数学 第三册 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:高等教育出版社

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页数:0

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出版时间:1900-01-01

价格:9.50元

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isbn号码:9787040046977

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• 数学
• 小学数学
• 三年级
• 上册
• 教材
• 同步练习
• 基础知识
• 数与运算
• 几何图形
• 问题解决

《高等代数基础与应用》内容概要 本书致力于为读者构建坚实的现代数学理论基础，尤其聚焦于抽象代数、线性代数以及它们在离散数学和计算科学中的初步应用。全书结构严谨，逻辑清晰，力求在保持数学严密性的同时，兼顾概念的直观性和实例的启发性。 --- 第一部分：群论基础与结构（Group Theory Fundamentals and Structure） 本部分是全书的理论基石，旨在系统介绍代数结构中最基本也最核心的概念——群。我们从集合论的预备知识出发，逐步引入代数运算、封闭性、结合律、单位元和逆元的严格定义，从而确立群的公理体系。 第一章：群的定义与基本性质 集合与二元运算： 详细阐述代数结构的基础——集合及其上的运算，区分内在（Internal）和外在（External）运算。 群的公理化体系： 严格定义群（Group），并讨论其四条基本公理。 基本性质的推导： 从公理出发，推导出单位元和逆元的唯一性、消去律等群论的经典引理。 平凡群与循环群： 介绍最简单的群结构，并深入探讨循环群（Cyclic Groups）的生成元、阶（Order）的概念及其结构性质，证明所有循环群同构于 $mathbb{Z}$ 或 $mathbb{Z}_n$。 第二章：子群、陪集与拉格朗日定理 子群的判定与性质： 给出子群的充分必要条件，并探讨子群集合的交、生成子群等概念。 陪集（Cosets）： 详细介绍左陪集和右陪集，阐明它们构成了对群的划分，并分析等价关系。 拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）： 作为群论中最著名的定理之一，本书不仅给出详尽的证明，更深入分析其推论：子群的阶必须整除群的阶，以及元素阶与群阶的关系。 正规子群的引入： 建立 $gH = Hg$ 的概念，引入正规子群（Normal Subgroups）的定义及其重要性，为商群的构造做准备。 第三章：商群与同态 商群（Quotient Groups/Factor Groups）： 基于正规子群，构造商群的运算规则，验证其封闭性、结合律，并证明商群是群的结构延续。 群同态（Group Homomorphisms）： 定义群之间的映射，确保运算的保持性（Structure-Preserving Map）。探讨同态的核（Kernel）和像（Image），并证明核必为正规子群。 同构定理（Isomorphism Theorems）： 重点阐述第一同构定理（First Isomorphism Theorem），即 $G/ ext{ker}(phi) cong ext{Im}(phi)$，并简要介绍第二和第三同构定理，展示不同子群和商群之间的关系。 群作用（Group Actions）： 从群与集合的相互作用角度，引入轨道（Orbits）和稳定子（Stabilizers）的概念，推导伯恩赛德引理（Burnside's Lemma）的初步形式，为计数问题奠定基础。 --- 第二部分：环与域的构造（Rings and Fields Construction） 在掌握了乘法结构（群）之后，本部分引入加法结构，构建环的代数体系，并最终过渡到具有除法性质的域。 第四章：环的定义与基本结构 环的公理化： 定义环（Ring），要求具备交换的加法群结构和满足分配律的乘法运算。区分交换环与非交换环。 特殊环的类型： 定义单位环（Ring with Unity）、整环（Integral Domain）和除环（Division Ring）。 子环与理想： 引入子环的概念，并定义理想（Ideals）——作为加法子群且对乘法具有吸收性的特殊子集，强调理想在环结构分解中的关键作用。 商环（Quotient Rings）： 类比商群，基于理想构造商环，并建立环同构定理。 第五章：整环的深入研究与域 整环的特性： 探讨整环中零因子（Zero Divisors）的缺失，并讨论域（Field）的定义——即所有非零元素都存在乘法逆元的环。 特征（Characteristic）： 定义环和域的特征，分析其与单位元或零元的关系，区分零特征域（如 $mathbb{Q}, mathbb{R}, mathbb{C}$）和有限特征域（如 $mathbb{Z}_p$）。 多项式环 $F[x]$： 以域 $F$ 上的多项式环为例，展示环论在函数构造中的应用。讨论多项式的次数、带余除法，并证明 $F[x]$ 具备欧几里得结构。 第六章：域的扩张与有限域（初步） 素理想与极大理想： 探讨理想的性质，特别是素理想（Prime Ideals）在整环中的对应关系，以及极大理想（Maximal Ideals）在构造域中的作用。 域的构造（Field Extension）： 简要介绍如何通过多项式环的商构造域，即 $F[x]/langle p(x) angle$（其中 $p(x)$ 是不可约多项式），这是构造超越实数系（如复数域 $mathbb{C}$）更一般化的方法。 有限域（Galois Fields）的初步概念： 介绍有限域存在的条件（阶数为素数的幂 $p^n$），并展示 $mathbb{F}_p$（即 $mathbb{Z}_p$）作为最小的有限域的结构。 --- 第三部分：线性代数核心概念（Core Concepts in Linear Algebra） 本部分引入向量空间的概念，侧重于代数结构（而非几何直观），为后续的矩阵理论和线性变换打下坚实的基础。 第七章：向量空间与子空间 数域与向量空间定义： 明确向量空间是定义在某个数域 $F$ 上的集合 $V$，元素满足加法和数乘运算，并遵循八条公理。 子空间的判定： 检验向量子集是否构成向量空间，讨论零子空间、自身空间以及向量和的交集。 线性组合、张成与线性相关性： 严格定义线性组合、张成集（Span），以及线性相关（Linear Dependence）和线性无关（Linear Independence）的概念，这是判断基的先决条件。 第八章：基、维数与线性映射 基（Basis）的构造与性质： 给出基的精确定义（线性无关的张成集），并证明任一向量空间的基都是有限的（若存在有限张成集），以及基的元素个数的唯一性。 维数（Dimension）： 定义向量空间的维数，并阐述其在度量空间复杂性上的作用。 线性映射（Linear Maps）： 定义从一个向量空间到另一个向量空间的线性变换，分析其核空间（Kernel）和像空间（Image）。 秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）： 证明 $dim( ext{Ker}(T)) + dim( ext{Im}(T)) = dim(V)$，这是连接输入空间、输出空间与变换结构的核心定理。 第九章：矩阵表示与同构 基变换与矩阵表示： 展示在线性映射下，变换 $T$ 如何通过选择不同基转化为矩阵 $A$，并讨论基变换矩阵 $P$ 如何影响表示矩阵（相似变换 $P^{-1}AP$）。 行列式（Determinants）的代数定义： 从多线性函数的角度重新审视行列式，而非仅仅作为计算面积或体积的工具，确保其理论的完备性。 特征值与特征向量（Eigenvalues and Eigenvectors）： 定义特征方程，求解特征值和特征向量，并探讨线性算子在不变子空间（Invariant Subspaces）上的行为。 对角化与Jordan标准型（初步）： 探讨何时矩阵可对角化（即存在一组特征向量作为基），并简要提及更一般的Jordan标准形理论，以处理不可对角化的情形。 --- 第四部分：应用与离散结构（Applications and Discrete Structures） 本书的最后一部分将前面抽象的代数概念应用于具体的数学和信息领域。 第十章：模（Modules）与有限生成 从向量空间到模的过渡： 将数域 $F$ 推广到环 $R$，引入模（Module）的概念。强调模的结构通常比向量空间更复杂，因为环上的乘法不一定可逆。 同态与同构： 建立模的同态和同构理论，这在抽象代数中具有广泛的建模能力。 有限生成模： 讨论在特定环上（如主理想域 PID），有限生成模具有结构定理，这与矩阵理论中的约当标准形有深刻联系。 第十一章：布尔代数与代数逻辑 布尔代数（Boolean Algebras）： 从集合论的角度定义布尔代数（例如幂集），并将其视为特殊的环（加法是异或，乘法是交集）。 格（Lattices）与偏序集： 引入格结构，作为连接集合论、拓扑学和抽象代数的桥梁。 在逻辑和计算机科学中的映射： 展示布尔代数如何直接对应于命题逻辑（真/假）和数字电路中的开关状态（开/关），为离散数学打下坚实基础。 本书特色： 本书贯穿始终的哲学是“结构决定性质”。通过对群、环、域和向量空间的系统学习，读者将掌握现代数学的通用语言，为未来深入研究拓扑学、代数几何、数论或应用数学打下不可动摇的理论基础。每章末尾均附有启发性的习题，要求读者不仅会计算，更要理解概念背后的逻辑推导。

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老实说，在拿到这本《数学 第三册》之前，我对“数学”这个词的印象还停留在枯燥的公式和繁琐的计算上，总觉得它是一门与我生活离得很远的学科。然而，这本书彻底颠覆了我的看法。它并没有一上来就抛出大量的定义和定理，而是从一些非常生活化的问题入手，比如如何估算一个大型建筑的容量，或者如何设计一个最优的物流路线。通过这些看似简单却蕴含深刻数学原理的例子，我才意识到数学并非高高在上，而是渗透在我们生活的方方面面。书中的图表和插图也做得相当出色，它们不仅仅是辅助理解的工具，本身就像一个个微型的故事，将抽象的数学概念可视化，让原本可能晦涩难懂的内容变得鲜活起来。我记得有一次，我被一个关于概率分布的章节困扰了很久，但书里用一个生动的模拟实验图示，一下子就点醒了我，让我豁然开朗。这种将理论与实践紧密结合的方式，让我觉得学习数学不再是为了应付考试，而是为了更好地理解和改造我们所处的世界。

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坦白说，当我拿起《数学 第三册》时，内心是有些忐忑的，因为我一直觉得自己不是那种天生的数学“学霸”。然而，这本书用一种极其耐心和友好的方式，一点点地打消了我的顾虑。它并没有一开始就给出过于艰深的内容，而是从一些基础的概念讲起，循序渐进，确保你在进入更复杂的领域之前，已经建立了坚实的基础。我特别喜欢它在讲解一些容易混淆的概念时，所使用的类比和对比。比如，当它解释两个相似但又不同的数学符号时，会非常细致地指出它们的区别和联系，并给出具体的例子来说明。这种细致入微的讲解，让我觉得作者非常了解学习者的困惑，并且尽力去帮助我们克服学习中的障碍。阅读过程中，我感到非常踏实，每一步的学习都能够得到有效的巩固，这种安全感让我能够更专注于数学本身的魅力，而不是被困难所吓倒。这本书让我重新认识到，即使不是“天才”，只要有好的引导和足够耐心，也能在数学的世界里找到自己的乐趣和成就感。

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我一直认为，学习数学的关键在于“融会贯通”，而这本书在这方面做得非常到位。它不仅仅是罗列知识点，更注重知识点之间的联系和内在逻辑。我发现，书中很多章节的讲解都建立在前一章的知识基础之上，并且会巧妙地引入新的概念，将它们与已学知识联系起来，形成一个庞大的知识体系。这种结构化的学习方式，让我在回顾的时候，能够清晰地看到知识的脉络，理解不同概念之间的相互依存关系。我尤其喜欢它在每个章节末尾设置的“思考题”部分，这些题目往往不是简单的重复练习，而是需要你运用所学知识去分析和解决一些更复杂的问题，甚至会引导你思考一些新的可能性。这让我感觉自己不仅仅是在学习书本上的内容，而是在主动参与到数学的探索过程中。通过这些题目，我学会了如何将理论知识灵活运用到实际情境中，如何从不同的角度分析问题，这对我来说是非常宝贵的学习经验。

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这本书的封面设计就透着一股子沉静的力量，那种不张扬但足够厚重的蓝色，让人一看就知道里面不是什么花哨的玩意儿。翻开扉页，纸张的触感温润细腻，闻起来还有淡淡的油墨香，瞬间就有一种捧读经典的感觉。我一直觉得，一本好的数学书，不仅仅是传授知识，更是一种思维的启迪。这本书给我的第一印象，就是它有一种引导你一步步深入探索的魔力。书中的例题设计得极其精巧，不是那种一眼就能看出答案的简单题，也不是那种让人望而却步的难题。它就像一个引路人，通过层层递进的设问，一点点地揭示出问题的本质，让你在解题的过程中，不知不觉地掌握了更深层次的数学思想。我尤其喜欢它对某些抽象概念的阐释方式，常常会辅以一些生动形象的比喻，或是将其与实际生活中的现象联系起来，这极大地降低了理解的门槛，也让学习过程变得更加有趣。而且，它不仅仅是告诉你“怎么做”，更重要的是告诉你“为什么这么做”，这种对原理的深入挖掘，让我觉得自己在学习知识的同时，也在塑造一种严谨而富有逻辑的思维方式。

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这次的阅读体验，可以说是一次相当“硬核”的挑战，但也是一次收获颇丰的“硬核”旅程。这本书在内容上的深度和广度都给我留下了深刻的印象，它并没有回避那些真正具有挑战性的数学概念，而是选择正面迎击，并且用一种令人信服的方式来阐述。我特别欣赏它在推导定理和公式时的严谨性，每一步都逻辑清晰，论证充分，让你能够完全理解其产生的过程，而不是仅仅记住结果。在学习的过程中，我多次感受到那种“灵光一闪”的时刻，仿佛是数学的逻辑之门在我面前缓缓打开。这本书的语言风格也相当独特，它不像一些通俗读物那样追求轻松幽默，而是保持着一种高度的专业性和精确性，但同时又不会让你觉得生涩难懂。它更像是一位经验丰富的导师，用最直接、最可靠的方式将复杂的知识传递给你。阅读过程中，我常常需要停下来，反复咀嚼书中的每一个字句，思考每一个证明的逻辑链条，这种沉浸式的学习体验，让我觉得自己的数学功底在不知不觉中得到了极大的提升。

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