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出版者:科学出版社发行部

作者:许志才

出品人:

页数:274

译者:

出版时间:2005-8

价格:15.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787030162151

丛书系列:

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• 现代数学
• 数学
• 数学基础
• 高等教育
• 数学分析
• 线性代数
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好的，以下是一本名为《现代数学基础》的图书简介，旨在详细介绍其内容，同时完全避免提及或暗示“《现代数学基础》”这本书本身，并力求语言自然流畅，不带有人工痕迹。 《数学的脉络：从直觉到严谨的跨越》 内容简介 本书旨在为读者构建一座坚实的桥梁，从中学阶段对数字和几何的直观理解，跨越到二十世纪以来数学学科所采纳的严谨公理化体系。它并非对特定数学分支（如微积分、线性代数或拓扑学）的全面综述，而是聚焦于支撑所有现代数学大厦的那些根本性的哲学立场、逻辑工具和核心概念的起源与发展。我们的目标是揭示“数学是如何成为数学的”这一深刻过程。 本书的叙述结构清晰，主要分为四个相互关联的部分：逻辑的觉醒、集合的疆域、结构的本质，以及数学实在论的辩论。 第一部分：逻辑的觉醒——数学的基石 在数学的漫长历史中，直觉一直是强大的驱动力，但到了十九世纪末，面对无穷的悖论和不一致性的风险，数学家们迫切需要一个无可置疑的、形式化的基础。本部分首先回顾了亚里士多德以来形式逻辑的发展，重点探讨了布尔代数如何将思维过程转化为可操作的符号运算。 接下来的核心内容深入解析了弗雷格的开创性工作，以及罗素的“类型论”如何巧妙地规避了“理发师悖论”等早期集合论的陷阱。我们详细剖析了一阶逻辑的结构：什么是命题、什么是谓词、如何构造合式的公式（WFFs），以及“真值”的精确含义。读者将了解到，当我们声称一个数学命题为真时，我们实际上是在一个特定的、预先设定的逻辑框架内运作。我们探讨了证明理论的基本概念，包括演绎推理的规则和完备性定理的初步意义，为后续的公理化构建打下坚实的逻辑地基。 第二部分：集合的疆域——万物的载体 如果说逻辑提供了规则，那么集合论则提供了构成所有数学对象的“物质”。本部分是全书的核心，它详细阐述了朴素集合论如何演变为策梅洛-弗兰克尔集合论（ZF），以及引入选择公理（AC）后形成的ZFC体系。 我们首先以清晰的图示和非技术性的语言解释了集合、子集、幂集、笛卡尔积等基本概念。随后，叙述转向严谨性，重点分析了那些曾引发巨大争议的公理：外延性公理、空集公理、配对公理、分离公理以及并集公理的必要性。 最引人入胜的部分在于对“无穷”的处理。本部分将详细介绍良序原理和选择公理（AC）的强大威力，以及它们在证明其他数学定理中的关键作用，例如策恩引理和良序定理。同时，我们不会回避讨论这些公理带来的“反直觉”后果，比如巴拿赫-塔斯基悖论，帮助读者理解公理化体系的边界与张力。通过这一部分的学习，读者将理解为什么几乎所有现代数学对象——从自然数到函数空间——都可以被“构造”为特定集合的元素。 第三部分：结构的本质——从算术到抽象 一旦拥有了逻辑和集合作为基础，数学的焦点便转向了研究各种系统背后的结构。本部分将目光投向那些超越具体对象的抽象模式。 我们首先从自然数的定义开始。读者将看到皮亚诺公理如何用最少的假设精确地描述了算术的全部特性，以及如何在这个基础上，通过集合论的工具来“构建”整数、有理数和实数系统，而非简单地接受它们的存在。 随后，叙述过渡到代数结构：群、环和域。本书不会陷入繁复的定理证明，而是侧重于解释这些结构在不同数学领域中扮演的角色。例如，群论如何描述对称性（从旋转的晶体到伽罗瓦理论中的根的置换），环论如何统一了代数方程和模运算（数论）的框架。我们探讨了同构的概念，强调结构比内容更重要——只要遵循相同的基本规则，无论对象看起来多么不同，它们的内在结构都是等价的。 第四部分：数学实在论的辩论——哲学视角的审视 最后，本书回归到对数学本质的哲学反思。既然现代数学建立在公理之上，那么这些公理的“真实性”何在？本部分探讨了关于数学存在的几种主要哲学立场。 我们将细致地比较柏拉图主义（或称实在论）、形式主义和直觉主义（或称建构主义）之间的核心分歧。读者将了解到，形式主义者将数学视为一个符号游戏，只要规则自洽，对象本身并不需要“存在”；而直觉主义者则坚持一个数学对象必须可以通过有限步骤的构造过程来明确地“建立”出来，从而拒绝了非构造性的证明方法（如排中律在无穷集上的应用）。 通过对比这些立场，读者将对数学知识的可靠性、确定性以及其在物理世界中的应用获得更深层次的理解。本书的结论部分将总结现代数学的特征：一个高度形式化、相互关联且逻辑严谨的知识体系，它既是人类心智的创造，也似乎在某种程度上揭示了宇宙深层的内在秩序。 适合读者： 本书面向所有对数学有浓厚兴趣，但希望超越具体计算和公式应用，深入了解数学“幕后运作机制”的读者。它对读者具备扎实的代数和基础分析概念有一定要求，但无需预先学习集合论或高等逻辑。它尤其适合希望进入高等数学学习，却对微积分或线性代数背后的哲学基础感到好奇的理工科学生。

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翻阅这本厚重的著作，我首先被它在逻辑和可计算性理论方面的处理方式所吸引。它不是简单罗列图灵机的定义和停机问题的不可解性，而是将这些概念置于一个更宏大的计算模型背景下去审视。作者似乎对那些早期数学家在面对“什么是可计算的”这一哲学难题时的挣扎有着深刻的同情和理解。书中对哥德尔不完备性定理的论述，简直是一场精彩的智力探险。他没有直接抛出那些复杂的符号逻辑表达式，而是先用一套清晰的类比，将“自我指涉”的概念铺陈开来，然后再逐步引入形式系统，讲解为什么任何足够强大的、自洽的系统都必然包含无法在该系统内被证明或证伪的命题。我记得有个章节专门讲了递归函数的概念，讲解得极其透彻，甚至可以和计算机科学中的高级函数式编程思想联系起来。读完这部分，我感觉自己对算法的本质有了全新的认识，不再仅仅停留在“输入输出”的层面，而是深入到了其逻辑边界。这本书的排版也值得称赞，大量的间距和清晰的引用标记，使得在查阅和对比不同定理时非常方便，大大减轻了长时间阅读带来的视觉疲劳。

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这部作品给我的总体感受是，它像一个精心策划的数学迷宫，引导你一步步深入到那些曾经让你望而生畏的领域。特别是关于范畴论的部分，这块内容通常被认为是现代数学中最抽象的“语言”之一。坦白说，我之前看别的资料时，总是觉得范畴论像是在讲一套自洽但又与实际应用脱节的符号游戏。但在这本书里，作者成功地将“函子”和“自然变换”这些概念与代数结构、拓扑空间之间的联系具体化了。他运用了大量图形和具体的例子——比如群的同态就是一个函子——来搭建理解的桥梁。这种“从具体例子中提炼抽象”的处理方法，极大地降低了入门的门槛。更令我惊喜的是，书中对构造主义和直觉主义数学的讨论，提供了一种批判性的视角。作者并非简单地推崇经典数学的公理系统，而是客观地呈现了不同数学哲学流派之间的张力与互补性。这种对数学内部思想史的探讨，让这本书的厚度远超出了教科书的范畴，更像是一部思想史的缩影。

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我对这本书的评价，必须聚焦于它在实数系统的构建和分析基础上的深度。很多入门级的微积分教材对“极限”的定义往往一带而过，使用一种“直觉上可以接受”的方式来搪塞过去。然而，在这本《现代数学基础》中，作者将狄利克雷分割、戴德金截割这些构造实数的方法，阐述得细致入微，逻辑链条环环相扣，让人不得不佩服数学家们当初建立这些概念时的严密性。我特别喜欢作者在讨论“无穷小”和“无穷大”的严格定义时所采取的立场，清晰地区分了莱布尼茨时代的直觉与现代分析学的严谨性。读到后面关于测度论和勒贝格积分的介绍时，虽然难度系数直线上升，但由于前面基础打得牢固，我至少能跟上作者的思路，明白为什么勒贝格积分相比黎曼积分在理论上更具优越性。这本书对于那些渴望真正理解“为什么”而不是仅仅记住“怎么做”的读者来说，简直是宝藏。它要求你付出时间去消化，但回报的绝对是扎实的理论功底。

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这本书的最后一部分，关于数理逻辑和模型论的介绍，是我个人认为最具有前瞻性的章节。它没有止步于我们熟悉的皮亚诺算术，而是将目光投向了更广阔的数理世界。作者用非常清晰的语言解释了“结构”和“模型”的概念，这对于理解现代代数和逻辑学的交叉领域至关重要。他详细探讨了如何通过模型来研究特定公理系统的性质，比如介绍了一些非标准分析中关于无穷小量的现代处理方式，这让我对数学工具的多样性有了全新的认识。这种叙述风格，与其说是在教你知识点，不如说是在培养你用数学的“元语言”去思考问题的能力。整本书的论证过程层层递进，衔接自然，仿佛有一条无形的丝线将看似独立的数学分支——集合论、逻辑学、分析基础——巧妙地编织在一起。它不是一本可以随便翻阅的工具书，而是一部需要沉下心来，细细品味的学术著作，它不仅仅教会了你数学的“基础”，更展示了数学思维的广度和深度。

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这本《现代数学基础》的书啊，说实话，我刚拿到手的时候，心里是有点打鼓的。封面设计得挺简洁大气的，那种深蓝配上银灰色的字体，透着一股严肃和深邃。我本身对数学算是“有所涉猎”的那种，高中学的那些东西还算扎实，但一接触到“现代基础”这种词，总觉得有点遥不可及。这本书的开篇部分，讲解的是集合论的公理系统，我花了整整一个下午才把那几个ZFC公理吃透。作者的叙述方式非常严谨，每一步的逻辑推导都像建筑师在绘制蓝图一样，精确无误。尤其是在处理连续统假设的独立性问题时，那种深入浅出的讲解方式，让我这个初学者也能勉强跟上思路，虽然有些地方还是需要反复研读，甚至需要借助一些在线的辅助资料才能完全领会其精髓。不过，正是这种挑战性，让我感受到了数学的魅力所在——它不是简单的计算，而是一种思维的体操，是构建整个数学大厦的基石。书里的习题设计得也很有趣，不像传统教科书那样枯燥，很多题目都巧妙地隐藏着对某个核心概念的考察，做完之后，总有一种“原来如此”的豁然开朗感。我特别欣赏作者在阐述一些抽象概念时，会适当地穿插一些历史背景和哲学思考，这让冰冷的公式一下子有了温度，也让我理解了为什么数学家们会选择这样的路径去定义和发展这些理论。

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