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出版者:

作者:龚乐春 编

出品人:

页数:229

译者:

出版时间:2005-7

价格:20.00元

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isbn号码:9787308042321

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《解析几何精粹：几何直觉与代数运算的完美融合》 内容简介： 本书旨在为读者构建一个坚实而富有洞察力的解析几何知识体系。我们深入浅出地剖析了直线、圆、圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）以及空间几何体等核心概念，并着重强调几何直觉与代数运算之间的紧密联系与相互促进。本书不仅仅是公式的堆砌，更致力于引导读者理解几何对象的本质属性，以及如何运用代数工具来精准地描述、分析和解决几何问题。 第一章：平面直角坐标系与基本概念 本章是解析几何的基石。我们将从最基本的平面直角坐标系的建立讲起，详细阐述点的位置向量、两点间的距离公式、线段的中点公式等基础知识。在此基础上，我们将引入向量的概念，并探讨向量的线性运算，例如加法、减法、数乘以及向量的模长和夹角。这些基础概念的理解对于后续章节的学习至关重要，我们将通过大量的图示和直观的例子，帮助读者建立起对空间关系的初步感知。 坐标系的建立与点的表示： 详细讲解二维平面直角坐标系的构造原理，如何通过有序数对唯一确定平面上的一个点。 距离公式与中点公式： 推导并应用两点间的距离公式，理解其几何意义。讲解线段中点坐标的求法，以及如何通过向量来理解和推导中点公式。 向量的基本概念与运算： 引入向量作为描述方向和大小的数学工具，学习向量的加减法、数乘运算，理解向量的几何意义。探讨向量的模长和方向余弦，为理解空间中的方向和位置关系奠定基础。 平移与伸缩变换： 介绍坐标系的平移和伸缩变换对点坐标的影响，理解变换的几何意义及其在解决问题中的应用。 第二章：直线及其方程 本章将聚焦于直线这一最基本的几何图形，深入探讨其各种方程形式及其几何意义。我们将从倾斜角和斜率入手，引导读者理解斜率与直线倾斜程度的关系。随后，我们将系统介绍点斜式、斜截式、两点式、截距式以及一般式等直线方程，并详细分析各种方程形式的适用条件和几何含义。本书将特别强调斜率在判断直线平行、垂直关系中的重要作用，并引入直线与坐标轴的夹角、方向向量等概念，帮助读者更全面地理解直线的性质。 直线的倾斜角与斜率： 明确倾斜角的定义，深入理解斜率的几何意义，以及斜率与直线倾斜程度的定量关系。 直线的方程形式： 点斜式： 讲解如何利用已知点和斜率写出直线方程，并分析其几何限制。 斜截式： 探讨斜率与y轴截距的关系，以及斜截式在描述直线与y轴相交时的便利性。 两点式： 介绍如何利用两点坐标写出直线方程，并分析其推导过程。 截距式： 讲解直线在x轴和y轴上的截距与其方程的关系。 一般式： 详细分析直线方程的一般形式Ax + By + C = 0，以及如何从一般式方程中提取几何信息，如斜率、截距、法向量等。 直线的位置关系： 深入研究两条直线平行、相交、重合的条件，以及垂直的条件，重点分析斜率在判断这些关系中的作用。 距离公式的应用： 讲解点到直线的距离公式，并分析其在实际问题中的应用，如判断点与直线的位置关系。 方向向量与法向量： 引入直线的方向向量和法向量概念，理解它们与直线方程之间的联系，以及在解决复杂几何问题中的作用。 第三章：圆及其方程 本章将围绕圆这一基本图形展开，系统讲解圆的标准方程、一般方程以及圆的参数方程。我们将从圆的定义出发，推导出圆的标准方程，并分析圆心坐标和半径如何影响圆的位置和大小。接着，我们将介绍圆的一般方程，并讲解如何通过配方法将其转化为标准方程，从而提取圆的几何信息。此外，我们还将引入圆的参数方程，提供一种全新的视角来描述圆上的点，并展示其在某些问题中的优势。本章将包含丰富的例题，帮助读者熟练掌握圆的方程及其应用。 圆的定义与标准方程： 从圆的几何定义出发，推导圆的标准方程 (x-a)² + (y-b)² = r²，理解圆心 (a,b) 和半径 r 的几何意义。 圆的一般方程： 介绍圆的一般方程形式 x² + y² + Dx + Ey + F = 0，并讲解如何通过配方法将其化为标准方程，确定圆心和半径。 圆的参数方程： 引入圆的参数方程 x = a + r cos(θ)，y = b + r sin(θ)，理解参数 θ 的几何含义，并探讨其在描述圆周运动等问题中的应用。 圆与直线的位置关系： 分析直线与圆相交、相切、相离的三种情况，并利用判别式法和代数代换法求解交点坐标或判断相切条件。 圆与圆的位置关系： 探讨两圆外离、外切、相交、内切、内含、同心等位置关系，以及由圆心距和半径关系所确定的条件。 第四章：圆锥曲线——椭圆 本章开始，我们将进入圆锥曲线的精彩世界。本章重点讲解椭圆的定义、标准方程及其几何性质。我们将从椭圆的两种定义（两焦点距离之和为常数，以及焦点与准线距离成比例）出发，推导出椭圆的标准方程，并深入分析椭圆的焦点、顶点、长轴、短轴、离心率等关键几何要素。我们将详细解读标准方程中各参数的几何意义，并指导读者如何根据已知条件确定椭圆的方程。此外，本章还将介绍椭圆的简单几何性质，如对称性、离心率的含义等。 椭圆的定义： 介绍椭圆的两种几何定义，为后续方程推导奠定基础。 椭圆的标准方程： 推导焦点在x轴和y轴上的椭圆标准方程，并详细分析方程中参数（a, b, c, e）的几何意义。 几何要素： 焦点、顶点、长轴、短轴、中心。 离心率： 深入理解离心率 e = c/a 的几何含义，以及它如何描述椭圆的“扁”的程度。 椭圆的简单几何性质： 分析椭圆的对称性、范围，以及长轴、短轴的几何作用。 椭圆方程的应用： 讲解如何根据已知条件（如焦点、顶点、离心率、过定点等）确定椭圆的标准方程。 第五章：圆锥曲线——双曲线 与椭圆类似，本章将深入探讨双曲线。我们将从双曲线的定义（两焦点距离之差的绝对值为常数）出发，推导出双曲线的标准方程，并分析其关键几何要素，如焦点、顶点、实轴、虚轴、渐近线和离心率。本书将特别强调双曲线渐近线的重要性，以及渐近线与双曲线形状的关系。通过大量例题，读者将学会如何根据双曲线的方程确定其几何性质，以及如何根据给定的几何条件写出双曲线的方程。 双曲线的定义： 介绍双曲线的几何定义，为方程推导提供依据。 双曲线的标准方程： 推导焦点在x轴和y轴上的双曲线标准方程，并详细分析方程中参数（a, b, c, e）的几何意义。 几何要素： 焦点、顶点、实轴、虚轴、中心。 渐近线： 重点讲解双曲线的渐近线方程，理解渐近线与双曲线形状的紧密联系，以及它们在绘制双曲线时的作用。 离心率： 分析双曲线离心率 e = c/a 的含义，以及它如何描述双曲线的开口程度。 双曲线方程的应用： 讲解如何根据已知条件（如焦点、顶点、渐近线、离心率等）确定双曲线的标准方程。 第六章：圆锥曲线——抛物线 本章将聚焦于抛物线，这是另一种重要的圆锥曲线。我们将从抛物线的定义（到焦点和准线的距离相等）出发，推导抛物线的标准方程。我们将详细介绍抛物线的焦点、准线、顶点、轴以及开口方向等几何要素。本书将重点讲解不同形式的抛物线标准方程，并分析方程中参数如何影响抛物线的形状和位置。通过大量的练习，读者将能够熟练地从抛物线的方程中提取几何信息，并根据给定的几何条件写出抛物线的方程。 抛物线的定义： 介绍抛物线的几何定义，为方程推导提供基础。 抛物线的标准方程： 推导不同开口方向的抛物线标准方程，并详细分析方程中参数的几何意义。 几何要素： 焦点、准线、顶点、对称轴。 抛物线方程的应用： 讲解如何根据已知条件（如焦点、准线、顶点、对称轴等）确定抛物线的标准方程。 第七章：平面向量及其坐标表示 本章将对向量的概念进行更深入的拓展，引入向量的坐标表示。我们将详细讲解二维和三维空间中向量的坐标运算，包括加法、减法、数乘以及数量积。数量积的引入是本章的重点，我们将深入剖析数量积的几何意义（两个向量模长与它们夹角余弦的乘积），以及它在判断向量垂直、计算向量夹角、投影等问题中的重要作用。此外，我们还将探讨向量共线、平行、垂直的坐标表示条件，为后续的直线方程、平面方程等打下坚实的代数基础。 向量的坐标表示： 讲解二维和三维空间中向量的坐标表示方法。 向量的坐标运算： 熟练掌握向量的加法、减法、数乘的坐标运算。 数量积（点积）： 深入理解数量积的定义及其几何意义。 计算公式： 掌握数量积的代数计算公式。 几何应用： 应用数量积判断向量的平行与垂直，计算向量的夹角，以及计算向量在另一个向量上的投影。 向量共线与垂直的条件： 给出向量共线与垂直的坐标判定条件，并进行详细推导。 第八章：空间几何体初步 本章将视角从二维平面拓展到三维空间，介绍一些基本的空间几何体，如长方体、正方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球体。我们将重点关注这些几何体的几何特征，如面、线、角的性质，以及它们之间的位置关系。本书将引入空间直角坐标系，并讲解如何利用空间直角坐标系来描述空间中的点、直线和平面。我们还将介绍空间向量的概念及其运算，并探讨空间向量在解决空间几何问题中的应用。 空间直角坐标系： 建立三维空间直角坐标系，并学习如何在空间中表示点的位置。 空间向量： 引入空间向量的概念，并掌握其坐标表示及运算（加减、数乘、数量积）。 空间中直线与平面的初步认识： 介绍空间中直线的基本性质，以及平面的概念。 常见空间几何体的性质： 探讨长方体、正方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球体等基本几何体的几何特征。 第九章：直线、平面、简单几何体的方程与位置关系 本章将解析几何的知识体系推向更高的层次，开始探索空间中直线、平面的方程以及它们之间的位置关系。我们将详细讲解空间直线的方程（参数方程、对称方程）和平面方程（一般方程），并深入分析方程中各参数的几何意义。我们将系统研究两条直线、直线与平面、两个平面之间的平行、相交、垂直等位置关系，并讲解如何利用向量和方程来判断这些关系。此外，本章还将结合前面介绍的各种几何体，讲解如何利用解析几何的方法来求解几何体相关的方程和位置关系问题。 空间直线的方程： 讲解空间直线的参数方程和对称方程，以及如何从方程中提取直线的方向向量和过点。 空间平面的方程： 讲解平面的一般方程 Ax + By + Cz + D = 0，以及如何从方程中提取平面的法向量。 空间中直线与直线的位置关系： 判断异面、平行、相交、重合等关系，并求解交点。 空间中直线与平面的位置关系： 判断直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交，并求解交点。 空间中平面与平面的位置关系： 判断两个平面平行、相交、重合，并求解交线。 点到直线、点到平面的距离： 讲解并应用点到直线、点到平面的距离公式。 简单几何体方程的应用： 结合前面介绍的几何体，利用解析几何方法求解相关方程和位置关系问题。 本书的特色与优势： 强调几何直觉： 我们不仅仅停留在代数运算层面，更注重引导读者建立直观的几何理解，通过大量的图形和类比，帮助读者“看到”数学。 理论与实践结合： 本书的编排遵循循序渐进的原则，从基本概念到复杂应用，层层递进。每章都包含丰富的例题和习题，帮助读者巩固所学知识，并能灵活运用到实际问题中。 数学思想的渗透： 在讲解具体知识点时，本书会适时穿插一些重要的数学思想，如函数思想、方程思想、数形结合思想、化归思想等，帮助读者提升数学思维能力。 语言通俗易懂： 我们力求用最简洁、最清晰的语言来解释复杂的数学概念，避免使用过于晦涩的专业术语，让不同基础的读者都能轻松入门。 内容全面深入： 本书涵盖了解析几何的核心内容，并在此基础上进行了适当的拓展，力求为读者提供一个扎实而全面的知识体系。 本书适合于高中生、大学生以及所有对解析几何感兴趣的读者。无论是作为课堂学习的辅助读物，还是作为课外拓展和自我提升的资料，本书都将是您探索解析几何世界最得力的伙伴。通过阅读本书，您将能够掌握分析几何的工具，提升解决几何问题的能力，并深刻体会数学的逻辑之美与理性之魅。

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这本《高等数学学习指导》的厚度简直能当砖头用了，拿到手上沉甸甸的，感觉里面塞满了宇宙间所有关于微积分、线性代数和概率论的知识点。我本来还想说，看这名字就知道是那种枯燥乏味、纯粹堆砌公式和定理的参考书，但翻开目录后才发现，事情可能比我想象的要复杂得多。它不像我之前买的那本，只罗列一堆标准例题和解法，这本书的编排明显下了一番功夫。比如在讲到极限这一章时，它不仅仅是告诉你ε-δ语言怎么用，还穿插了历史上数学家们是如何一步步攻克这个概念的曲折过程，甚至配了一些手绘的几何示意图，虽然看起来有点简陋，但确实帮助理解了那个抽象的概念是如何从直觉走向严谨的。我特别喜欢它在每个章节末尾设置的“易错点辨析”部分，作者没有直接给出答案，而是通过对比两个看起来非常相似的解题思路，深入剖析了其中隐藏的逻辑陷阱，这比单纯做错题集有效得多。我感觉作者是在用一种“对话式”的口吻在引导我们思考，而不是高高在上的说教。不过，对于基础特别薄弱的同学来说，可能开篇的部分会有点吃力，毕竟它默认你已经对高中数学的某些概念有了基本的掌握，如果完全零基础，可能需要配合其他更入门的教材先打个底子。总的来说，这本指导书更像是一个经验丰富的老教授，拉着你的衣领，一步步带你走过高等数学的“雷区”。

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坦率地说，市面上的“学习指导”类书籍，大部分都带着一种“应试教育”的功利色彩，就是告诉你哪些是必考点，哪些题型反复出现，买它就是为了刷分。但拿到这本《高等数学学习指导》时，我感到了一丝惊喜，因为它在“应试”和“学术探索”之间找到了一个微妙的平衡点。它确实涵盖了考试大纲中所有的核心内容，而且对高频考点的解析非常到位，甚至会给出不同高校出题风格的细微差别分析，这对于跨区域参考或者备考的同学来说非常实用。然而，它的价值远不止于此。在讨论到微分方程那一章时，它竟然插叙了一段关于“人口增长模型”和“简谐振动”的物理背景介绍，并且清晰地展示了如何利用常系数线性微分方程来求解这些实际问题。这种跨学科的融合，让原本枯燥的数学知识瞬间拥有了鲜活的生命力，让我这个原本对物理不太感冒的人，也开始思考数学在真实世界中的强大建模能力。如果一定要鸡蛋里挑骨头，那就是它的习题难度梯度设置得不够平滑，从基础题到拔高题之间，似乎少了一个中等级别的过渡区，直接从“会算”跳到了“会想”，让一些中间水平的学习者可能会感到有点受挫。

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我买过好几本号称能“彻底征服高数”的书，结果都是束之高阁，因为它们要么是公式的堆砌，要么是解题技巧的罗列，读起来非常乏味。但《高等数学学习指导》的阅读体验，更像是在和一个经验丰富、思维敏捷的导师进行一对一的辅导。它的结构设计非常注重知识点的“内在联系”。比如，它不会把线代和微积分完全割裂开来。在讲解多元函数的极值问题时，作者巧妙地利用了雅可比矩阵的概念来辅助判断鞍点，这种跨章节的引用和回顾，迫使读者必须将零散的知识点串联起来形成一个有机的整体，极大地提升了知识的系统性。我尤其欣赏书中对“反直觉”结果的讨论。数学中总有一些看似简单却难以理解的结论，比如勒贝格积分和黎曼积分的区别，或者高维空间中球体的体积悖论。这本书没有回避这些难点，反而将其作为重点来解析，详细阐述了为什么直觉在面对高维或无限时会失效，这种对数学本质的探讨，极大地提升了阅读的深度和乐趣。这本书对于想真正弄懂高等数学，而不是仅仅想通过考试的人来说，无疑是一份极其宝贵的资源。

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说实话，我买这本书的时候，其实是抱着一种“死马当活马医”的心态。我那门高数课的期中考试简直是一场灾难，感觉老师讲的每句话我都听懂了，但一到自己动手算题，脑子就一片空白，公式仿佛长了腿跑掉了。这本书的特色在于它的“可视化”尝试。它用了大量的图表和实际应用案例来解释那些抽象的理论。举个例子，在讲解三重积分和场论时，它没有直接跳到复杂的坐标变换，而是用了一个关于水流密度分布的例子，把抽象的向量场具象化成了一个在管道里流动的粘稠液体，通过模拟液体的收敛和发散，自然地引出了散度（Divergence）和旋度（Curl）的概念。这种代入感极强，让我第一次对“梯度”这个词有了直观的感受，而不是仅仅记住那个倒三角符号。更妙的是，它还加入了“数学建模小贴士”，虽然篇幅不多，但提供了几个非常实用的工具链推荐，比如如何利用MATLAB或Python的特定库来验证某些复杂的积分结果，这对于我们这些未来想从事理工科研究的人来说，绝对是加分项。唯一的槽点是，里面的印刷字体偶尔会显得有点拥挤，尤其是一些矩阵的排版，在A4的纸面上挤得有点太满了，看着时间长了眼睛会比较累，建议厂商在再版时能适当增加行间距和字间距。

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我个人的学习习惯是“先搞懂原理，再尝试应用”，所以很多教科书的配套练习册对我来说提升不大，因为它们往往只测试你是否记住了公式。但这本《高等数学学习指导》的侧重方向似乎有所不同，它更像是提供了一种“思维框架”。它不只是教你怎么做题，更重要的是教你“为什么要这么做”。我注意到它在解析一些典型的综合题时，会先花大量篇幅去探讨这道题背后的数学思想是什么，它考察的是你对某个定理理解的深度，而不是计算的熟练度。比如，关于泰勒公式的应用，它没有简单地给出展开式，而是探讨了为什么不同的中心点会导致展开结果的巨大差异，并以此为基础设计了好几组对比练习，让你自己去发现收敛半径的重要性。这种“反向工程”式的学习方法，极大地激发了我的好奇心。而且，这本书的用词非常谨慎且精准，用词选择上明显是面向理工科专业读者的，没有太多为了“通俗易懂”而进行的过度简化，保持了学术的严谨性，这一点我非常赞赏。对于那些希望在考研中取得高分的同学来说，这本书的解析深度绝对能让你超越普通竞争者。

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