概率论与数理统计分级讲练教程 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:北京大学出版社发行部（电子）

作者:仉志余

出品人:

页数:316

译者:

出版时间:2006-9

价格:18.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787301107072

丛书系列:

图书标签:

• 概率论
• 数理统计
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• 统计学
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• 自学

《高等数学：理论精讲与应用示例》 本书旨在为高等数学学习者提供一个系统、深入且注重实践的知识体系， 旨在弥合理论深度与实际应用之间的鸿沟。本教材并非侧重于概率论与数理统计的特定范畴，而是将焦点完全置于微积分学这一数学基石之上，内容覆盖了从基础分析到多变量微积分的广阔领域。 --- 第一部分：单变量微积分的深度剖析 第一章：极限、连续性与收敛性 本章从最严格的 $epsilon-delta$ 语言入手，奠定整个微积分体系的逻辑基础。我们不仅仅是定义极限，而是深入探讨了序列收敛的充要条件，如柯西收敛准则。连续性的讨论超越了基本概念，着重分析了闭区间上的性质（如介值定理和极值定理）及其在优化问题中的理论意义。此外，对函数一致连续性的探讨，为后续的积分理论提供了必要的分析工具。本章强调将抽象的极限概念与函数图像的局部行为紧密联系起来。 第二章：导数的概念与微分学 导数的定义被视为瞬时变化率的精确数学描述。本章详细阐述了微分的本质，区分了微分与增量的差异。在求导法则方面，不仅涵盖了基本的四则运算和复合函数求导（链式法则），更对指数函数、三角函数及反函数的导数进行了详尽的推导。核心部分在于微分中值定理的深入应用： 罗尔定理、拉格朗日中值定理以及柯西中值定理不仅被证明，更被用于分析函数性质、证明不等式以及理解函数图像的趋势变化。洛必达法则被放在特定的章节进行精讲，重点分析其适用的前提条件和可能出现的误用情况。 第三章：导数的应用与分析 本章是理论与实际结合的关键。我们将导数工具全面应用于函数分析：单调性、极值、凹凸性、拐点的确定，以及渐近线的求解。我们系统地讲解了函数图像的完整描绘流程，强调从导数信息中重建函数行为的能力。在应用方面，本教材特别关注优化问题（包括约束和无约束）的建模与求解，并引入了相关的物理和工程背景实例，例如相关变化率问题和曲率的计算。 第四章：不定积分与积分学基础 不定积分的求解技术被系统化地分类介绍，包括直接积分法、换元法（代换法的选择策略）、分部积分法（高级应用如降阶）。我们不仅停留在计算层面，更深入探讨了积分作为原函数逆运算的理论基础。 第五章：定积分及其应用 定积分的定义采用黎曼和的极限形式，强调其在计算面积、体积和弧长中的几何意义。本章的重点是微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）的严谨证明，展示了微分学与积分学之间的深刻联系。应用部分深入探讨了转动体的体积、曲面面积、功、质心和转动惯量的计算，并包含了一些涉及物理学中功的计算实例。 第六章：广义积分与积分的收敛性 本章处理积分上下限为无穷大或被积函数在区间内存在无穷间断点的情况。我们详细分析了广义积分的敛散性判别法，如比较判别法和极限比较判别法，以及阿贝尔判别法和狄利克雷判别法在特定函数族上的适用性。对收敛广义积分的计算方法也进行了细致的讲解。 --- 第二部分：无穷级数理论 第七章：数列与级数的基础理论 本章严格区分了数列的收敛性与级数的收敛性。对级数收敛性的讨论从最基本的正项级数（比值判别法、根值判别法）开始，扩展到交错级数（莱布尼茨判别法）。重点分析了绝对收敛与条件收敛的概念， 并论证了绝对收敛级数具有重排不变性，而条件收敛级数则不然。 第八章：幂级数与泰勒级数 幂级数是连接解析函数与多项式逼近的桥梁。本章的核心是确定幂级数的收敛半径和收敛区间，并讲解如何通过逐项求导或积分来确定特定函数的幂级数展开式。泰勒级数和麦克劳林级数的构建被详细讲解，并讨论了余项的精确表达（拉格朗日余项和佩亚诺余项），用以严格证明函数与其泰勒多项式之间的逼近误差。 --- 第三部分：多变量微积分的拓展 第九章：多元函数的极限与连续性 本章将极限和连续性的概念推广到二维和三维空间。重点在于理解 $mathbb{R}^n$ 空间中的距离概念，以及偏极限、沿路径极限与二重极限的存在性判别，特别是使用极坐标变换来分析特定路径的极限行为。 第十章：偏导数与全微分 偏导数的计算被视为一维微积分在多变量函数中的简化应用。然而，全微分的概念被置于核心地位， 它代表了函数在多维空间中线性逼近的精确度。本章详细分析了偏导数存在但函数不连续的“反例”，以凸显全微分的严格要求。 第十一章：多元函数的极值与链式法则的推广 链式法则在三维或更高维度空间中的推广被系统阐述。在极值应用方面，我们不仅处理无约束极值问题，更引入了拉格朗日乘数法来求解约束优化问题，这是解决工程和经济学中复杂优化模型的关键技术。 第十二章：多重积分 本章涵盖二重积分和三重积分。积分区域的描述、坐标系的转换（笛卡尔坐标系、柱坐标系、球坐标系）是重点。积分的应用拓展到求解平面薄片和三维物体的质量、重心等物理量。 第十三章：线积分与曲面积分 本章的难点在于向量场和路径积分的几何意义。线积分在保守场中的应用（势函数的求解）被深入探讨。格林公式、斯托克斯公式和高斯散度公式（达朗贝尔公式）作为微积分在流体力学和电磁学等领域的核心工具，被详细推导和应用于具体问题，旨在让学习者掌握这些跨越不同维度的积分定理之间的内在联系。 --- 本书特色总结： 1. 理论的严谨性： 严格遵循数学分析的逻辑结构，证明详实，强调定义和定理的适用边界。 2. 示例的丰富性： 包含大量精心挑选的例题，覆盖了从基础计算到复杂建模的全过程。 3. 思想的贯穿性： 始终强调“线性化”和“逼近”这一微积分的核心思想，贯穿于导数、微分、级数和多重积分的各个章节。 4. 面向应用： 理论讲解后紧跟实际应用场景，帮助学习者建立从数学模型到求解结果的完整思维链条。 本书适合高等工科、理科专业学生及需要深入理解微积分基础理论的研究人员和工程师作为核心教材或参考资料。

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