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出版者:Dover Publications

作者:Theodore W. Gamelin

出品人:

页数:256

译者:

出版时间:1999-2

价格:USD 16.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486406800

丛书系列:Dover Books on Mathematics

图书标签:

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《拓扑学导论》并非一本探讨具体书籍内容的简介，而是一份旨在勾勒拓扑学这一数学分支核心思想、发展脉络及其广泛应用的概述。 拓扑学，常被誉为“橡皮几何学”，它研究的是空间在连续形变下的不变性质。与我们通常熟悉的欧几里得几何学关注长度、角度、面积等精确测量不同，拓扑学更侧重于那些在拉伸、压缩、弯曲，甚至扭曲（只要不撕裂或粘合）的情况下依然保持不变的特征。你可以想象一个甜甜圈和一个咖啡杯：从拓扑学的角度来看，它们是等价的，因为你可以在不破坏它们连续性的情况下，将一个塑造成另一个。这种“柔韧性”使得拓扑学能够以一种全新的视角来审视几何对象，发现更深层次的结构和联系。 拓扑学的发展并非一蹴而就，其根源可以追溯到18世纪。莱昂哈德·欧拉在解决著名的“柯尼斯堡七桥问题”时，就无意中触及了图形的连通性这一拓扑概念。他将这个问题抽象为图论，并证明了不可能在不重复走过任何一座桥的情况下，完成一次过河的任务。这标志着对空间性质的初步探索，已经超越了传统的度量几何。 进入19世纪，数学家们开始更加系统地研究空间属性。波恩哈德·黎曼提出的黎曼几何，虽然着眼于度量，但也为后来的拓扑学研究奠定了基础。而到了20世纪初，亨利·庞加莱被认为是拓扑学的奠基人之一。他提出的“组合拓扑学”，通过研究多面体表面的性质，如欧拉示性数，揭示了空间形状的内在不变性。庞加莱猜想，尽管后来历经百年才被证明，更是成为拓扑学领域最耀眼的里程碑之一，它试图刻画三维球面的本质特征。 随后，索福斯·李、汉斯·勒维夫、威廉·沃特曼·休厄尔·沃特曼等数学家也为拓扑学的发展做出了重要贡献，特别是沃特曼在集合论和点集拓扑学方面的开创性工作，为拓扑学提供了严格的理论框架。点集拓扑学定义了“邻域”、“开集”、“闭集”、“连续映射”等基本概念，从而使得任何具有拓扑结构的集合（即拓扑空间）都可以被统一分析。 那么，拓扑学研究的核心是什么呢？它关注的是对象的“连通性”、“孔洞的数量”、“边界的性质”以及“整体的形态”等。例如，一个圆环（具有一个孔洞）和一个球体（没有孔洞）在拓扑学上是不同的，因为你无法通过连续形变将一个变成另一个。球体可以被扭曲成任意形状，但它始终没有“贯穿”的孔洞。而圆环上的那个孔洞，是其拓扑上一个不可磨灭的特征。 拓扑学研究的工具多种多样，包括但不限于： 同胚 (Homeomorphism)：这是拓扑学中最核心的概念之一，指的是两个拓扑空间之间的双射连续映射，并且其逆映射也是连续的。如果两个空间之间存在同胚，那么它们在拓扑学上就被认为是等价的，即具有相同的拓扑性质。 同伦 (Homotopy)：这是描述两个连续映射之间“连续变形”的概念。如果两个映射可以通过连续地改变参数而相互转化，那么它们就被认为是同伦的。 基本群 (Fundamental Group)：这是代数拓扑学中的一个重要工具，它描述了空间中闭合曲线的“环绕”方式。基本群的结构可以区分出具有不同“孔洞”结构的拓扑空间。 同调论 (Homology Theory) 和 上同调论 (Cohomology Theory)：这些更高级的代数工具，通过研究空间的“链复形”和“链群”，能够更精细地捕捉空间的拓扑结构，例如识别更复杂的孔洞和连通性。 拓扑学的应用范围极为广泛，远远超出了纯数学的范畴： 物理学：在凝聚态物理学中，拓扑概念被用来描述材料的电子性质，例如量子霍尔效应中的拓扑相。在宇宙学中，它有助于理解宇宙的整体形状和几何结构。弦理论和量子场论也大量运用了拓扑学工具。 计算机科学：拓扑数据分析（TDA）利用拓扑学的思想来理解和处理复杂数据集的结构，例如在机器学习、图像识别和网络分析中。 生物学：DNA的缠绕和折叠、蛋白质的折叠过程，都可以用拓扑学来研究。 工程学：在机器人学和控制理论中，拓扑学有助于分析系统的可达性和稳定性。 经济学：在复杂系统的建模和分析中，拓扑学也能提供新的视角。 《拓扑学导论》这本书，无论其具体内容如何安排，必然会引导读者从零开始，系统地构建起对这一迷人数学分支的理解。它会涵盖点集拓扑学的基本概念，如拓扑空间、连续性、紧致性、连通性等，然后逐步深入到代数拓扑学，介绍基本群、同调论等工具。最终，读者将能够运用这些概念和工具，去分析和理解各种数学对象以及现实世界中的复杂系统。它不仅仅是一门数学课程，更是一种全新的思考方式，一种洞察事物本质结构的能力。

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《Introduction to Topology》这本书的结构安排让我觉得非常人性化。它没有一开始就抛出大量的抽象定义，而是从一些基础性的集合论概念开始，比如集合、函数、关系等，这些都是后面学习拓扑学的必备知识，而且作者的讲解非常透彻，确保了读者不会在这些基础概念上 stumbling。接着，它自然地过渡到拓扑空间的概念，定义了开集、闭集、邻域等基本元素，并且通过大量详实的例子来加深理解，例如欧几里得空间的拓扑、离散拓扑、平凡拓扑等等。我特别欣赏书中对于“稠密集合”和“处处稠密”的解释，以及它所带来的“可分空间”的概念，这为我们理解空间的“大小”提供了一种新的维度。书中对“紧致性”的探讨，尤其是 Heine-Borel 定理的证明，让我对这个看似简单的性质有了更深刻的认识。它不仅是一个定义，更是一种强大的工具，能够帮助我们解决许多看似棘手的问题。而且，书中在讲解每个新概念时，都会引用前面学过的知识，形成一个知识网络，这极大地增强了学习的连贯性和系统性。我感觉自己不仅仅是在学习一个分支的数学，而是在学习一种全新的思维方式。

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《Introduction to Topology》这本书给我最大的感受是它教会了我如何抽象思考。它从基础的集合论概念出发，逐渐引入拓扑空间，然后深入探讨了连通性、紧致性、同胚性等核心概念。书中对“度量空间”和“完备性”的讨论，让我看到了拓扑学与分析学之间的紧密联系。我特别喜欢书中对“稠密集”和“处处稠密”的解释，它让我理解了在某个集合中，即使是一个“无限小”的点，也可能对整个集合的结构产生重要影响。书中对“Hausdorff 空间”的定义，也让我体会到区分不同点的重要性，这在许多数学分支中都是一个基本的要求。我对书中关于“流形”的初步介绍也充满好奇，它似乎是连接拓扑学和微分几何的桥梁，为我打开了新的研究方向。这本书的逻辑非常严谨，每一步的论证都清晰明了，让我在学习过程中能够充分理解每个概念的由来和意义。

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这本书的语言风格非常吸引人，它没有使用过于生涩或晦涩的术语，而是力求用清晰、简洁的语言来阐释复杂的概念。《Introduction to Topology》在介绍“紧致性”时，除了 Heine-Borel 定理，还介绍了“开覆盖引理”，并详细解释了如何利用它来证明一些重要的性质。我尤其喜欢书中对“拓扑不变量”的探讨，它解释了为什么一个拓扑性质在同胚映射下不会改变，这就好像在说，无论你怎么拉伸和扭曲，一个甜甜圈永远是一个带有一个洞的物体，而一个球体永远没有洞。书中通过计算“欧拉示性数”来区分不同曲面的例子，更是让我直观地感受到了拓扑学在分类和识别上的强大能力。我对书中关于“覆盖空间”的初步介绍也感到很兴奋，它似乎提供了一种工具，能够将一个复杂的拓扑空间分解为更简单的部分，并且这些部分之间存在一种有序的映射关系。

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《Introduction to Topology》这本书的内容深度和广度都让我感到惊喜。它不仅仅局限于初级的概念，还开始触及一些更高级的主题，比如“度量空间”和“完备性”。作者对度量空间的定义以及各种度量的例子，比如欧几里得度量、曼哈顿度量、切比雪夫度量等，都解释得非常清楚，并且说明了它们如何诱导出相同的拓扑结构。而“完备性”这个概念，它揭示了在某个空间中，任何柯西序列都能收敛到该空间中的一个点，这对于分析学和几何学都至关重要。书中通过大量的定理和证明，例如巴拿赫不动点定理，展示了完备性在解决数学问题中的强大作用。我特别喜欢书中关于“紧致性”和“连通性”的章节，它不仅定义了这些概念，还探讨了它们之间的关系，以及在不同空间下的表现。例如，紧致性在实数轴上等价于有界闭区间，这极大地增强了我的直观理解。这本书为我打开了通往更多拓扑学分支的大门，让我看到了数学世界的无穷可能性。

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我必须说，《Introduction to Topology》这本书在引导读者探索“连续性”这一核心概念时做得非常出色。它并没有直接给出“连续函数”的定义，而是通过“开集的像集是开集”这样的性质来引入，然后逐步完善，最终给出我们熟悉的 $epsilon-delta$ 定义，并将其推广到拓扑空间中的定义。这个过程非常自然，让我在理解新定义时，能够回溯到熟悉的微积分概念，从而获得一种“原来如此”的豁然开朗。书中对“同胚”的深入剖析，以及它在不同拓扑空间之间建立联系的作用，让我领略到拓扑学的强大力量。我尤其着迷于书中关于“同伦”的讨论，它是一种比同胚更弱但同样重要的等价关系，它揭示了空间中“形变”的可能性。通过理解同伦，我们可以区分出一些拓扑上不可区分但形状上有着细微差异的对象。书中通过大量的图示和例子，比如圆周与圆盘的同伦等价，帮助我直观地理解了这个抽象的概念。我对书中关于“基本群”的引入也充满期待，虽然我还没有深入研究，但它似乎是研究空间“洞”结构的一个重要工具。

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这本书真是打开了数学领域的新视角，我原本以为拓扑学仅仅是关于连续变形和洞的研究，但《Introduction to Topology》让我看到了它更深层的哲学含义和广泛的应用。作者在开篇就巧妙地引入了一些直观的例子，比如橡皮纸上的画、甜甜圈和咖啡杯的等价性，这些例子虽然简单，却为理解抽象概念打下了坚实的基础。我特别喜欢书中对“同胚”这个概念的解释，它不仅仅是简单的形状相似，更是一种保持拓扑性质不变的映射关系，这其中的精妙之处令人着迷。书中对度量空间、紧致性和连通性的阐述，也循序渐进，每一步都带着读者的思考，让我在不知不觉中掌握了这些重要的工具。而且，作者并没有止步于理论的讲解，还穿插了一些历史背景和相关的数学家故事，这让学习过程不再枯燥，而是充满了人文关怀。我尤其对书中关于“万有覆盖空间”的部分印象深刻，它揭示了拓扑空间结构的一种更精细的刻画方式，通过理解覆盖空间，我们能更深入地洞察原空间的本质。这本书的语言清晰流畅，即使是对于我这样的初学者，也能感受到作者的用心良苦，它不是那种堆砌公式和定理的教科书，而是真正引导读者去“思考”拓扑学。

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这本书在构建拓扑思维方面做得非常扎实。《Introduction to Topology》将抽象概念与直观理解巧妙地结合起来，让我在学习过程中既能把握理论的严谨性，又不失对几何直觉的依赖。例如，在介绍“Hausdorff 空间”时，作者并没有仅仅给出定义，而是通过“任意两个不同的点都有不相交的邻域”这样的语言来解释，这使得我更容易理解其含义——它是一种允许我们区分空间中任意两个不同点的空间。书中对“可度量性”的探讨，即一个拓扑空间是否能被某个度量所诱导，也让我对拓扑空间的结构有了更深入的认识。我特别欣赏书中关于“嵌入”的讨论，它研究的是一个拓扑空间如何“放入”另一个拓扑空间，并且保持其本身的拓扑结构。这在几何学中有着广泛的应用，例如将曲线嵌入到平面中。书中对“流形”概念的初步介绍，更是让我对接下来的学习充满了期待，它似乎是将拓扑学与微分几何联系起来的一个重要桥梁。

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《Introduction to Topology》这本书的优点在于它能够引导读者建立一套属于自己的“拓扑眼光”。它不仅仅是教你知识，更重要的是教你如何去“看”事物。例如，在谈论“序列紧致性”和“博雷尔-莱尔辛紧致性”时，书中详细阐述了它们之间的等价关系，并展示了如何在特定条件下（例如在度量空间中）它们是等价的，这让我对紧致性有了更全面的认识。我尤其喜欢书中对“同胚”的论证，它不仅仅是简单的形状改变，而是保持了点与点之间的邻域关系，以及诸如连通性、紧致性等拓扑性质。书中通过一些反例，比如证明一个球体和一个圆盘不是同胚的，来巩固我们的理解，区分开哪些改变是允许的，哪些是不允许的。我对书中关于“连接和分离”的讨论也印象深刻，它探讨了拓扑空间中“成分”的概念，以及如何判断一个空间是否是“连通”的，即不能将其分成两个不相交的非空开集。

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这本书的内容非常充实，让我对拓扑学的认识有了质的飞跃。《Introduction to Topology》在介绍“紧致性”时，除了 Heine-Borel 定理，还深入探讨了“序数”在拓扑学中的应用，以及它们与紧致性之间的联系。我特别喜欢书中对“同胚”的论证，它不仅仅是形状的相似，更是保持了点与点之间的邻域关系，以及诸如连通性、紧致性等拓扑性质。书中通过一些反例，比如证明一个球体和一个圆盘不是同胚的，来巩固我们的理解，区分开哪些改变是允许的，哪些是不允许的。我对书中关于“连接和分离”的讨论也印象深刻，它探讨了拓扑空间中“成分”的概念，以及如何判断一个空间是否是“连通”的，即不能将其分成两个不相交的非空开集。这本书的讲解方式非常细腻，让我能够充分理解每个概念背后的逻辑和思想。

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《Introduction to Topology》这本书的讲解风格非常注重逻辑性和严谨性。它从最基本的集合论概念出发，层层递进，逐步构建起完整的拓扑学理论框架。书中对“度量空间”的详细阐述，以及各种度量诱导出的拓扑结构的比较，让我深刻理解了度量的多样性和拓扑的统一性。我特别喜欢书中对“连续性”的解释，它不仅仅是 $epsilon-delta$ 定义的推广，更是对“开集映射到开集”这一更本质性质的揭示。书中通过大量生动形象的例子，比如用橡皮纸模拟的同胚变换，让我能够直观地理解抽象的拓扑概念。我对书中关于“紧致性”的多种等价定义及其相互关系也进行了深入的探讨，这让我对这个重要概念有了更全面的认识。这本书的数学语言准确且规范，为我打下了坚实的数学基础。

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Solution manual 差评，还不如没有。很多定义都没有标记和编号。

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Solution manual 差评，还不如没有。很多定义都没有标记和编号。

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目前感觉还可以。话说教授你自己写的书，自己写的证明老是搞错真的不要紧么。还有为什么定义不能清楚地标出来……不过10刀的书，不能苛求什么了

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