数学分析与高等代数选讲 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:中国矿业大学出版社

作者:王戈平

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1900-01-01

价格:32.00元

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isbn号码:9787810705592

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《微积分的哲学基石：从直觉到严谨的跨越》 本书简介 一、 引言：重新审视微积分的本质 本书并非传统的微积分教材，它将带领读者深入探讨微积分概念背后的哲学意涵与严谨的数学基础。我们常常在应用层面熟练运用极限、导数和积分，但很少有机会停下来思考：我们所依赖的“无穷小”究竟意味着什么？“连续性”的严格定义是如何确立的？本书旨在填补这一认知鸿沟，将微积分从一套计算工具提升为一门具有深刻思想内涵的数学分支。我们将聚焦于17世纪以来数学家们为使微积分摆脱直觉上的模糊性，建立起坚实公理体系的艰辛历程。 二、 极限理论的诞生与实数系统的构建 微积分的基石在于极限概念。本书将详细剖析柯西（Cauchy）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass）如何通过$epsilon-delta$语言将牛顿和莱布尼茨的“流数”与“无穷小量”提升到严格的数学定义。 2.1 无穷小量的困境与归零的艺术： 我们将回顾早期的批判，例如贝克莱主教对“逝去的量”的质疑。接着，深入分析$epsilon-delta$定义的数学构造，揭示它如何巧妙地避开了对“无穷小”这一模糊概念的直接依赖，转而关注函数在特定点附近的局部行为。 2.2 实数系统的完备性： 极限的严格定义依赖于一个完备的实数系统。本书将系统阐述有理数集的拓扑结构缺陷，并详细介绍戴德金（Dedekind）分割和柯西序列收敛性两种构建实数系统的主要方法。我们将探讨实数完备性定理（如上下极限原理、任何有界数列必有收敛子列的Bolzano-Weierstrass定理）对于微积分理论的决定性作用。这一部分旨在让读者理解，我们所使用的数轴并非天生完备，而是经过严谨的数学构造才得以支撑起整个微积分大厦。 三、 连续性、一致收敛与函数的精细分析 在建立了极限的严格基础后，本书转向对函数性质的深入探究，重点关注连续性与收敛性的概念区别及其重要性。 3.1 连续性的拓扑视角： 我们将超越“图形不间断”的直观理解，使用开集和邻域的概念来定义拓扑连续性。在此基础上，我们将严密证明介值定理、极值定理，并讨论它们在证明方程解的存在性方面的关键地位。 3.2 一致收敛的必要性： 在处理无穷级数和无穷乘积，尤其是涉及函数序列时，逐点收敛与一致收敛之间的差异至关重要。本书将通过具体的反例（如魏尔斯特拉斯的三角函数逼近例子）清晰展示，只有一致收敛才能保证在极限运算中可以交换极限符号与积分（或微分）符号。这一章节是理解函数逼近理论和傅里叶级数收敛性的关键桥梁。 四、 微分学：切线、加速度与最优化的严谨性 微分学是描述变化率的工具，但其背后的理论依据远比求导公式复杂。 4.1 导数的几何与代数统一： 本书将深入探讨导数的定义，并从几何上探讨切线斜率的意义，以及从物理上探讨瞬时速度和加速度的意义。更重要的是，我们将关注可微性对函数的约束——一个函数在某点可微必然连续，但反之不然。 4.2 均值定理的深远影响： 罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理是微分学的核心支柱。我们将详细证明这些定理，并展示它们如何成为泰勒定理的逻辑起点。泰勒展开的余项分析（拉格朗日余项和柯西余项）将被细致考察，以量化函数局部线性近似的误差界限。 4.3 高阶导数与极值分析： 我们将考察二阶导数在确定函数凹凸性以及极值点的二阶判别法中的作用，并探讨更一般的高阶导数在函数拟合中的应用。 五、 积分学：从黎曼和到勒贝格积分的远眺 本书将积分视为“求和”的极限过程，并着重于黎曼积分的构造与局限性。 5.1 黎曼积分的构造与可积性： 我们将详细介绍上和、下和的概念，并确立黎曼可积的充要条件——函数的间断点集合必须是零测集。通过分析尖峰函数（如狄利克雷函数）的不可积性，读者将深刻理解黎曼积分的局限性。 5.2 广义积分与反常积分： 本书会探讨积分区间无穷延伸或被积函数在区间内存在不致有界的积分（反常积分）的处理方法，并严格区分条件收敛与绝对收敛在积分中的重要区别。 5.3 积分的现代视野（简要介绍）： 虽然本书主要基于经典分析，但为拓宽视野，我们将简要介绍勒贝格积分的出现背景，强调其在处理不规则函数序列的积分交换问题上相较于黎曼积分的优越性，为读者后续深入学习泛函分析奠定概念基础。 六、 微积分在多变量函数中的推广（初步探讨） 本书将适度扩展到多变量函数，但重点不在于繁琐的计算技巧，而在于理解偏导数和全微分的几何意义及其在多维空间中的局限性。我们将介绍梯度向量、方向导数，并探讨多重积分中的雅可比行列式在坐标变换中的核心作用，理解它如何精确地修正了体积（面积）元素的度量。 总结：分析的艺术与科学 《微积分的哲学基石：从直觉到严谨的跨越》旨在培养读者对数学严密性的敬畏感，揭示微积分背后的深邃逻辑结构。它要求读者不仅是计算的执行者，更是理论的探究者，从而真正掌握这门经典学科的精髓。本书适合已具备微积分基础，渴望理解其理论深度，并为未来深入学习实分析、拓扑学或微分几何做准备的数学、物理及工程学专业学生和研究人员。

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这本书在某些进阶主题的处理上，展现了极强的启发性，这一点对我后续的学习影响深远。例如，书中对于测度论和泛函分析的初步接触，处理得非常巧妙，它没有直接跳入复杂的抽象空间，而是通过对$L^p$空间的讨论，将积分理论的局限性自然地引向了更广阔的领域。这让我意识到，很多我们习以为常的“结论”，背后都有更宏大、更统一的数学结构支撑。读完相关章节后，我不再满足于仅仅会计算，而是开始思考，如果把这些工具应用到偏微分方程或者概率论中，会有怎样的精彩表现。这本书没有直接给出所有答案，但它成功地在我心中种下了“为什么”和“接下来呢”的求知欲的种子，这对于任何希望在数学领域走得更远的人来说，都是比任何现成知识都宝贵的收获。

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这本书的后半部分，关于高等代数的内容，简直是一股清流。我之前读过的很多教材，要么过于侧重计算技巧，把行列式和矩阵乘法当成纯粹的算术来教，要么就是上来就抛出向量空间、线性变换这些高度抽象的概念，让人望而却步。然而，《选讲》在这方面的处理非常优雅。它没有回避抽象性，但却用了大量的篇幅来阐释“几何意义”。比如，矩阵的特征值和特征向量，书中不是简单地给出求解步骤，而是将其解释为空间中“保持方向不变”的向量，这个视角一下子就让那些复杂的计算变得有血有肉。特别是关于正交分解和谱理论的论述，那种将线性代数的美感展现得淋漓尽致的笔法，让人印象深刻。它巧妙地将分析中的收敛性概念与代数中的矩阵对角化联系起来，这种跨领域的融合，极大地拓宽了我的数学视野，也让我明白了为什么线性代数被誉为“现代数学的语言”。

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这本《数学分析与高等代数选讲》实在让人大开眼界，尤其是它对微积分概念的阐述，简直是拨云见雾。我一直觉得有些书在讲极限的时候，总是在绕圈子，让人抓不住重点，但这本书不同，它用一种非常直观的方式，把$epsilon-delta$语言的精髓给“翻译”出来了。比如，书中对连续性的讨论，不是生硬地堆砌定义，而是通过一系列巧妙的几何直观和例子，让你真切地感受到函数在某一点“不跳跃”的含义。而且，作者在讲解级数收敛性时，那种层层递进的逻辑构建，让人忍不住想一气呵成地读下去。我尤其欣赏它在引入黎曼积分和勒贝格积分时的铺垫，不急不躁，将积分的概念从直观的面积累积，逐步提升到更抽象、更严谨的测度论视角，这种深度和广度兼备的处理方式，对于想真正吃透数学分析的人来说，是无可替代的财富。读完这部分内容，我感觉自己对无穷小的处理不再是机械的套用公式，而是有了更深刻的理论支撑。

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阅读体验上，这本书的排版和用语习惯也值得称赞。很多技术书籍，尤其涉及深奥的数学概念时，排版常常让人感到压抑和困惑，公式的嵌套和符号的堆砌让阅读过程变成了一种解码工作。但《数学分析与高等代数选讲》的版式非常清爽，公式的推导过程如同行云流水，逻辑链条清晰可见。更重要的是，作者的语气，虽然保持了数学的严谨性，却丝毫没有那种拒人于千里之外的冷漠感。它更像是一位经验丰富的导师，在引导你探索未知领域，时不时会穿插一些历史背景或者数学思想的演变，让原本枯燥的理论学习过程增添了一层人文色彩。这种亲和力在高等数学著作中是相当难得的，它极大地降低了读者进入深层抽象思维的心理门槛。

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坦白说，这本书的选材非常有品味，显示出作者深厚的学术功底和对教学艺术的精准把握。它不是一本“包罗万象”的参考书，而是一本“精雕细琢”的选集。我惊喜地发现，书中对一些核心定理的证明，总是能找到比标准教材更简洁、更具洞察力的路径。举个例子，它在处理反函数定理或隐函数定理时，所采用的工具和视角，明显比我过去接触到的版本更贴近实际应用和现代数学的思维。这种“选讲”的价值就在于，它剔除了那些为了凑篇幅而存在的、略显冗余的章节，专注于提炼出真正能提升思维层次的关键概念。对于一个已经有一定基础，但渴望突破瓶颈的读者而言，这种精炼和聚焦，远比厚厚的教科书来得更有价值。它更像是名师在午后茶会上的点拨，直指核心，发人深省。

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