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出版者:人民日报

作者:朱丽英

出品人:

页数:342

译者:

出版时间:2005-8

价格:21.80元

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isbn号码:9787801539670

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《数理分析精要与应用》内容简介 第一部分：微积分基础与极限理论的深化 本书旨在为读者构建一个严谨而富有洞察力的微积分知识体系，重点在于对极限、连续性和导数的深入理解及其在分析学中的核心地位。 第1章：实数系统与基本拓扑 本章从皮亚诺公理出发，构建完整的实数系统 $mathbb{R}$，并着重探讨其完备性（LUB/GLB性质）。我们将详细讨论 $mathbb{R}$ 上的基本拓扑概念，包括开集、闭集、点集的一致收敛性、聚点、导集、上确界和下确界在实际问题中的应用。特别关注区间套原理和非空有界闭集的完备性定理在证明中的关键作用。对数列的极限，将严格采用 $epsilon-N$ 定义，并辅以大量的具体实例，阐明数列极限存在的充要条件——柯西收敛准则。 第2章：函数极限与连续性 函数极限的讨论将超越初等微积分中的直观描述，采用严谨的 $epsilon-delta$ 定义来分析单侧极限、双侧极限的存在性。本章深入研究Heine定义与Cauchy定义的等价性。在连续性方面，不仅涵盖点态连续，更引入一致连续性的概念，并通过Bolzano-Weierstrass定理和Heine-Borel定理，证明在闭区间上的连续函数必然一致连续，并探讨函数在无穷区间上的行为。引入极限定理（如挤压定理）来处理复杂函数的极限计算。 第3章：导数与微分 导数的定义将被提升至微分的角度，深入探讨高阶导数的概念及其在级数展开中的地位。本章的核心在于对微分中值定理的精确论述和证明，包括Rolle定理、均值定理（Lagrange）和广义均值定理（Cauchy）。我们将详细分析这些定理在证明不等式和分析函数单调性、极值点上的应用。L'Hôpital法则的严格推导将作为其应用的基础，特别关注当极限形式不满足基本假设时的错误倾向。 第4章：不定积分与定积分的理论基础 定积分的引入将基于Riemann可积性理论，详细阐述可积函数的充要条件（例如，几乎处处连续的函数可积）。积分的线性性质、中值定理将被严格证明。本章还涉及牛顿-莱布尼茨公式的严格推导，并讨论其适用范围。对广义积分（反常积分）的收敛性判断标准，如比较判别法、比值判别法，将进行系统梳理。 第二部分：多元分析与向量微积分 本部分将分析工具扩展至多维空间，为物理和工程中的复杂场论问题奠定基础。 第5章： $mathbb{R}^n$ 空间中的向量与拓扑 本章建立多维欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 的概念，定义其范数（特别是欧几里得范数）和内积。对 $mathbb{R}^n$ 上的拓扑概念（开球、闭球、邻域）的讨论，旨在揭示其与 $mathbb{R}^1$ 拓扑的内在联系与区别。向量序列的收敛性、柯西序列以及完备性在 $mathbb{R}^n$ 上的推广是本章的重点。 第6章：多元函数极限、连续性与偏导数 多元函数的极限分析需要引入路径依赖性，详细讨论函数在某点极限存在的必要条件。偏导数的概念将被引入，并与全微分进行对比，明确指出可微性强于偏导数存在性。全微分的几何意义和计算方法将得到强调。 第7章：多元函数的极值与最优化 本章系统研究多元函数在给定区域内的极值问题。我们将严格利用Hessian矩阵（二阶偏导数矩阵）的性质（正定性、负定性）来判断临界点的局部极值类型。Lagrange乘数法作为处理带约束优化问题的核心工具，将通过隐函数定理进行理论支撑，并提供多个实际应用的案例分析。 第8章：线积分、面积分与基本定理 本部分是向量分析的基石。我们将介绍曲线（线积分）和曲面（面积分）上的积分概念，并着重阐释这些积分在物理学中表示功、质量或通量的重要性。核心内容包括： 格林公式（Green's Formula）：连接平面区域内的二重积分与边界上的线积分。 斯托克斯公式（Stokes' Theorem）：连接曲面上的面积分与边界曲线上的线积分，是旋度的积分形式。 高斯散度定理（Gauss-Divergence Theorem）：连接三维区域上的体积分与边界曲面上的面积分，是散度的积分形式。 对这些定理的理解将基于保守场的概念，并强调其在流体力学和电磁学中的应用基础。 第三部分：级数理论与函数逼近 本部分关注无穷序列与无穷和的收敛性，以及用级数来表示和逼近复杂函数的方法。 第9章：无穷级数的收敛性判别 本章细致区分了级数收敛的必要条件与充分条件。将系统介绍比值检验、根值检验、积分判别法等工具。对交错级数，将深入探讨Leibniz判别法及其绝对收敛、条件收敛的区别。收敛因子的重排对级数和的影响（如Riemann重排定理）将被用作加深理解的案例。 第10章：幂级数与泰勒展开 幂级数是理解函数展开的核心。我们将确定幂级数的收敛半径和收敛区间，并深入探讨函数项级数的一致收敛性。泰勒定理与麦克劳林公式将被详细推导，并分析余项的拉格朗日形式和积分形式。本章将展示如何利用已知的基本函数（如 $e^x, sin x$）的展开式，通过积分、求导或代换的方法构造其他复杂函数的幂级数表示。 第11章：傅里叶级数简介 作为函数展开的另一种重要工具，傅里叶级数在本章进行初步介绍。我们将探讨周期函数的狄利克雷条件，并展示如何计算三角函数的傅里叶系数。重点在于理解傅里叶级数在函数逼近（尤其是求解偏微分方程的初步思路）中的核心价值，以及其收敛性的特点。 全书特点： 本书的编写风格力求精确与直观相结合，在严格的数学证明基础上，辅以大量源自物理、几何和工程领域的应用实例，帮助读者从“计算”层面过渡到“理解”层面，构建一个坚实的分析学思维框架。每章末尾均设有“概念辨析与深度思考”部分，以期启发读者进行更深层次的探究。

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这本书的出现，简直就像在迷雾中点亮了一盏指路明灯，尤其对于我这种在概率统计领域摸索了许久，却总是感觉抓不住核心精髓的学生来说。翻开书的第一页，就被它那种清晰而富有条理的结构所吸引。作者并非上来就堆砌公式和定理，而是循序渐进地构建起概率论的大厦。从最基础的随机事件、概率的定义，到条件概率、独立性，再到全概率公式和贝叶斯公式，每一个概念的引入都伴随着详实生动的例子。这些例子并非那种脱离实际、晦涩难懂的抽象场景，而是贴近生活，比如彩票中奖的可能性、掷骰子的点数分布，甚至是传染病的传播几率。通过这些具象化的描述，我能更直观地理解抽象的数学概念，不再感到理论与实践之间的隔阂。

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这本书在语言表达上也相当到位。作者的文字流畅、生动，避免了过于枯燥的学术术语堆砌。他善于运用比喻和类比来解释复杂的概念，使得阅读过程充满乐趣。即使是初学者，也能在轻松愉快的氛围中掌握这些原本可能令人望而生畏的数学知识。这种“润物细无声”的教学方式，让我在不知不觉中就提升了自己的数学素养。

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最令我印象深刻的是，作者在讲解过程中，并没有回避统计学中的一些“灰色地带”或者说“陷阱”。比如在进行假设检验时，关于P值的解释，他并没有简单地将其定义为“拒绝原假设的概率”，而是更深入地剖析了P值的统计学含义，以及在实际应用中容易产生的误解。他还强调了统计推断的局限性，提醒读者在解读结果时需要谨慎，不能过度自信。这种严谨的学术态度，对于培养我们批判性思维至关重要。很多其他的教材往往只给出方法的步骤，却忽略了这些关键的细节，导致我们对统计结果的理解可能流于表面。

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在统计推断的部分，这本书对于区间估计和假设检验的统一性讲解，让我豁然开朗。过去我总觉得区间估计和假设检验是两件独立的事情，看完这本书我才明白，它们其实是同一个问题的不同表达方式。作者通过精心设计的例子，将两者紧密联系起来，让我能够更深刻地理解统计推断的原理。例如，一个置信区间可以被看作是接受或拒绝一系列零假设的集合，这种联系的建立，极大地加深了我对统计推断整体框架的理解。

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这本书在数理统计部分的讲解，更是让我醍醐灌顶。参数估计、假设检验，这些曾经让我头疼欲裂的章节，在这本书里变得异常清晰。作者的讲解方式非常注重逻辑的连贯性，他会先解释“为什么”需要这些方法，它们解决的核心问题是什么，然后再深入到“如何”操作。比如在讲点估计时，他不仅介绍了矩估计和最大似然估计这两种主流方法，还详细阐述了它们各自的优缺点以及适用范围，并且通过大量的实例演示了如何运用这些方法解决实际问题，例如根据样本数据估计某种产品的合格率，或者预测股票市场的未来走势。这种深度和广度的结合，让我在掌握基本工具的同时，也能培养出独立思考和解决问题的能力。

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除了理论的严谨性，这本书的实用性也同样出色。它不仅涵盖了概率论与数理统计的基础知识，还触及了一些在实际应用中非常重要的统计方法，比如回归分析、方差分析等。作者在介绍这些方法时，会结合具体的应用场景，例如分析不同广告投入对销售额的影响，或者研究不同肥料对农作物产量的影响。这些生动的案例，让我能够将书本上的理论知识与实际工作中的问题联系起来，学会如何运用统计工具来分析和解决现实问题。

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对于书中的习题，我必须给予高度评价。它们的设计非常精巧，既有巩固基础的计算题，也有考察理解的分析题，还有一些需要综合运用多章节知识的应用题。完成这些习题的过程，不仅是对我知识掌握程度的检验，更是对我解决问题能力的锻炼。尤其是一些开放性的习题，鼓励我进行更深入的思考和探索，让我能够更灵活地运用所学知识。

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总而言之，这是一本非常值得推荐的概率论与数理统计教材。它不仅在理论深度和广度上达到了相当高的水平，更在教学方法和实用性上做得非常出色。通过阅读这本书，我不仅系统地学习了概率论与数理统计的核心知识，更重要的是，我学会了如何用统计的思维去观察和分析世界，培养了严谨求实的科学精神。这本书为我打开了一扇通往数据科学世界的大门，也为我未来的学习和研究奠定了坚实的基础。

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我尤其欣赏作者在处理统计模型时所展现出的灵活性。他并没有将某些模型视为“万能钥匙”，而是强调了选择合适模型的重要性，以及模型假设的检验。在讲解回归模型时，他对残差分析、多重共线性等问题的处理，都显得非常细致，并给出了相应的诊断方法和修正建议。这种对模型细节的关注，是很多其他教材所忽略的，但却是在实际数据分析中至关重要的环节。

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这本书对于数学原理的推导，也做得非常到位。并非简单地给出结论，而是耐心地引导读者一步步理解公式的来源和意义。比如在推导中心极限定理时，作者先从二项分布开始，然后过渡到泊松分布，再到正态分布，整个过程就像搭积木一样，层层递进，逻辑清晰。在理解这些核心定理的过程中，我仿佛亲身经历了数学家们探索真理的过程，这种“知其所以然”的学习体验，是我在其他教材上很难获得的。它让我不再是死记硬背公式，而是真正理解了概率论的逻辑体系。

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