具体描述
本书从高校数学课程的学习出发，并结合科研和工程计算的实际，系统详细地介绍了MATLAB 5．x在科学计算方面的主要功能及其应用。本书按内容分为3部分：首先初步介绍MATLAB的概况及其安装和使用前的准备工作；然后系统介绍了MATLAB的3大功能(数值计算功能、符号运算功能和图形可视化功能)及程序设计；最后详细讲解了MATLAB在计算方法、复变函数、概率统计、优化处理及偏微分方程等问题中的应用。
《现代数值分析基础：算法、理论与应用》 内容简介 本书旨在为读者提供一个全面而深入的现代数值分析理论与实践的知识体系，重点聚焦于数值计算的核心算法、背后的数学原理，以及这些方法在工程、科学和数据处理中的实际应用。本书的视角超越了特定软件工具（如 MATLAB 5.x）的限制，而是着眼于数值方法本身的普适性与严谨性。 第一部分：基础理论与误差分析 本部分奠定坚实的数学基础，详细阐述了数值计算中必须面对的根本问题——误差。 第1章：计算环境与浮点数表示 本章深入探讨数字在计算机中的有限精度表示，特别是IEEE 754浮点数标准。内容涵盖单精度和双精度浮点数的结构、数值的精确表示、舍入误差的产生机制（截断与近于零的数），以及如何评估和控制这些基础误差。我们将分析病态问题（Ill-conditioning）的根源，并引入条件数的概念，为后续算法的稳定性分析做铺垫。 第2章：函数逼近与插值理论 本章集中讨论如何用简单、光滑的函数去近似复杂或离散的数据点。内容包括： 线性插值与多项式插值： 重点分析拉格朗日插值多项式和牛顿差商形式，深入讨论Runge现象及其对高次插值的限制。 分段插值： 详述分段线性插值和三次样条插值（Cubic Splines）的构建原理、边界条件处理（自然、钳制等），以及它们在保证函数光滑性方面的优势。 最佳一致逼近： 引入最小二乘拟合作为一种统计意义上的逼近，并对比最小二乘与最小二乘多项式逼近的差异。 第3章：数值微分与积分 本章关注函数导数和定积分的数值计算方法。 数值微分： 基于有限差分公式（前向、后向、中心差分）的推导，分析其截断误差的阶数。讨论如何利用牛顿插值多项式来精确推导高阶差分公式。 数值积分（Quadrature）： 详细介绍牛顿-科茨（Newton-Cotes）公式族，包括梯形法则和辛普森法则的构造与误差估计。重点讲解高斯求积（Gaussian Quadrature）的原理，阐明其在相同节点数下具有更高精度的原因，以及勒让德多项式在构造高斯点中的作用。 第二部分：线性代数方程组的求解 本部分是数值分析的核心，处理形如 $Ax=b$ 的线性系统。 第4章：直接求解法 本章侧重于通过有限步运算得到精确解的算法。 高斯消元法（Gaussian Elimination）： 详述消元过程、主元选择（部分选主元与完全选主元）对于稳定性的重要性。 LU分解： 深入讲解Doolittle、Crout以及Cholesky分解的适用条件和计算效率。分析LU分解在求解多个右端项系统时的优势。 矩阵的条件数与正定性： 进一步探讨矩阵条件数在评估线性系统求解难度上的作用，并详细分析对称正定矩阵的特性及其在Cholesky分解中的应用。 第5章：迭代求解法 当系统规模庞大或矩阵稀疏时，迭代法成为首选。 基本迭代方法： 介绍雅可比（Jacobi）迭代和高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代的原理、收敛条件（对角占优等），并对比两者的计算效率。 收敛加速技术： 讨论松弛法（Successive Over-Relaxation, SOR）的引入，以及如何通过选择最佳松弛因子来显著提高收敛速度。 Krylov 子空间方法简介： 简要介绍共轭梯度法（Conjugate Gradient, CG）的预备概念，为处理大规模稀疏对称正定系统做铺垫。 第三部分：非线性方程与特征值问题 第6章：单变量非线性方程求解 本章专注于寻找函数 $f(x)=0$ 的根。 区间搜索法： 二分法（Bisection Method）的可靠性分析及其线性收敛特性。 开放式方法： 详细分析牛顿法（Newton's Method）的二次收敛性，以及割线法（Secant Method）和不动点迭代法的构造与局部收敛速度。重点讨论如何处理初始猜测选择不当导致的发散问题。 第7章：特征值问题的数值方法 本章探讨如何计算矩阵的特征值和特征向量。 幂法（Power Iteration）： 用于寻找最大（或最小）特征值及其对应向量，分析其收敛速度及其局限性。 反幂法（Inverse Iteration）： 利用求解线性系统来近似特定特征值，强调其在计算特定特征值方面的强大能力。 QR算法简介： 阐述QR分解在特征值求解中的核心作用，介绍基本QR算法及其通过Hessenberg约简提高效率的策略。 第四部分：常微分方程（ODE）的数值求解 本部分将注意力转向描述自然界中动态过程的微分方程。 第8章：一阶常微分方程的单步法 本章聚焦于单步法。 欧拉方法（Euler’s Method）： 介绍前向和后向欧拉法的基本形式，分析其局部截断误差和全局误差。 龙格-库塔方法（Runge-Kutta Methods）： 详述经典的四阶RK方法（RK4）的构造，理解其平衡精度与计算成本的优势。 局部误差与步长控制： 讨论如何利用高阶方法与低阶方法的比较（如Heun’s method或嵌入式RK方法）来估计误差，并实现自适应步长控制，以确保计算的稳定性和效率。 第9章：高阶ODE与刚性问题 多步法概述： 简要介绍线性多步法的概念（如Adams-Bashforth和Adams-Moulton方法），侧重于一致性、稳定性和收敛性的关系。 刚性方程（Stiffness）： 深入探讨“刚性”的含义，即系统包含时间尺度差异巨大的分量。分析显式方法在求解刚性问题时需要极小步长才能保持稳定性的缺陷。 隐式方法与A-稳定性： 介绍后向欧拉法和隐式中点法，解释A-稳定性（Absolute Stability）的概念，说明为什么隐式方法（如BDF系列）是求解刚性问题的关键工具。 本书特色与目标读者 本书侧重于方法背后的数学推导、算法的稳定性和效率分析，而非特定编程环境的语法操作。每章均包含丰富的理论证明和例题分析，旨在培养读者对数值计算的深刻理解和批判性思维。 本书适合于数学、物理、工程、计算机科学及金融工程等专业的高年级本科生和研究生作为教材，也适合希望系统回顾和深化数值分析基础的专业人士参考。读者在阅读本书之前，应具备微积分、线性代数和一些基本的编程概念知识。通过本书的学习，读者将能够独立选择、设计和实现高效、可靠的数值算法来解决实际的科学计算难题。
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