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出版者:科学

作者:西北工业大学线性代数编写组

出品人:

页数:184

译者:

出版时间:2006-1

价格:16.00元

装帧:

isbn号码:9787030167293

丛书系列:

图书标签:

• 不操
• 线性代数
• 矩阵
• 向量
• 行列式
• 特征值
• 特征向量
• 线性方程组
• 向量空间
• 数学
• 高等数学

《几何的奇妙旅程：点、线、面与空间的交响》 这是一本带领读者探索几何世界奥秘的书籍。它以一种引人入胜的方式，从最基本的几何元素——点、线、面出发，层层递进，逐步构建起我们所处的宏伟三维空间。本书并非枯燥的定理堆砌，而是通过生动的故事、精美的插图和富有启发性的思考题，让读者在不知不觉中领略几何的逻辑之美和应用之广。 第一部分：基石——点的语言，线的律动 旅程的起点，我们从“点”开始。点，是空间中最抽象也最基础的存在，它没有大小，只是一个位置的标记。本书会深入探讨点在坐标系中的意义，以及它如何定义其他几何元素。接着，我们走向“线”，从直线、射线到线段，线的形态万千，其间的关系——平行、相交、垂直——构成了几何世界的基本骨架。我们会学习如何用代数语言描述这些线的性质，理解它们在二维平面上的投影和关系。通过探究直线的方程，我们将体会到抽象符号背后隐藏的几何意义。 第二部分：边界的艺术——面的探索 当线开始勾勒边界，我们就进入了“面”的领域。从简单的平面图形，如三角形、四边形、圆，到更复杂的曲线和曲面，面的多样性展现了空间的丰富内涵。本书将详细介绍各种平面图形的性质、面积计算方法，以及它们之间的内在联系，例如三角形的内角和、四边形的分类与性质、圆的周长与面积公式。更重要的是，我们将学习如何通过方程来精确描述这些面的形状，例如二次曲线的几何意义。 第三部分：空间的回响——三维世界的构建 当面的组合开始形成立体，我们便置身于三维空间之中。本书将带领读者穿越平面，进入一个充满体积和角度的世界。我们会认识各种立体图形，如球体、立方体、圆柱体、圆锥体，并学习如何计算它们的表面积和体积。本书会重点解析空间中的直线和平面，理解它们的位置关系（平行、相交、垂直），以及如何用向量的语言来描述这些关系。我们将探讨向量在三维空间中的运算，例如点积和叉积，以及它们在描述方向、角度和面积方面的强大功能。 第四部分：转换与透视——几何的变换之舞 几何的魅力远不止于静态的描述，更在于动态的“变换”。本书将介绍几种重要的几何变换，包括平移、旋转、反射和相似变换。我们会学习这些变换如何改变物体的位置、方向和大小，同时保持其某些固有的几何性质。这些变换不仅是理论上的概念，更是我们在现实世界中理解物体运动和变化的基础。例如，对称性作为一种特殊的反射变换，在自然界和艺术中无处不在。 第五部分：应用的脉络——几何的现实之光 本书的最后一部分，将揭示几何学在各个领域的广泛应用。从计算机图形学中的三维建模和渲染，到工程设计中的结构分析，再到物理学中描述粒子运动和场的规律，几何无处不在。我们会看到，在建筑设计中，几何原理保证了结构的稳定与美观；在地图绘制中，几何学将三维地球投影到二维平面；在医学影像中，几何算法帮助医生诊断病情。通过这些生动的案例，读者将深刻体会到几何学作为一门基础学科，其强大的现实意义和解决问题的能力。 《几何的奇妙旅程：点、线、面与空间的交响》是一本适合所有对世界充满好奇的人的读物。无论你是学生，还是对艺术、科学、技术感兴趣的探索者，这本书都将为你打开一扇通往几何世界的大门，让你体验数学的严谨与优美，感受空间本身的魅力。让我们一起踏上这场探索之旅，发现隐藏在日常事物背后的几何智慧。

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在“内积空间”的部分，作者巧妙地将几何中的“长度”和“角度”的概念，通过内积运算引入了向量空间。这使得我们可以对向量进行更加精细的度量和分析。我特别喜欢书中关于“正交”和“正交基”的讲解。正交基就像是向量空间中最“独立”、“最方便”的一组坐标轴，在这种坐标系下，很多计算都会变得异常简单。 我记得书中提到，任何一个向量都可以很容易地投影到这个正交基上，从而得到它的坐标。这对于解决实际问题，比如数据降维和信号处理，都有着重要的意义。这种从抽象到具体的联系，让我觉得线性代数不仅仅是数学理论，更是一种解决现实问题的强大工具。

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对角化这个概念，也是我之前一直觉得头疼的。很多时候，我们面对的矩阵是非对角的，运算起来非常麻烦。但这本书的讲解，让我明白了对角化的意义。它就像是给一个复杂的系统找到一个“最简单”的坐标系，在这个坐标系下，所有变换都变成了最简单的拉伸或压缩。通过特征值和特征向量，我们可以找到这个“特殊”的坐标系，从而简化矩阵的运算。 书里通过讲解二次型的化简，让我更深刻地理解了对角化的应用。二次型可以通过正交变换化为标准形式，而这个过程的核心就是求解矩阵的特征值和特征向量。这种将代数运算与几何意义相结合的讲解方式，让我对线性代数有了更全面、更深刻的认识。

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然后是向量空间，这个概念的引入，让我对“空间”有了更深的理解。它不再仅仅是我们日常认知中的三维空间，而是可以无限扩展的抽象概念。书中对于向量空间的基、维数、子空间这些概念的阐述，非常到位。我特别喜欢作者通过图形和实际例子来解释这些抽象概念。比如，当讲到线性无关和线性相关时，书里画出了几个向量，直观地展示了它们是相互独立的，还是可以被其他向量“组合”出来的。这种“看得见”的数学，让我觉得离理解数学的本质更近了一步。 尤其令我印象深刻的是关于线性方程组的部分。解线性方程组的方法有很多，但这本书不仅仅是教你如何解，更重要的是讲解了这些解的几何意义。每一个方程都可以看作是一个超平面，而方程组的解，就是这些超平面交汇的点。当方程组有唯一解时，所有超平面交于一点；当有无穷多解时，它们交于一条直线或一个平面；当无解时，它们之间就没有共同的交点。这种几何视角，让我瞬间豁然开朗，原来那些看似枯燥的代数运算，背后隐藏着如此丰富的几何图形。

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最后，这本书在讲解线性代数的同时，也巧妙地渗透了许多重要的数学思想，比如“抽象化”、“泛化”和“统一性”。它没有将数学知识割裂开来，而是通过各个章节之间的联系，展现了线性代数作为一个整体的逻辑美感。从最初的向量和矩阵，到后来的向量空间、线性变换，再到更深层次的特征值、SVD等，每一个概念的引入都恰到好处，并且都与前面提到的概念有着紧密的联系。 我最欣赏的一点是，作者在讲解每一个复杂概念的时候，都会反复强调其几何意义和实际应用。这让我不再觉得线性代数是一堆冷冰冰的公式，而是一套能够帮助我们理解和改造世界的强大思维工具。这本书不仅仅是教会了我如何计算，更重要的是教会了我如何思考，如何从不同的角度去审视问题，以及如何将抽象的数学语言转化为解决实际问题的方案。

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本书对“奇异值分解”（SVD）的讲解，是我觉得最令人惊叹的部分之一。SVD就像是给任何一个矩阵披上了一层“揭示其内在本质”的外衣。它能够将任何一个矩阵分解成三个更简单的矩阵的乘积，而这三个矩阵分别代表了原矩阵的“拉伸”、“旋转”和“压缩”等基本变换。 SVD的应用范围极其广泛，从图像压缩、推荐系统到自然语言处理，都离不开它。书里通过一个简单的例子，展示了如何利用SVD来压缩一张图片，使得图片文件大小大大减小，而视觉效果几乎没有损失。这种强大的“降噪”和“特征提取”能力，让我对线性代数在现代科技中的地位有了全新的认识。

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特征值和特征向量，这个部分是线性代数的核心之一，也是我之前一直觉得特别难以理解的部分。但这本书的讲解方式，让我觉得茅塞顿开。作者用一种非常直观的方式来介绍这两个概念。他把特征向量比作是在线性变换下“不变方向”的向量，它们只会被拉伸或压缩，而方向不会改变。而特征值，就是那个拉伸或压缩的“倍数”。 书中通过大量关于动力学系统、人口增长模型等实际应用的例子，来阐释特征值和特征向量的重要性。我记得有一个关于人口年龄结构变化的例子，通过计算人口年龄转移矩阵的特征值和特征向量，就可以预测未来人口的长期趋势。这种将抽象数学概念与现实世界紧密联系起来的做法，让我觉得线性代数不再是“无用之学”，而是解决实际问题的强大工具。

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这本书，嗯，《线性代数》，拿到手的时候，我心里其实是有点忐忑的。毕竟，数学这东西，尤其是到了高等数学的层面，总是给人一种高不可攀的感觉。但我拿到这本书后，翻开第一页，那种刻板印象就被一点点瓦解了。它不是那种上来就扔一堆公式和定理，让你云里雾里不知所云的教科书。相反，它像是带我走进了一个全新的、逻辑严谨又充满智慧的世界。 一开始，我被矩阵的世界深深吸引。那些方方正正的数字排列，不仅仅是数字的堆砌，它们代表着一种变换，一种对空间的压缩、旋转、拉伸。书中对矩阵的运算，无论是加法、减法还是乘法，都做了非常详尽的解释。不仅仅是告诉你怎么算，更重要的是告诉你为什么要这么算，这些运算背后蕴含的几何意义是什么。我记得书中有个章节讲了矩阵的秩，这个概念一开始让我有点困惑，但通过作者循序渐进的讲解，以及那些生动形象的例子，我逐渐理解了它描述的是一个线性变换能够“压缩”空间的维度。一个秩为1的矩阵，就能把一个高维空间“压扁”成一条直线，或者一个平面。这种由抽象概念到具体感知的转变，让我觉得学数学不再是一件枯燥的事情。

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本书在讲解了“线性无关”和“基”这些概念后，又深入探讨了“维数”和“子空间”。一开始，“子空间”这个概念对我来说有些抽象，总觉得和“向量空间”分不清。但作者通过大量的图示和具体的例子，让我逐渐理解了子空间的本质。它就像是一个大集合里的“小集体”，里面的所有元素都保持着“线性”的特性，并且满足向量空间的封闭性。 我特别喜欢书中关于“张成空间”（span）和“零空间”（null space）的讲解。通过这些概念，我们可以更好地理解向量之间的线性关系，以及线性变换的性质。例如，一个矩阵的列空间，就是它的所有列向量的张成空间，它表示了该矩阵能够“生成”的所有向量。而零空间，则是一组向量，它们经过矩阵变换后会变成零向量，这反映了线性变换的“压缩”程度。

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线性代数中，关于“向量的范数”和“矩阵的范数”的讲解，让我对向量和矩阵的大小有了更明确的度量方式。不同于我们直观理解的长度，范数提供了多种不同的度量标准，例如L1范数、L2范数（也就是我们熟悉的欧氏距离）、无穷范数等。 我特别喜欢作者通过这些范数来分析线性方程组解的“稳定性”和“鲁棒性”。比如，当方程组的系数矩阵的范数很大时，即使输入数据有微小的扰动，输出结果也可能产生巨大的变化，这说明了方程组的解不够稳定。这种从范数的概念出发，延伸到对系统稳定性的分析，让我觉得这本书在理论的深度和应用的广度上都做得非常出色。

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这本书在讲解“行列式”的时候，并没有仅仅停留在计算公式上，而是深入探讨了行列式的几何意义。我之前总觉得行列式只是一个计算的工具，但读了这本书后，我才明白它其实代表了线性变换对“体积”的缩放比例。一个2x2的矩阵，其行列式的值就是它所代表的线性变换将单位正方形“拉伸”或“压缩”到的平行四边形的面积。 这种几何解释，让原本枯燥的行列式计算变得生动起来。我开始能够直观地理解为什么某些矩阵的行列式为零（表示变换会把空间压缩到更低的维度，面积/体积会变为零），以及为什么行列式的符号可以反映出变换是否改变了空间的“方向”。

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