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出版者:上海教育出版社

作者:约翰逊(Johnson)

出品人:

页数:293 页

译者:单壿

出版时间:1999年8月23日

价格:13.5

装帧:平装

isbn号码:9787532063925

丛书系列:通俗数学名著译丛

图书标签:

• 数学
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近代欧氏几何学 简介 本书旨在对近代欧氏几何学的演变、核心思想、重要分支及其在数学与其他学科中的深远影响进行一次全面而深入的考察。它并非一部纯粹的教科书，而是一部兼具历史深度与思想广度的学术论著，试图勾勒出这一经典数学体系在近现代思想转型期所经历的复杂历程。 第一部分：危机的萌芽与基础的重建（18世纪末至19世纪中叶） 近代欧氏几何学的开端，必须从其坚实基础——欧几里得《几何原本》——所受到的审视与挑战说起。在启蒙运动的理性光辉下，数学家们对几何公理体系的绝对性和自明性产生了深刻的怀疑。 1. 平行公设的百年之谜 本书首先详尽回顾了对第五公设（平行公设）长达两千多年的研究历史。不同于早期仅停留于试图证明其可推导性的尝试，近代研究的焦点转向了探讨“如果第五公设不成立，会发生什么？”。我们详细分析了普法（Gauss）、罗巴切夫斯基（Lobachevsky）和波利亚依（Bolyai）三位先驱者是如何独立地、几乎同时地构建起非欧几何学的。重点不在于介绍非欧几何的具体计算，而是探究这种构建方式对“几何学必然性”观念的根本性颠覆。 2. 非欧几何学的诞生与哲学冲击 在这一部分，我们将深入剖析非欧几何的诞生对康德先验几何观的致命一击。欧氏几何曾被视为人类心智先天结构或自然界固有规律的体现，而非欧几何的成功构建，证明了建立在不同公理基础上的、同样严谨的几何体系是完全可能的。这种可能性打开了数学思想的潘多拉魔盒，促使数学家开始从“绝对真理”的追求转向“公理体系的内在逻辑一致性”的探究。 3. 对《几何原本》的重新审视与公理化运动的兴起 随着非欧几何的出现，人们开始意识到欧氏几何的公理系统并非完全自明或完备。本书详细叙述了波尔查诺（Bolzano）在19世纪初期的部分尝试，以及更具决定性的，希尔伯特（Hilbert）在世纪之交前夜的准备工作。焦点放在了对欧氏几何基本概念（如点、线、面、在...之间）进行严格的公理化定义的必要性上。这次公理化运动，标志着几何学正式从对外部实在的描述，彻底转向对抽象逻辑结构的探索。 第二部分：希尔伯特的公理体系与形式主义的奠基（19世纪末至20世纪初） 如果说非欧几何是“解构”了传统几何的必然性，那么希尔伯特的公理化工作则是对整个数学结构进行“重建”的尝试。 1. 希尔伯特公理体系的革命性意义 本书用大量篇幅解析了戴维·希尔伯特于1899年出版的《几何基础》的结构和意图。我们强调，希尔伯特的贡献在于： 明确区分了“概念”与“公理”： 他将几何中的基本元素视为未被定义的“直观概念”，而真理则完全建立在明确陈述的公理之上。 追求系统的完备性与独立性： 希尔伯特将研究的重点从“几何学本身的真理性”转移到“公理系统本身的逻辑性质”——即系统是否完备、一致（无矛盾）、独立。 2. 基础危机的加深与集合论的崛起 几何学基础的重建工作，与同时发生的分析学和集合论的基础危机紧密交织。我们探讨了朴素集合论（如弗雷格和初期罗素的工作）在试图统一整个数学基础时遭遇的内在矛盾（如罗素悖论）。这使得几何学研究者不得不面对一个更宏大的问题：几何学如何嵌入到一个更广阔的数学框架中？ 欧氏几何不再是孤立的真理，而是成为了一个可以在集合论的语言中被严格定义的结构。 3. 射影几何学的成熟与拓扑学的先声 在公理化运动高歌猛进的同时，几何学自身的分支也迎来了新的发展。本书讨论了射影几何学（Projective Geometry）如何通过放弃平行公设，专注于不变量（如交比），从而提供了一个比欧氏几何更具统一性的视野。更重要的是，我们追踪了拓扑学（Topology，当时称为“位置几何”）的萌芽，关注莱夫谢茨、庞加莱等人如何开始研究在连续形变下保持不变的性质，这预示着几何学将超越度量和角度的概念，进入更抽象的维度。 第三部分：数理逻辑与几何学的终结与新生（20世纪中叶以后） 进入20世纪，逻辑学工具的成熟彻底改变了对几何学基础的理解，也标志着“近代欧氏几何学”作为一个特定历史阶段研究主题的完成。 1. 哥德尔不完备性定理的阴影 本书的核心论述之一是哥德尔（Gödel）不完备性定理对所有公理化系统的影响，尤其是对希尔伯特纲领的冲击。我们分析了该定理如何证明，任何足够强大（足以包含算术的）的公理系统，若其自身一致，则必然存在不可判定的命题。这意味着，即使是基于最严谨公理的欧氏几何，其所有真理也无法完全被该公理系统所推导出来。 2. 模型论的兴起与几何的“实在性” 面对哥德尔的结果，数学家转向了模型论（Model Theory）。我们阐述了洛文海姆-斯科伦定理（Löwenheim-Skolem Theorem）如何表明，一个公理系统（包括欧氏几何的公理系统）可以拥有不可数的模型。这意味着，我们可以构造出与欧氏几何公理完全相符，但在“大小”或“构造方式”上与我们直觉中的平面几何截然不同的模型。这最终将几何学的研究导向了纯粹的逻辑结构研究，而非对具体空间形态的描绘。 3. 几何学的后续发展与现代视野 最后，本书总结了近代欧氏几何研究的成果如何为现代数学的各个领域提供了基础： 微分几何的基石： 严谨的公理基础使得黎曼几何等更复杂的度量几何得以发展。 代数几何的抽象化： 几何问题越来越被转化为代数方程组的解集研究。 广义相对论中的应用： 尽管非欧几何（特别是黎曼几何）占据主导，但对欧氏几何在局部可近似性的理解，是连接经典与现代物理学的桥梁。 本书的结论是，近代欧氏几何学研究的历史，是人类理智从对“唯一真理”的信仰，转向对“逻辑结构可能性”的探索的历史。它成功地使几何学从一门依赖直觉的经验科学，转变为一门完全形式化的逻辑演绎科学，为20世纪的数学革命铺平了道路。

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我是一个资深的历史爱好者，尤其痴迷于科学史如何与人类文明进程交织缠绕。这本书在处理“近代”这个时间跨度时，展现出了极其敏锐的洞察力。它没有停留在对欧氏体系本身的公式复述上，反而将大量的笔墨倾注于那些“动摇”和“挑战”传统观念的思想家身上。我读到关于非欧几何萌芽时期的论述，简直是拍案叫绝。作者对罗巴切夫斯基和鲍伊亚伊早期手稿的解读，细致入微，仿佛带领读者亲临那些思想碰撞的第一现场。那种面对根深蒂固的信仰体系产生怀疑，并勇敢地迈出第一步的勇气，被刻画得淋漓尽致。这种叙事策略使得全书的张力非常足，读者会自然而然地跟随作者的思路，体验从“绝对真理”到“相对真理”的认知革命过程。而且，书中对当时科学共同体内部对于新理论的抵制和争论的描写，也为我们提供了理解科学进步并非坦途的绝佳案例。

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说实话，我本来担心这本书会是一本晦涩难懂的学术专著，毕竟涉及到如此基础而又宏大的数学分支。然而，作者巧妙地运用了大量的类比和历史事件作为参照系，极大地增强了可读性。我印象最深的是，书中将某些几何公理的确定性，与当时欧洲政治体制的构建过程进行了类比阐述。这种跨学科的对话，不仅让复杂的概念变得直观易懂，更提升了整部作品的学术品位。它不再仅仅是数学史，而是一部关于人类思维范式如何演进的宏大叙事。此外，书中对插图和图表的选择也极为考究，它们并非简单的示意，而是经过精心挑选的，往往能一图胜千言，瞬间点亮困惑已久的概念。整体来看，这本书的结构安排流畅自然，每一章的过渡都像是精心编排的乐章，层层递进，高潮迭起，读起来酣畅淋漓，完全没有一般专业书籍的枯燥感。

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这本书的封面设计真是充满了古典的韵味，那深沉的墨绿色调，配上烫金的细致花纹，让人一眼就能感受到其中蕴含的厚重历史感。我拿到手的时候，那种纸张的质感也相当不错，散发着淡淡的书卷气，翻开扉页，就能感受到作者在选材上的严谨和考究。虽然我目前只看完了前几章，但很明显，作者并没有急于进入那些复杂的证明和公理推导，而是花了大量的篇幅来铺陈当时的数学思想背景和社会思潮。比如，书中对欧几里得时代哲学思辨的细致描绘，以及几何学在那个时期被视为“完美知识”的文化土壤，都刻画得栩栩如生。我特别欣赏作者的叙事手法，它不是枯燥的教科书式介绍，更像是一部深入人心的学术传记，将那些古希腊的智者们从历史的迷雾中拉了出来，让我们看到了他们在探寻真理过程中的挣扎与欣喜。这种引人入胜的叙述方式，极大地降低了阅读门槛，即便是对纯粹的数学理论不甚熟悉的读者，也能被深深吸引，从而对“几何学”这个概念产生更深层次的理解和敬畏。

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这本书给我最大的感受是它对待“工具性”和“本体论”辩证关系的深刻思考。很多关于几何学的书，要么过于侧重于证明技巧的罗列，要么流于对历史八卦的描绘。但这本书的高明之处在于，它清晰地揭示了，几何学从一种描述物理世界的“绝对真理”工具，是如何一步步演变为研究逻辑结构本身的“本体论”体系的。我特别留意了书中关于“无穷小”概念在微积分发展早期所引发的争议，以及几何学如何参与到这场数学基础危机的辩论之中。作者对那些哲学层面的探讨，处理得既不浮于表面，又不陷入无谓的玄学争论，分寸把握得恰到好处。它引导我去思考，我们今天习以为常的数学结构，在历史上是如何艰难确立的，以及这种确定性背后的代价和局限性是什么。这本书的价值，远超出了介绍某一个数学分支的历史范畴，它实际上是一部关于理性构建世界的思想史。

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我最近在为我的一个本科课程准备资料，希望能找到一些能够激发学生兴趣的辅助阅读材料。这本书绝对是上上之选。它的语言风格典雅而不失活力，学术的严谨性与人文的关怀完美融合。我尤其赞赏作者在讨论伽罗瓦理论早期影响时，那种对数学家个体命运的深切关怀。书中对那些早逝的天才和未被理解的前驱者的描写，充满了人文主义的色彩，让人在学习知识的同时，也能感受到历史的厚重和人性的光辉。这种将冰冷的公式与鲜活的生命体验相结合的写作方式，使得这本书不仅是知识的载体，更是一件艺术品。它让我深刻认识到，每一次数学上的飞跃，背后都站着一个个鲜活的、充满激情的灵魂。对于任何想深入了解现代科学思维是如何孕育而成的读者来说，这本书都是一份不可多得的宝贵财富，它提供的深度和广度，是市面上大多数同类读物难以企及的。

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里面包含了现代数学的影子，这是外行研究的盲点

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还记得三年前第一次见到数学老师，他让我看这个书学几何，旁边的同学纷纷表示这个书太难不适合我看，于是换了另外一本书。后来有了一定的基础再去看，发现这本书写的简洁而深刻，遗憾的是我并没有毅力看完。

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还记得三年前第一次见到数学老师，他让我看这个书学几何，旁边的同学纷纷表示这个书太难不适合我看，于是换了另外一本书。后来有了一定的基础再去看，发现这本书写的简洁而深刻，遗憾的是我并没有毅力看完。

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这书啥也不说了，神书，当年只看了一部分，才知道原来平几可以这么讲

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