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出版者:东北大学出版社

作者:

出品人:

页数:330

译者:

出版时间:2001-4

价格:15.00元

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isbn号码:9787810544672

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• 线性代数
• 高等数学
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• 计算数学

数学分析与高等代数：理论、方法与应用精选习题集 本书简介 本书汇集了一套精心挑选的、涵盖现代数学核心基础的习题与例题，旨在为理工科、经济学及相关专业学生提供一个全面、深入的自我检测与能力提升平台。全书内容严格围绕数学分析（通常指微积分部分）和抽象代数（高等代数）这两大支柱构建，旨在帮助读者巩固理论知识，熟练掌握解题技巧，并培养严谨的数学思维。 第一部分：数学分析精要 本部分侧重于建立和深化读者对极限、连续性、微分、积分和级数等核心概念的理解。我们遵循从基础到深入的逻辑结构，确保知识点的覆盖全面且层次分明。 第一章：极限与连续性 本章的习题设计旨在检验读者对$epsilon-delta$语言的掌握程度，这是整个数学分析的基石。 序列极限： 包含对单调有界定理的灵活应用、Cauchy收敛准则的运用，以及利用Stolz-Cesàro定理处理特定类型的数列极限问题。设计了若干复杂数列的极限计算题，要求读者准确判断收敛性并求出极限值。 函数极限： 重点考察对极限定义的深刻理解，包括单侧极限、无穷极限的处理。大量涉及洛必达法则（L'Hôpital's Rule）的应用场景，并设计了需要使用泰勒展开式或等价无穷小替换才能简便求解的难题。 连续性与一致连续性： 习题要求读者严格证明函数在闭区间上的连续性与一致连续性。关键内容包括对介值定理（Intermediate Value Theorem）和最值定理（Extreme Value Theorem）的实际应用，以及构造反例来证明函数不一致连续的情形。 第二章：导数与微分中值定理 本章着力于微分学的几何意义和代数计算的结合。 导数的计算与应用： 涵盖隐函数求导、参数方程求导、高阶导数的计算。应用题侧重于分析曲线的凹凸性、拐点确定、渐近线的求法，以及曲率的计算。 中值定理的证明与应用： 要求读者熟练掌握罗尔定理（Rolle's Theorem）、拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）和柯西中值定理（Cauchy's Mean Value Theorem）的理论推导。应用题中设计了涉及函数方程、不等式证明等需要巧妙应用中值定理的题目。 第三章：定积分与不定积分 本章是计算能力和理论结合的重点领域。 定积分的计算： 细致地覆盖了所有标准的积分技巧，包括分部积分法、三角代换、万能代换以及有理函数积分的奥斯特罗格拉德斯基法（即偏分法）。 广义积分： 对第一类和第二类广义积分的收敛性判断题量丰富，要求读者掌握判别审敛法（如比较判别法、极限比较判别法）的正确应用，尤其是在积分限为无穷大或被积函数存在奇点时。 积分的应用： 涉及弧长、面积、旋转体的体积计算，并包含一些物理背景下的应用题，如功、质心和转动惯量的计算。 第四章：无穷级数 本章的难度显著提升，要求读者具备较强的抽象分析能力。 常数项级数： 重点训练对正项级数（比值判别法、根值判别法）和交错级数（莱布尼茨判别法）的收敛性判断。 幂级数： 核心内容是求幂级数的收敛半径与收敛区间，并熟练地对已知函数进行泰勒展开或麦克劳林展开，进而推导出特定级数的和。 傅里叶级数引论（初步）： 包含对周期函数进行傅里叶级数展开的基础计算题，以及对级数收敛性（点态收敛与一致收敛）的初步探讨。 --- 第二部分：高等代数基础与进阶 本部分聚焦于线性代数的核心概念，强调向量空间、线性映射和矩阵理论的内在联系。 第五章：线性方程组与矩阵运算 本章是线性代数的计算基础。 矩阵运算与性质： 包含矩阵的加减乘法、转置、逆矩阵的计算。强调矩阵乘法不满足交换律的特性，并考察初等行变换在矩阵求逆中的应用。 线性方程组的求解： 重点在于运用高斯消元法（Gauss Elimination）和初等矩阵来求解线性方程组，并分析方程组解的存在性与唯一性。 矩阵的秩： 考察如何通过初等行变换确定矩阵的秩，并理解秩与线性方程组解集的维度之间的关系。 第六章：向量空间与子空间 本章是理论的起点，要求学生理解抽象的线性结构。 线性相关性与基： 大量习题要求判定一组向量是否线性相关，并求出给定向量组的基与维数。 子空间： 考察判断给定集合是否构成向量子空间，以及求解向量空间（如多项式空间、函数空间）的交、和子空间的一组基。 坐标变换： 包含从一个基到另一个基的坐标变换矩阵的求解与应用。 第七章：线性映射与特征值问题 本章是线性代数理论的精髓所在。 线性映射： 考察如何从线性映射构造矩阵，理解核（Kernel）与像（Image）的维度关系（秩-零化度定理）。 特征值与特征向量： 详细训练特征多项式的计算、特征值的求解，以及对应特征空间的求解。 对角化： 包含判断矩阵是否可对角化的充要条件，以及计算对角化矩阵所需的相似变换矩阵。对于不可对角化的矩阵，要求掌握Jordan标准型的概念性理解和初步计算。 第八章：二次型与欧几里得空间 本章将线性代数与几何直观相结合。 二次型： 考察二次型的矩阵表示，以及如何通过配方法或相似变换将二次型化为标准型。 正交性： 讲解内积空间的性质，侧重于向量的内积、长度和正交性。 正交对角化与谱定理： 对于对称矩阵，要求利用施密特正交化过程（Schmidt Orthogonalization）求出正交基，并利用正交相似变换对二次型进行简化。 本书的习题难度跨度较大，既包含巩固基本概念的计算题，也包含需要综合运用多种理论技巧的证明题和开放性问题，旨在全面提升读者的数学素养。

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拿到《线性代数题库精编.理工类》这本书，我首先关注的当然是题目的质量和数量。作为理工科学生，线性代数是必修的核心课程之一，它的应用范围极其广泛，从基础的工程力学、电路分析，到前沿的人工智能、大数据处理，都离不开线性代数的支撑。我个人在学习过程中，常常会遇到理论理解到位，但应用到题目上就卡壳的情况。所以，一本好的题库，能够帮助我巩固理论知识，提升解题技巧，是我非常需要的。我希望这本书的题目能够覆盖到线性代数的主要章节，并且难度适中，既有能帮助建立基础的入门题，也有能够挑战思维的拔高题。更重要的是，我希望题目的表述清晰，没有歧义，并且能够提供一些具有代表性的解题思路，帮助我理解解题的逻辑和方法，而不是仅仅给出一个答案。

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老实说，我对《线性代数题库精编.理工类》这本书的期望值挺高的，因为线性代数这门课对我们理工科的学生来说，重要性不言而喻，几乎贯穿了整个学习生涯。从最基础的矩阵运算，到稍微复杂一点的行列式、向量空间、线性变换，再到更高级的特征值、特征向量、二次型等等，每一个概念都像是构建知识大厦的基石，牢固掌握它们，才能为后续的学习打下坚实的基础。我特别关注的是那些能够体现线性代数在实际应用中价值的题目，比如在工程计算、数据分析、算法设计等方面，线性代数是如何发挥作用的。我希望这本书的题目能够不仅仅停留在理论层面，而是能有一些与实际问题相结合的案例，这样不仅能加深我理论知识的理解，更能让我感受到数学的魅力和实用性。毕竟，学以致用才是最重要的，如果能通过做题，逐渐领悟到线性代数在解决实际问题时的强大力量，那学习的动力会更足。

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我选择《线性代数题库精编.理工类》这本书，主要是被它的“精编”二字所吸引。我感觉线性代数这门课，知识点零散且抽象，很多时候我会在做题时感到力不从心，不知道从何下手。我希望这本书能够将那些分散的知识点，通过题目的形式进行系统性的梳理和整合。比如，很多时候我会在理解了某个概念后，却不知道如何运用它去解决一个实际的计算问题，或者是在面对一个复杂的证明题时，思路会变得混乱。我期待这本书的题目设计能够既有基础概念的巩固，也有技巧性的训练，更能包含一些能够考察学生对知识融会贯通能力的综合性题目。如果题目后面能附带详细的解析，那就更好了，这样我就可以在解题后，对照解析，找出自己的不足之处，并且学习到更优的解题思路和方法。毕竟，我希望能通过大量的练习，真正做到对线性代数知识的“精通”，而不是仅仅停留在“了解”的层面。

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对于《线性代数题库精编.理工类》这本书，我的期待主要集中在它能否有效地帮助我提升解决实际问题的能力。线性代数这门学科，对于理工科的学生来说，是构建更高级知识体系的基石，它的概念如向量、矩阵、线性方程组、特征值等，在物理、工程、计算机科学等诸多领域都有着不可或缺的应用。我时常觉得，自己在课堂上学到的理论知识，在面对实际应用时，总会显得有些隔阂。因此，我希望这本书的题目能够更加贴近实际应用，例如，能够包含一些与工程计算、数据拟合、图像处理等相关的题目，这样我就可以在练习中，将抽象的数学概念与具体的应用场景联系起来，从而更深刻地理解线性代数的价值。我特别期待能够看到那些能够引导我思考问题本质、启发我探索更优解法的题目，而不是简单地套用公式。

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这本书的标题叫《线性代数题库精编.理工类》，我拿到手的时候，其实是有点小期待的，因为我对线性代数这门课一直感觉是又爱又恨。爱它逻辑严谨，恨它抽象难懂，尤其是在理工科的学习中，线性代数简直是渗透到各个角落，比如信号处理、机器学习、图像识别等等，少了它，很多高深的理论就没法深入理解。我买这本书，主要是想通过大量的练习来巩固课堂上学到的知识点，同时也能帮助我梳理那些总是混淆不清的概念，比如向量空间的基和维数，线性变换的秩和零空间，特征值和特征向量的意义等等。我希望这本书的题目能覆盖到这些核心概念，并且难度梯度设计得比较合理，从基础题到综合题，能够循序渐进地提升我的解题能力。毕竟，光看书本理论是不够的，只有动手去解题，才能真正把知识内化，形成自己的理解。我最怕的就是那些一看就让人头大、一点思路都没有的难题，希望这本精编能够避免这种情况，提供一些启发性的题目，让我能够举一反三，遇到类似的题目也能迎刃而解。

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