Numerical Integration pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Espelid, T. O.; Genz, Alan; Espelid, Terje O.

出品人:

页数:380

译者:

出版时间:1992-01-31

价格:USD 239.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780792315834

丛书系列:

图书标签:

• 数值积分
• 数值分析
• 计算数学
• 科学计算
• 数学方法
• 算法
• 工程数学
• 高等数学
• 数值方法
• 积分计算

《数理探微：数值积分原理与应用》 本书并非一本聚焦于“Numerical Integration”这一特定领域的教材，而是对数学科学中一脉相承的“数理探微”精神的深度诠释，旨在引领读者深入探索抽象数学概念背后的逻辑构造、推理方法以及它们在解决现实世界问题中的强大力量。我们相信，任何一个数学分支的精髓，都离不开对其基本原理的透彻理解，以及对不同理论工具的融会贯通。因此，《数理探微：数值积分原理与应用》将以广阔的视角，从数学的根基出发，逐步展现各个数学领域之间的内在联系，以及它们如何共同构建起我们理解世界的严谨体系。 本书的开篇，我们将一同回顾数学思想的黎明。从古希腊几何学的严谨证明，到牛顿和莱布尼茨创建微积分的革命性飞跃，我们不仅会介绍这些里程碑式的成就，更会深入剖析它们诞生的时代背景、解决了什么核心问题，以及催生了哪些新的数学分支。微积分的出现，无疑是人类智力史上的一个辉煌篇章，它为我们提供了一种描述变化、求解无穷的强大语言。然而，我们也将在这一部分探讨微积分理论中存在的严谨性问题，例如柯西和维尔斯特拉斯等数学家如何通过引入极限、连续性等概念，为微积分奠定坚实的分析基础，使其从一种直观的工具演变为一门严密的科学。这种对基础概念的审视和完善，正是“数理探微”精神的体现——不满足于表面的答案，而是不断追问其深层原因和逻辑依据。 紧随其后，我们将视角转向函数论的广阔领域。函数，作为描述变量之间关系的基石，贯穿于数学的各个分支。本书将从集合论的视角出发，重新审视函数的定义，并深入探讨函数的连续性、可导性、可积性等核心性质。我们将解析不同类型的函数，如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等，不仅仅是展示它们的图象和性质，更重要的是揭示它们背后所蕴含的数学模型和物理意义。理解函数的本质，对于掌握更复杂的数学工具至关重要。例如，我们将会讨论函数泰勒展开的原理，这一强大的工具能够将复杂的函数在某一点附近用多项式来近似，从而极大地简化计算和分析。这一过程本身就体现了“数理探微”的思路：通过分解和近似，将难以直接处理的问题转化为相对容易解决的问题。 接着，本书将进入关于“近似”与“逼近”的专题探讨。在科学研究和工程实践中，我们常常会遇到一些无法获得精确解析解的问题。这时，近似方法便显得尤为重要。我们将详细介绍各种数学近似技术，例如插值法、拟合法等，并分析它们各自的适用条件、精度衡量标准以及潜在的误差分析。插值法，如拉格朗日插值和牛顿插值，将帮助我们构建通过已知数据点的函数；而最小二乘法等拟合技术，则允许我们在存在噪声的数据中找到最佳的趋势线。这些方法都依赖于对函数行为的某种“猜测”或“逼近”，而“数理探微”的精神在此体现为，我们需要理解这些近似背后的数学原理，知道它们为什么有效，以及在什么情况下会失效。 随后，我们将深入探讨“积分”这一核心概念在数学分析中的地位。积分，从几何上理解，是求面积、体积的工具；从分析学角度看，它是微分的逆运算，是累积效应的度量。本书将从黎曼积分的定义出发，解释其几何意义和存在条件，并探讨勒贝格积分的出现如何拓展了积分的适用范围，处理更广泛的可积函数。我们将详细解析定积分的几何解释，例如计算曲线下面积、旋转体体积等，这些经典的例子将帮助读者直观理解积分的含义。同时，我们也会涉及一些更高级的积分概念，例如瑕积分，它允许我们处理积分区间包含无穷大或被积函数在该区间有无穷大的情况，这在物理学和工程学中具有广泛的应用。 在介绍完积分的基本理论后，本书的重点将转向“数值方法”的探索。当积分的解析解难以获得，或者函数形式过于复杂时，数值积分便成为了不可或缺的工具。我们将从最基础的矩形法则和梯形法则入手，详细解析它们的构造原理、几何意义以及误差分析。然后，我们将逐步深入到更精确的方法，如辛普森法则、科特斯公式等，并重点分析它们如何通过更精细的函数逼近来提高计算精度。对于每一种数值积分方法，我们都会对其收敛性、稳定性和精度进行深入的理论分析，并结合具体的算例，展示它们在不同问题中的应用效果。例如，我们将探讨如何选择合适的步长来平衡精度和计算量，以及如何处理高维积分的计算难题。 除了数值积分本身，本书还将拓展至相关的数学主题，以期提供一个更全面的视角。我们将讨论级数，特别是幂级数和傅里叶级数，它们是近似和表示函数的强大工具，也与数值积分的精度提升有着紧密的联系。幂级数可以看作是一种多项式逼近，而傅里叶级数则能够将周期性函数分解为一系列正弦和余弦函数的叠加，这在信号处理和物理学中具有至关重要的作用。 此外，为了更好地理解数值方法在实际问题中的应用，本书还将触及一些相关的计算数学概念。例如，我们将简要介绍线性代数在求解方程组和矩阵运算中的作用，这常常是数值积分算法实现的基础。同时，我们也会讨论误差的传播和累积问题，这对于评估数值计算结果的可靠性至关重要。我们会强调，在数值计算领域，“数理探微”不仅在于掌握算法本身，更在于理解算法的局限性，以及如何有效地控制和分析误差。 在本书的最后部分，我们将集中探讨数理探微在不同学科领域的应用实例。我们将展示如何运用书中介绍的数学原理和数值方法来解决物理学中的能量累积计算、工程学中的结构应力分析、概率统计中的概率密度函数积分，以及经济学中的经济模型预测等问题。通过这些实际案例，读者将能够深刻体会到抽象数学概念转化为解决现实世界问题的强大能力。我们将不仅仅是罗列应用，而是深入分析每个应用场景中，数学模型是如何建立的，数值方法是如何选择和实现的，以及最终结果的解读。 总之，《数理探微：数值积分原理与应用》并非一本孤立的数学工具书，它是一次对数学思想深层探索的旅程。我们鼓励读者以一种批判性、探究性的态度去学习，去质疑，去发现不同数学领域之间的关联。这本书将帮助你建立起严谨的数学思维，掌握解决复杂问题的分析和计算能力，并最终培养出独立思考和创新的能力。我们相信，通过这次“数理探微”之旅，你将能够更深刻地理解数学的魅力，以及它在塑造我们认识和改造世界中所扮演的关键角色。

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我最近翻阅了这本《Numerical Integration》，印象最深刻的是它在理论深度和实际操作之间的那种微妙平衡。它并没有将读者仅仅视为一个公式的搬运工，而是鼓励你去理解背后的数学原理。比如，它对高斯求积法的介绍，从选择正交多项式到确定节点和权重的推导过程，描述得极其详尽，几乎每一步都配有清晰的逻辑支撑。对于我这种对数学细节比较较真的人来说，这种严谨性是极其宝贵的。更值得称赞的是，书中对不同积分方法的适用性进行了细致的比较。它没有盲目推崇某一种“万能”方法，而是根据被积函数的平滑度、积分区间的大小乃至计算资源的限制，给出了非常实用的建议。比如，在处理奇异点附近的问题时，书中提到的坐标变换策略和适配网格技术，都是教科书上鲜少提及的“实战经验”。唯一让我感到稍微吃力的地方在于，有些高级主题的章节，比如关于复平面上的积分方法，虽然理论上非常精彩，但对于没有深厚复变函数背景的读者来说，可能会显得有些门槛过高，需要花费额外的时间去预习背景知识。这或许是其深度的一种体现，但也可能让部分读者望而却步。不过，抛开这些“硬骨头”，这本书在基础和中级内容上的铺陈，绝对是无可挑剔的。

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这本名为《Numerical Integration》的书籍，坦白说，读完之后我感到了一种知识上的充实与愉悦，但同时也有那么一丝丝的遗憾。作者在介绍基本概念时，那种深入浅出的讲解方式，着实令人佩服。尤其是在讨论复化梯形法则和辛普森法则的收敛性时，每一个数学推导步骤都清晰可见，仿佛作者正耐心地在你的耳边为你剖析复杂的积分问题。我特别喜欢它对误差分析的重视，不同于一些只停留在公式表面的教材，这本书花了不少篇幅去探讨如何量化和控制数值积分过程中的误差，这对于我们这些需要将理论应用于实际工程问题的人来说，无疑是至关重要的指引。它不仅仅告诉你“怎么做”，更重要的是告诉你“为什么这么做”以及“做得有多好”。书中的例子大多选取自经典物理学或工程力学中的场景，这使得抽象的数学概念立刻变得鲜活起来，让人在解决实际问题的过程中，能够更自然地调用这些工具。然而，如果能在现代计算方法的应用上，例如针对高维积分的蒙特卡洛方法及其变种，或者与现代优化算法结合的更前沿技术方面，能再多增加一些深度和篇幅，那就更加完美了。目前的篇幅虽然详尽，但略显保守，对于追求最新进展的研究者来说，可能需要另辟蹊径去寻找补充材料。总体而言，这是一本扎实、可靠的数值积分入门与进阶的优秀教材，值得反复研读。

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初次接触《Numerical Integration》时，我有些担心它会过于学术化，晦涩难懂，但事实证明我的担忧是多余的。这本书的叙事风格是平易近人的，它成功地将一系列复杂的数学概念编织成一个连贯的故事线。作者对于欧拉法的误差分析，以及如何通过更精细的数学构造（比如梯形法则）来逐步改进，这种“迭代优化”的教学思路，让人很容易理解数值方法的本质——即不断逼近真实解的过程。书中对“步长选择”与“计算成本”之间权衡的讨论，充满了朴素的智慧，让人感觉作者是真正站在使用者的角度来撰写此书的。我个人认为，这本书最大的优点在于其无与伦比的“清晰度”。那些晦涩的数学符号和公式，在作者的笔下仿佛被赋予了生命，易于理解和记忆。美中不足的是，在涉及到蒙特卡洛方法的引入和展开时，叙述略显仓促。考虑到现代计算能力的发展，蒙特卡洛方法在处理维度灾难和复杂概率分布积分时的重要性日益凸显，如果这本书能用更多富有洞察力的例子来展示其在物理模拟和金融工程中的应用，那将是锦上添花。总而言之，这是一本为打下坚实基础而生的佳作，足以让人对数值积分领域建立起一个全面而坚固的认知框架。

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我对这本书的整体评价是：非常注重基础的稳固性，但可能在某些现代应用领域略显保守。作者在基础理论的讲解上，可以说是做到了极致的详尽和清晰。例如，对龙格-库塔法（Runge-Kutta methods）在积分问题中的应用与局限性的阐述，非常到位，不仅给出了经典的四阶RK方法的推导，还探讨了如何根据问题的特性选择不同阶数的方法。书中穿插的历史背景介绍也很有趣，能让人了解到这些方法的诞生过程和发展脉络，这使得学习过程不那么枯燥。它成功地将数值分析的严谨性与工程实践的灵活性结合起来。然而，当我尝试寻找一些关于自适应步长控制策略的深入讨论时，发现这部分内容相对简略。在实际的数值计算中，如何动态调整步长以平衡精度和效率，往往是决定计算成败的关键。我期待这本书能用更具说服力的案例和更细致的算法描述，来深化对这些自适应技术的讲解。目前来看，它更像是一部“百科全书式”的经典教材，适合系统学习数值分析的学生和初入该领域的工程师，但对于经验丰富的资深人士来说，可能需要寻找更具针对性的高阶文献来补充这方面的知识缺口。

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说实话，这本书的阅读体验就像是进行一场精心策划的智力探险。《Numerical Integration》的排版设计非常注重可读性，图表的质量非常高，许多关键概念，比如龙贝积分或者克雷姆算法的收敛路径，通过动态或分步展示的图示，一下子就清晰明了了。它在讲述那些经典的牛顿-科茨公式时，那种层层递进的构建过程，简直像搭积木一样，每加一层理论基础，整体的结构就更加稳固。我尤其欣赏它在讲解如何编写高效积分代码时的那些“小贴士”，比如如何优化循环结构以减少浮点运算，或者如何利用并行计算的思想来加速大规模积分任务。这些细节体现了作者对“数值”二字的深刻理解，而不仅仅是停留在“积分”的理论层面。唯一的瑕疵在于，个人感觉书中对那些处理非线性、高维或带有噪声数据的积分方法的讨论略显单薄。当前的数据科学和机器学习领域对这些复杂积分的需求日益增加，如果能将更多的篇幅放在如何利用现代计算资源（如GPU加速）来处理这些“棘手”的积分问题上，这本书的价值将会进一步攀升，成为指导前沿研究的必备参考书。

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