以及唯一分解性。特别关注了在特定域上（如 $mathbb{Q}, mathbb{R}, mathbb{C}$）多项式的分解，以及与有理函数域的关系。 三章：线性空间的概念深化 本章是全书的基石之一。在线性代数的基础上，本书从集合论的角度重新审视向量空间（线性空间）的公理化定义。详细阐述了子空间、线性相关性、基与维数的概念。特别强调了抽象向量空间在函数空间（如连续函数空间）中的体现，拓宽读者的应用视野。引入了同构的概念，揭示不同看似不相关的向量空间之间的内在联系。 第二部分：线性变换与矩阵理论的深入剖析 本部分聚焦于线性映射的性质，并将矩阵视为线性变换在特定基下的具体表示，而非仅仅是数字的矩形排列。 四章：线性映射与矩阵表示 详细分析了线性映射的核（Kernel）与像（Image），并利用秩-零化度定理建立了映射的内在性质与矩阵性质之间的桥梁。矩阵的乘法被赋予了复合变换的几何意义。讨论了相似变换的概念，以及如何通过选择不同的基来改变矩阵的表示形式。 五章：行列式的本质与应用 行列式被定义为一种多线性、反对称函数，而非仅仅是代数上的一个数字公式。深入探讨了行列式的定义、性质及其在解线性方程组（Cramer法则）中的应用。着重分析了行列式在几何上表示的体积（或面积）的缩放因子意义。 六章：特征值、特征向量与对角化 这是理解动力学系统和稳定性分析的关键。本章不仅计算特征值和特征向量，更深入探讨了特征空间的概念。核心内容是对角化（Diagonalization）的充分条件和意义。对于不可对角化的矩阵，引入了Jordan标准型（Jordan Canonical Form）的理论基础，展示了在复杂情况下线性变换的最简化表示。 第三部分：二次型与空间几何 本部分将代数工具应用于解析几何和优化问题中，是连接理论与几何直觉的重要环节。 七章：双线性函数与二次型 详细阐述了双线性函数和二次型的定义及其性质。二次型可以表示为对称矩阵，从而将二次型的研究转化为矩阵的相似性问题。重点讨论了如何通过正交变换将二次型化为标准型（主轴变换）。 八章：欧几里得空间与正交性 在实数域上，引入内积空间的概念，定义了长度和角度。深入研究了施密特正交化过程（Gram-Schmidt Orthonormalization），并阐述了正交基在简化计算中的巨大优势。对称矩阵的谱定理被严格证明，揭示了对称矩阵可被正交对角化的深刻几何意义。 第四部分：线性代数在其他结构中的体现（简介） 为了更好地衔接抽象代数课程，本部分对一些更进一步的结构进行了概念性的介绍。 九章：模（Modules）的初步概念 在向量空间的基础上，引入模的概念，即允许系数域扩展到更一般的环（Ring）的情况。简要讨论了自由模和秩的概念，为理解代数几何和代数拓扑中的基本构件打下基础。 十章：线性算子在无穷维空间中的展望 简要概述了希尔伯特空间（Hilbert Space）和巴拿赫空间（Banach Space）的概念，指出在函数分析中，线性代数工具如何被推广到无穷维空间，以及傅里叶分析和算子理论的初步形态。 本书特色： 1. 理论的严谨性与几何的直观性并重： 每条定理的引入都辅以清晰的几何或代数动机，确保读者不仅知其然，更知其所以然。 2. 丰富的习题设计： 习题分为基础巩固、计算实践和理论探究三个层次，尤其注重开放性问题，鼓励学生进行深入的思考和证明。 3. 应用导向： 章节末尾提供模块化的应用案例，涵盖密码学（有限域上的运算）、图论（邻接矩阵）、微分方程组的解法，以及最小二乘法在数据拟合中的作用。 本书是为那些希望深入掌握现代数学工具，并为后续学习泛函分析、抽象代数、数值分析或应用数学打下坚实基础的理工科学生量身打造的经典教材。它将代数的抽象性转化为强大的问题解决能力。

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这本书的习题设计堪称一绝，真正做到了“千锤百炼出真知”。不同于市面上很多教材那种要么过于简单、要么难度跳跃性极大的习题集，这里的练习题是经过精心编排和递进的。章节末尾的习题通常分为基础巩固、应用拓展和思考挑战三个梯度。基础题保障了对基本定理和运算的熟练掌握，让你形成肌肉记忆；应用题则巧妙地将理论知识与实际工程、经济模型的案例相结合，展示了数学语言的强大威力；而最让我惊喜的是那些“思考挑战”题，它们往往需要你跳出章节本身的固定框架，进行跨章节的知识整合，极大地锻炼了分析和创新的能力。我发现，即便是那些看起来很普通的证明题，其要求表述的严谨性和逻辑的完整性，也远超我预期的标准，这迫使我在书写答案时必须时刻保持高度的警觉。我甚至会特意花时间去研究标准答案中对解题步骤的细微调整，从中学习如何使自己的表达更加精炼和完美，这对于培养严谨的学术态度是至关重要的。

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我必须强调一下这本书在处理“历史背景和数学哲学”方面的笔墨，这部分内容往往在理工科教材中被轻易忽略，但却是提升思维层次的关键。它不满足于仅仅告知读者“是什么”，而是深入探讨了“为什么会是这样”。例如，在介绍微积分的诞生时，它详尽地描述了牛顿和莱布尼茨之间的争论，以及当时数学界对于“无穷小”这一概念的困惑与最终的严格化处理，这种叙述方式赋予了冰冷的数学理论以人文色彩和历史厚重感。它让我们明白，我们今天所使用的成熟理论，是经过几代数学家在无数次争论、怀疑和修正中才逐步建立起来的，这极大地激发了我对数学真理的敬畏之心。通过这些背景介绍，我对许多关键概念的理解不再停留在机械记忆的层面，而是上升到了对数学作为一种人类认知工具的深刻理解上。它提醒我，每一个看似完美的公式，背后都曾是人类理性挣扎和突破的产物，这种深度远非一般的参考资料所能比拟。

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这本书的装帧设计真的很有品味，封面采用了一种略带磨砂质感的深蓝色调，中央烫金的标题“大学数学”在灯光下熠熠生辉，给人一种沉稳而又不失活力的感觉。我特地把它放在书架最显眼的位置，光是看着就觉得心情舒畅。内页的纸张选择也相当考究，摸起来温润细腻，即便是长时间阅读，眼睛也不会感到过分疲劳，这对于需要大量阅读和演算的学科来说，简直是太贴心了。排版布局上，作者和设计者显然下了不少功夫，公式和定理的展示区域留白恰到好处，既保证了视觉的清晰度，又使得复杂的推导过程一目了然，没有那种拥挤不堪的压迫感。更值得称赞的是，书本的装订极其牢固，即便是频繁翻阅，也不担心出现散页的尴尬情况，这在理工科教材中是难能可贵的品质。总的来说，从触感到视觉，这本书在物理层面上就成功地为学习体验打下了坚实的基础，让人一上手就愿意投入其中，而不是仅仅把它当成一本工具书来对待。这种对细节的执着，体现了出版方对知识的尊重，也极大地提升了阅读的愉悦感。

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我过去对数学学习的印象往往是枯燥和抽象的代名词，但这本书彻底颠覆了我的看法。它没有采取那种冷冰冰的、堆砌公式的传统叙事方式，反而像一位经验丰富的老教授在循循善诱。书中在引入每一个新的概念，比如微积分的核心思想，或者线性代数的几何意义时，都会先从一个非常贴近生活或工程实际的例子切入，这种“由表及里”的讲解方法，极大地降低了初学者的理解门槛。比如，在讲解向量空间时，它没有直接抛出公理体系，而是先通过图像和物理世界的位移、力场等场景进行具象化阐释，让人立刻就能抓住那种“空间结构”的精髓。这种教学策略的精妙之处在于，它不是在“教”你公式，而是在“构建”你对数学思维的直观感受。因此，即便是面对那些平日里最令人头疼的抽象证明，我也能更有信心地去推导，因为我知道每一个符号背后都承载着清晰的逻辑意义，而不是空中楼阁。阅读过程中，我感觉自己不像是单纯地在记忆知识点，而更像是在参与一场智力探险，每解开一个环节，都有豁然开朗的成就感。

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这本书的配套资源简直是物超所值，完全弥补了纸质书在动态演示上的不足。我指的是它官方网站提供的那些交互式模拟和在线辅导模块。举个例子，当我学习到三维空间中的曲面积分时，无论我怎么在脑海中想象，都难以完全把握那个“旋转和扭曲”的感觉。但是，通过配套的在线可视化工具，我可以实时地拖动和旋转曲面，观察积分区域的变化，甚至可以动态地看到黎曼和是如何一步步逼近最终积分值的过程。这种沉浸式的学习体验，比看一百遍静态图示都要有效得多。更棒的是，它还内置了一个基于算法的智能错题本功能，它能根据我在线练习的错误模式，自动生成针对性的复习集，精准地填补我的知识盲点，而不是简单地重复我做错的原题。这套软硬件结合的立体教学系统，真正实现了个性化学习的目标，让我的学习效率实现了质的飞跃，感觉就像请了一位全天候待命的私人数学导师。

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