数理逻辑(离散数学第1分册) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:北京大学出版社

作者:王捍贫

出品人:

页数:271 页

译者:

出版时间:1997年01月

价格:15.0

装帧:平装

isbn号码:9787301034903

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《数学的基石：形式系统与证明的艺术》 这是一本深入探索数学思维根源的书籍，它并非直接教授具体的数学分支，而是带领读者走进数学这座宏伟建筑的底层设计，揭示其坚固的结构和严密的逻辑。本书聚焦于形式系统（Formal Systems）的构建与运算，以及证明（Proof）在数学探究中的核心地位。通过对这些 fundamental concepts 的剖析，我们旨在培养读者严谨的逻辑思维能力，提升理性分析和问题解决的技巧，为进一步学习更复杂的数学理论打下坚实基础。 第一部分：形式系统的构建——语言、规则与意义 数学，归根结底是一门语言，一门精确而普适的语言。然而，数学语言并非自然语言那般随意和模糊，它拥有严谨的定义和清晰的语法。本部分将系统地介绍构成形式系统的基本要素： 符号与字符集 (Symbols and Alphabets): 我们将从最基本的层面开始，探讨构成数学语言的“字母表”——各种符号的含义和用途。这包括逻辑符号（如“¬”、“∧”、“∨”、“→”、“↔”）、量词符号（“∀”、“∃”）、集合论中的符号（如“∈”、“⊆”、“∪”、“∩”、“∅”）以及用于表示数学对象的变量和常数。我们将深入理解每个符号所代表的抽象概念，以及它们如何组合形成更复杂的表达式。 语法与合式公式 (Syntax and Well-Formed Formulas, WFFs): 就像自然语言有语法规则一样，数学语言也有其严格的语法规定，以确保表达式的意义清晰且无歧义。本部分将详细阐述构建合式公式（即符合语法规则的数学表达式）的规则。我们将学习如何通过递归定义（Recursive Definitions）来构建复杂的数学结构，例如，如何定义一个项（term）、一个公式（formula），以及如何判断一个给定的表达式是否为合式公式。这部分内容将强调“形式”的重要性，即表达式的结构远比其表面意义更为关键。 公理系统 (Axiomatic Systems): 数学并非凭空产生，而是建立在一系列被认为是“自明真理”的公理（Axioms）之上。本书将深入探讨公理系统的概念，包括其作用、不同类型的公理（如逻辑公理、非逻辑公理），以及公理系统如何为整个数学体系提供起点。我们将理解公理的选取如何影响着一个理论的性质和范围，以及它们为何是数学大厦不可动摇的基石。 推理规则 (Rules of Inference): 公理本身并不能产生新的知识，我们需要逻辑的“桥梁”来从已知推导出未知。本部分将介绍各种推理规则，例如分离规则（Modus Ponens）、假言三段论（Hypothetical Syllogism）、析取三段论（Disjunctive Syllogism）等。我们将学习这些规则是如何将一个或多个真命题（Premises）转化为一个新的真命题（Conclusion）的，以及它们在逻辑推演中的核心作用。 形式证明 (Formal Proofs): 结合公理和推理规则，我们就可以构建严谨的形式证明。本部分将详细阐述形式证明的结构和步骤，理解如何从一组公理出发，运用一系列合法的推理步骤，最终推导出我们想要证明的定理（Theorem）。我们将学习不同的证明方法，例如直接证明（Direct Proof）、反证法（Proof by Contradiction）、数学归纳法（Mathematical Induction）等，并理解它们在逻辑上的等价性。 第二部分：证明的艺术——逻辑的严谨与洞察 证明是数学的灵魂，是确立数学真理的唯一途径。本部分将进一步深化对证明的理解，不仅仅是机械地运用规则，更要培养洞察数学本质、构建巧妙证明的艺术。 命题逻辑 (Propositional Logic): 这是形式逻辑的入门，我们学习如何分析和组合简单的命题（Propositions），以及如何通过真值表（Truth Tables）来判断命题之间的逻辑关系，如互斥（Contradiction）、重言式（Tautology）和可满足性（Satisfiability）。我们将理解命题联结词（Logical Connectives）如何构建复杂的命题公式，以及如何利用逻辑等价性（Logical Equivalence）来简化或转换命题。 谓词逻辑 (Predicate Logic): 命题逻辑处理的是简单的陈述，而谓词逻辑则能够处理更丰富的数学语言，包括变量、量词和谓词。本部分将引入量词（Quantifiers），如全称量词（Universal Quantifier）和存在量词（Existential Quantifier），理解它们如何表达“所有”、“存在”等数学中的基本概念。我们将学习量词的辖域（Scope）以及如何对含有量词的公式进行推导和证明。 集合论基础 (Foundations of Set Theory): 集合论是现代数学的基石，几乎所有数学对象都可以用集合来定义。本部分将介绍集合的基本概念，如集合的定义、元素、空集、子集、并集、交集、差集、补集等。我们将学习集合的运算以及集合论中的一些基本公理，例如朴素集合论（Naive Set Theory）中的一些基本原则。 关系与函数 (Relations and Functions): 关系和函数是描述数学对象之间联系的重要工具。本部分将介绍笛卡尔积（Cartesian Product）、关系的定义、性质（如自反性、对称性、传递性、反对称性）以及等价关系（Equivalence Relations）和偏序关系（Partial Order Relations）。我们将深入理解函数的定义，以及函数的性质，如单射（Injective）、满射（Surjective）、双射（Bijective）和复合函数（Composite Function）。 证明技巧的精进 (Advanced Proof Techniques): 除了基本的证明方法，本部分还将探讨更高级和更具创造性的证明技巧。例如，我们将学习如何使用结构归纳法（Structural Induction）来证明涉及递归定义结构的命题；如何运用鸽笼原理（Pigeonhole Principle）来解决计数问题；以及如何理解数学证明中的“存在性证明”（Existence Proofs）和“构造性证明”（Constructive Proofs）的区别。 第三部分：形式系统的完备性与局限性——探索数学的边界 任何形式系统都有其内在的结构和可能的局限。本部分将触及一些更深入的理论话题，引导读者思考数学理论的本质和边界。 一致性 (Consistency) 与完备性 (Completeness): 一个形式系统是否能够避免产生矛盾（即证明一个命题及其否定）？一个系统是否能够证明所有在其语言范围内为真的命题？本部分将介绍一致性与完备性的概念，以及它们在形式系统理论中的重要性。我们将简要提及哥德尔不完备定理（Gödel's Incompleteness Theorems）所揭示的数学形式系统的内在局限，但这部分内容将侧重于概念的理解而非深奥的证明。 可判定性 (Decidability) 与计算复杂性 (Computational Complexity) 的萌芽: 对于一个形式系统，是否存在一个算法能够判定任意给定的公式是否为该系统中的定理？本部分将初步介绍可判定性的概念，以及计算复杂性在理解算法效率方面的初步思想。这并非一本计算理论的教材，而是为了让读者意识到形式系统的操作性与效率之间的联系。 学习本书将带给您： 严谨的逻辑思维训练: 掌握抽象思维和精确表达的能力，能够清晰地分析问题，识别逻辑漏洞。 数学语言的驾驭能力: 能够准确理解和运用数学符号和概念，建立数学模型。 解决复杂问题的信心: 通过对数学结构和证明方法的理解，提升独立分析和解决未知问题的能力。 对数学本质的深刻认识: 理解数学并非孤立的公式和定理的集合，而是一个由逻辑、公理和证明构成的统一而严密的体系。 本书适合所有希望深入理解数学思维本质，提升逻辑分析能力，为进一步学习数学、计算机科学、哲学等领域打下坚实基础的读者。它将引导您进入一个充满智慧和探索乐趣的世界，让您领略数学推理的优雅与力量。

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这本书的语言风格极其学术化和干燥，充斥着大量晦涩难懂的术语和冗长的从句，阅读体验非常低效。作者似乎更专注于追求表达的“准确性”而非“清晰度”。很多句子读起来需要反反复复咀嚼，才能勉强把握其背后的含义，这极大地拖慢了理解速度。举例来说，即便是一个简单的定义，也会被包裹在一堆复杂的修饰语中，使得初学者望而却步。如果把知识比作美酒，这本书提供的就是未经稀释的原浆，虽然浓度极高，但普通人根本无法直接下咽。我更倾向于那些能用简洁、直白的语言阐述复杂思想的作品，这本书显然没有走那条路，它更像是写给同行评审专家的一份报告，而不是一本旨在传授基础知识的读物。

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从教材的整体结构来看，这本书的逻辑组织显得有些混乱和碎片化。不同章节之间的衔接不够平滑，常常让人感觉知识点之间存在着突兀的跳跃，仿佛是把不同讲义拼凑在一起的结果。特别是关于集合论基础和一阶逻辑的部分，概念的引入顺序似乎没有经过深思熟虑，导致读者在尚未完全掌握前置知识时，就被迫面对更高级的概念。这种不连贯性严重干扰了知识体系的构建。我花了相当大的精力去梳理和重构书中的知识脉络，试图找出一条清晰的学习路径，但这本书本身并没有提供这种友好的引导。它像一座没有清晰地图的迷宫，虽然最终能到达目标，但过程充满了不必要的绕路和迷失。

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这本书的习题部分设计得极为保守和程式化，几乎完全围绕着教科书上讲解的标准算法和直接应用。虽然数量上似乎不少，但它们大多是机械重复的练习，缺乏能真正激发批判性思维和创造性解决问题的能力。我期待的数理逻辑训练，是那种能引导我去探索不同公理系统下的可能性，或者设计出巧妙的证明技巧的题目，但这本书提供的，更像是对既有知识点的机械检验。很多题目都直接对应着教材中的某个定理的直接推论，一旦你记住了证明的套路，接下来的解题就成了例行公事，乐趣全无。这让人感觉作者对数理逻辑的理解可能停留在“计算”层面，而未能触及到其作为思维艺术的精髓。对于希望通过练习来提升逻辑直觉的读者来说，这本书提供的训练价值非常有限。

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这本书的排版和装帧简直是一场灾难，每一页都像是在考验读者的视力极限。字体小得像是蚂蚁在纸上爬行，行距密得让人喘不过气来。我花了大量时间试图在密集的文字中找到清晰的逻辑脉络，结果常常是徒劳无功。更糟糕的是，印刷质量也相当不稳定，有些地方墨迹模糊，有些地方甚至出现了重影，这对于需要精确理解符号和定义的学科来说，是致命的缺陷。感觉作者和出版社完全没有站在读者的角度去考虑阅读体验，仿佛只是为了把内容塞进有限的篇幅里而匆忙交差。想要深入学习，首先就得克服阅读障碍，这无疑给本就抽象的数理逻辑学习之路雪上加霜。我不得不承认，我拿着这本书时，更多的是一种与印刷品对抗的挫败感，而不是对知识的渴望。

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作为一名自学者，我原本期望这本书能在抽象概念的引入上做得更具启发性，然而，它给我的感觉更像是一份冰冷、干燥的定理和证明的堆砌。书中对一些核心概念的阐述显得过于跳跃和假设，似乎预设读者已经具备了极高的背景知识。当你试图跟随作者的思路去理解某个复杂的推理过程时，往往会发现关键的过渡步骤被草草略过，留给读者的只有“自己去证明”的空白。这对于初学者来说，无疑是巨大的打击。缺乏生动的例子和现实世界的类比，使得抽象的逻辑结构难以在脑海中建立起牢固的联系。这本书更像是给已经精通此道的人准备的参考手册，而不是为我们这些在迷雾中摸索的后来者铺设的阶梯。阅读它更像是在啃一块坚硬、缺乏调味的食物，虽然营养可能都在，但过程实在称不上愉悦。

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