线性代数辅导与习题详解 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:西安交通大学出版社

作者:杨泮池

出品人:

页数:277

译者:

出版时间:2004-4

价格:12.00

装帧:平装

isbn号码:9787560517759

丛书系列:

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矩阵理论的深度探索：从基础到前沿的应用解析 图书主题： 本书致力于为读者提供一个深入、全面、且极富实践指导意义的矩阵理论体系。它并非一本基础概念的简单罗列，而是着重于对矩阵理论背后深刻数学思想的剖析、关键定理的严谨证明，以及它们在现代科学与工程领域中的广泛应用。 目标读者： 本书面向高等院校的数学专业学生、理工科研究生、对高级数学理论有浓厚兴趣的研究人员，以及需要将线性代数工具应用于实际问题的工程师和数据科学家。读者应具备线性代数初级课程的知识基础。 --- 第一部分：结构与空间——线性代数的核心基石 本部分将扎实地回顾并深化读者对向量空间、线性变换等基础概念的理解，并将重点放在更抽象、更具结构性的视角上。 第一章：抽象向量空间与子空间 本章超越了 $mathbb{R}^n$ 的直观理解，探讨了更广泛的数学对象如何构成向量空间（如函数空间、多项式空间）。我们将深入研究子空间的定义、交集与和空间的构造，并详细阐述基（Basis）和维数（Dimension）的本质——它们是衡量空间“大小”和“自由度”的根本度量。重点讨论了同构（Isomorphism）的概念，揭示不同看似不同的空间在结构上的内在统一性。 第二章：线性映射的几何与代数统一 线性映射被视为连接不同向量空间的桥梁。本章不仅涵盖了核（Kernel）和像（Image）的计算，更着重于秩-零化度定理的深刻内涵，即输入空间维度如何被映射操作所分配。我们详细分析了线性映射在有限维空间中，可以通过选择不同的基进行“相似性”变换（Similarity Transformation），为后续的对角化和规范型理论奠定基础。 第三章：内积空间与几何直觉的回归 内积是赋予向量空间“长度”和“角度”概念的桥梁。本章将内积推广到任意域上的向量空间，并重点分析欧几里得空间中的正交性。施密特正交化过程的详细推导和几何意义将被深入剖析，展示如何将任意一组基转化为一组正交基。此外，本章还将引入伴随算子（Adjoint Operator）的概念，这是理解自伴算子和谱理论的先决条件。 --- 第二部分：矩阵理论的深化与分解——结构性的视角 本部分是本书的核心，它将线性代数的重点从单纯的方程求解转移到对矩阵本身的结构性质的深度挖掘。 第四章：矩阵的典范形式——理解矩阵的内在结构 本章是理解矩阵复杂性的关键。我们不满足于简单的对角化，而是系统地研究不可对角化的情况。内容将围绕以下核心展开： Jordan 标准型（JNF）： 详细介绍 Jordan 块的构造、Jordan Basis 的寻找方法，以及为什么 JNF 在复数域上是唯一的。我们将通过具体的算例展示如何精确地分解任意矩阵到其 Jordan 规范形。 有理标准型与初等因子分解： 对于特征域上矩阵，我们引入了比 Jordan 型更具代数稳定性的有理标准型（Rational Canonical Form），并通过初等因子定理揭示了矩阵在特定代数结构下的唯一分解。 第五章：特征值问题的拓扑与稳定性分析 特征值和特征向量不仅仅是解齐次方程的工具。本章聚焦于它们在系统动力学中的体现。我们将讨论特征值的扰动如何影响解的稳定性（Kato微扰理论的初步思想），并深入分析幂零矩阵和幂等矩阵的性质，它们是理解更复杂矩阵结构的砌块。 第六章：矩阵函数与微积分的融合 本章探讨如何将指数、对数、三角函数等分析工具应用到矩阵上。重点在于矩阵指数 $exp(A)$ 的定义、性质及其在常微分方程组（特别是线性系统）中的应用，展示它是求解 $frac{dx}{dt} = Ax$ 乃至更复杂控制系统的核心工具。 --- 第三部分：分解、优化与应用——矩阵理论的现代工具箱 本部分将理论知识与现代计算和优化领域紧密结合，展示矩阵理论作为强大工具箱的威力。 第七章：正交分解与几何投影的完美结合 本章专注于那些具有优良几何性质的矩阵分解，这些分解在数值计算中至关重要： QR 分解： 详细介绍 Gram-Schmidt、Householder 变换和 Givens 旋转在 QR 分解中的实现，及其在最小二乘问题求解中的优越性。 Cholesky 分解： 专为正定矩阵设计，在优化算法和有限元分析中的关键作用。 第八章：奇异值分解（SVD）——数据科学的基石 奇异值分解被视为矩阵分解的“万有理论”。本章将 SVD 置于中心地位： SVD 的几何解释： 将任意线性变换分解为旋转、拉伸和再旋转的序列。 SVD 与特征值分解的关系： 展示 $A^T A$ 和 $A A^T$ 的特征值与奇异值的关联。 低秩近似与主成分分析（PCA）： 详细阐述如何利用 SVD 获得矩阵的最佳低秩逼近，以及这是如何直接对应于数据降维技术 PCA 的核心算法。 第九章：正定性、二次型与优化 本章从几何角度审视二次型 $x^T A x$，并研究矩阵的正定性。我们将利用特征值和合同变换来判断二次型的类别，这直接关系到多元函数的极值判断（如 Hessian 矩阵的性质）。本章的结论是理解约束优化问题（如拉格朗日乘子法中的二阶条件）的数学基础。 第十章：矩阵的谱理论与大型系统分析 本章超越了有限维空间，触及无限维算子的谱理论的初级概念，主要关注于对称矩阵（或自伴算子）的性质，特别是谱定理的严谨表述和应用： 谱定理的意义： 证明了在内积空间中，对称矩阵总能被正交相似对角化。 应用实例： 简要探讨谱方法在图论（Graph Theory）和量子力学（如薛定谔方程的离散化）中的初步应用，展示矩阵理论如何连接纯数学与前沿工程问题。 --- 总结与展望： 本书旨在构建一个从严谨代数到实用分析的完整矩阵理论框架，确保读者不仅能“解题”，更能“洞察”矩阵背后的数学结构及其在现代计算科学中的核心地位。每一章节都配有深入的证明和具有挑战性的习题，以巩固理论理解并培养解决复杂问题的能力。

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作为一名工科专业的学生，我对数学工具的实用性和应用性有着近乎苛刻的要求。很多纯理论的数学书读起来索然无味，因为它们似乎脱离了我们未来需要解决的实际问题。然而，这本书在基础理论讲解之余，并未忽视应用层面的铺垫。虽然它主要聚焦于基础代数，但它在解释线性变换和矩阵分解这些核心概念时，巧妙地植入了它们在信号处理、数据降维（比如PCA的初步构想）中的影子。这些看似不经意的提及，对于我们这些未来需要与大量数据打交道的学习者来说，无疑是极具启发性的。它没有直接跳入高深的工程应用，而是通过这些“引子”，让我们对所学知识的重要性有了更宏观的认识。这使得原本枯燥的抽象运算，仿佛有了一层生动的现实背景支撑。我不再是单纯地为了解题而解题，而是带着一种探寻工具本质的兴趣去学习，这种内在驱动力的改变，才是这本书带给我最宝贵的财富。它成功地架起了理论与实践之间的一座坚实桥梁。

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这本书，坦率地说，让我对数学学习的态度都有了新的认识。我之前一直对代数类的课程抱有深深的畏惧感，总觉得那些符号和矩阵运算是高深莫测的，是少数天才才能掌握的领域。拿到这本书时，我并没有抱太大期望，只希望它能帮我勉强跟上课程进度。然而，阅读的过程却出乎意料地顺畅。作者的叙述方式非常亲切，仿佛有一位经验丰富的老师在你身边，耐心为你拆解每一个难懂的概念。他并没有简单地堆砌公式和定理，而是花了大量篇幅去解释“为什么”要这样做，这些数学工具在实际中究竟能派上什么用场。比如，在讲解向量空间时，书中用了很多生活化的例子来类比抽象的结构，这极大地降低了我的理解门槛。我记得最清楚的是关于特征值和特征向量的部分，那是很多同学的“拦路虎”，但这本书的处理方式就像剥洋葱一样，层层深入，每次揭开一层都能清晰地看到里面的逻辑脉络。对于那些自学或者基础薄弱的读者来说，这本书的陪伴感是无价的。它不仅仅是一本教材，更像是一个随时待命的私人导师，总能在你迷茫时提供恰到好处的指引，让你从心底里生出“原来如此”的豁然开朗。

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这本书的结构设计堪称业界典范。我对比过好几本同类型的参考书，它们大多要么过于注重理论的严谨性，导致读者在初学时就陷入晦涩的定义和证明的泥潭，要么就是为了追求易读性而牺牲了数学的深度，使得知识点显得零散且缺乏系统性。这本书却奇妙地找到了一个平衡点。每一章的布局都遵循着“理论引入—基础概念阐述—例题精讲—习题巩固”的完美闭环。尤其值得称赞的是它的例题部分，选择的角度极其刁钻，几乎涵盖了所有可能出现的陷阱和易错点。不同于其他书籍仅仅提供一个标准答案，这本书对每个例题都进行了详尽的步骤分解，并且在关键的转折点上，会用小标题特别标注出“注意此处的运算顺序”或“此步是关键的代数变形”，这种细致入微的提示，有效地帮助我们将错误的习惯扼杀在摇篮里。我发现，许多我在做模拟测试时常常犯的低级错误，都能在书中的例题详解里找到对应的“预防针”。这种前瞻性的教学设计，使得复习效率提升了不止一个档次。

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这本书的装帧设计和排版质量也值得点赞，这一点看似与内容无关，但在长时间的阅读和刷题过程中，却对学习体验有着潜移默化的影响。纸张的厚度适中，拿在手里有份量感，但又不会过于沉重，方便携带。最让我满意的是它的字体和间距控制。数学符号和公式的渲染非常清晰锐利，没有任何模糊不清的边缘，这对于区分相似的上下标和复杂的分式结构至关重要。更重要的是，章节之间的逻辑分隔非常清晰，通过不同程度的粗体和斜体的使用，有效地引导读者的视线，确保在快速翻阅查找特定知识点时，能够迅速定位。许多廉价的参考书为了节省成本，排版混乱，公式拥挤，让人一看就心生疲惫。这本书显然是在制作环节投入了足够的成本和心思，使得长时间高强度的学习也不会带来过度的视觉疲劳。这种对细节的打磨，体现了出版方对读者的尊重，也间接提升了学习的专注度。

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我对这本书的评价体系的合理性印象深刻。很多习题集往往只提供难度梯度不均的题目，初学者做了会受打击，高阶学习者又觉得太平淡。这本书的习题部分设置了一个非常平滑的难度曲线。它并非简单地从易到难线性排列，而是将基础巩固题、变式训练题和综合应用题进行了有机穿插。初看之下，你可能觉得某道中等难度的题似乎超出了本章的范围，但当你仔细推敲时，会发现它巧妙地糅合了前几章的关键知识点。这种“交叉火力”式的练习，有效地防止了知识点的孤立化学习。此外，书后附带的“错题分析与归纳”部分也做得非常到位，它不是机械地罗列答案，而是针对每一种错误类型（比如概念混淆型、计算失误型、审题不清型）提供了专门的总结和避错指导。这种系统性的反馈机制，远比单纯地对错题进行重做有效得多，它帮助我真正理解了自己思维的盲区，从而进行了更具针对性的查漏补缺。

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