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出版者:甘肃教育出版社

作者:王志林

出品人:

页数:117

译者:

出版时间:2004-8

价格:10.50元

装帧:平装

isbn号码:9787542313744

丛书系列:

图书标签:

• 实变函数
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现代数学分析的基石：测度论与勒贝格积分的严谨建构 图书简介： 本书旨在系统而深入地阐述现代数学分析的两个核心支柱：测度论（Measure Theory）与勒贝格积分（Lebesgue Integration）。作为连接传统微积分与泛函分析、概率论等前沿领域的关键桥梁，测度论为集合的“大小”提供了远超传统长度、面积和体积概念的普适度量，而勒贝格积分则以其无与伦比的收敛性和操作便利性，彻底革新了积分理论。本书从基础集合论和拓扑概念出发，循序渐进，构建起完整的理论体系，力求在严谨性与可理解性之间取得完美的平衡。 第一部分：基础与度量的建立——从集合到测度空间 本书伊始，我们将回顾必要的预备知识，包括拓扑空间的基本概念，特别关注 $mathbb{R}^n$ 上的拓扑性质，如开集、闭集、紧致性以及连续性。这些概念是构建更抽象测度空间的必要背景。 1. $sigma$-代数与可测集： 测度论的起点在于定义“可测集”。我们首先引入 $sigma$-代数（或称 $sigma$-域）的概念，阐述其作为集合族必须满足的封闭性条件（可数次的并、交、补运算）。随后，我们将讨论 $mathbb{R}^n$ 上的勒贝格 $sigma$-代数 $mathcal{L}$，它是最自然、最常用的可测集族。我们将证明，由开集生成的 $sigma$-代数与由开区间生成的 $sigma$-代数是相同的。这一部分将详细分析不可测集的构造，例如利用选择公理构造出的维塔利集（Vitali Set），以此揭示仅依赖于基本的开集和闭集构造的局限性。 2. 外测度和测度的构造： 在定义了可测集之后，我们需要一个赋予这些集合“大小”的函数——测度。本书采用卡拉瑟欧多里外测度法（Carathéodory Outer Measure）来构造勒贝格测度。首先，我们定义基于开区间（或更一般的，可数个区间）的外测度 $mu^$。我们将详细证明外测度的单调性、可加性（在不相交集合上的性质）以及平移不变性。随后，至关重要的一步是利用外测度构建可测集族 $mathcal{M}$，即那些能够被“分割”的集合。本书将严谨证明，由此方法构造出的测度 $mu$ 满足 $sigma$-可加性，并且限制在 $mathbb{R}^n$ 上时，它就是我们熟悉的勒贝格测度 $m$。我们将探讨可测集的代数性质，如可测集的补集、可数交集仍是可测集等。 3. 测度空间的完备性与性质： 我们进一步探讨测度空间 $(X, mathcal{A}, mu)$ 的一般性质。这包括完备性的概念，即零测度集的子集是否也是零测度集，以及勒贝格可测集的完备性。此外，本书还将讨论有界函数在测度空间上的性质，以及一些特殊的测度，如狄拉克测度（Dirac Measure）和计数测度（Counting Measure），用以展示测度论的普适性。 第二部分：勒贝格积分的定义与性质 测度论的最终目标是建立一个比黎曼积分更强大、更灵活的积分理论。 4. 简单函数与勒贝格积分的定义： 勒贝格积分的定义是分层递进的：从最简单的函数开始。我们首先定义简单函数（Simple Functions），即有限个可测集上的指示函数乘以常数的线性组合。我们将证明，任何非负可测函数都可以被一列单调不减的简单函数逼近。基于此，非负可测函数的勒贝格积分被定义为逼近它的简单函数积分的上确界。对于一般的可测函数 $f$，我们将其分解为正部 $f^+$ 和负部 $f^-$，并定义 $int f , dmu = int f^+ , dmu - int f^- , dmu$。 5. 可积函数与积分的性质： 引入了积分的定义后，我们定义勒贝格可积函数（$L^1$ 函数）——即其绝对值可积的函数。本书将详细比较勒贝格积分与黎曼积分的异同。关键结论是：若函数在有界区间上黎曼可积，则它勒贝格可积，且两者积分值相等。然而，勒贝格积分能够处理不连续点为稠密的函数（如狄利克雷函数）的积分。我们将深入分析积分的线性性质、单调性，以及最关键的单调收敛定理（Monotone Convergence Theorem, MCT）和法图引理（Fatou's Lemma）。 6. 积分理论的飞跃：控制收敛定理： MCT 解决了单调序列的积分与极限交换问题，但实际应用中函数序列往往不是单调的。本书将重点阐述勒贝格控制收敛定理（Lebesgue Dominated Convergence Theorem, LDCT）。该定理是现代分析中最常用、最有力的工具之一，它在存在一个可积的“控制函数”的条件下，保证了函数序列的积分与极限可以交换。我们将通过构造性的例子展示 LDCT 的威力，并说明为何它比 MCT 更为通用。 第三部分： $L^p$ 空间与函数空间 测度论和积分的完整理论体系必须延伸到函数空间，为泛函分析奠定基础。 7. $L^p$ 空间与不等式： 本书将定义勒贝格 $L^p$ 空间，即所有 $p$ 次方可积函数的集合。在此部分，我们将证明闵可夫斯基不等式（Minkowski Inequality），它保证了 $L^p$ 范数满足三角不等式，从而使 $L^p$ 成为一个赋范向量空间。接着，我们将证明赫尔德不等式（Hölder Inequality），该不等式是 $L^p$ 空间积分运算中的核心工具，它统一了柯西-施瓦茨不等式（$p=2$ 的情况）。 8. 积分的极限交换：Fubini-Tonelli 定理： 当处理多重积分（例如 $mathbb{R}^2$ 上的积分）时，积分次序的交换是一个核心问题。本书将严格区分法图-藤比尼定理（Fubini-Tonelli Theorem）和藤比尼定理（Fubini Theorem）。Tonelli 定理处理非负函数，保证了只要迭代积分中有一个有限，则可交换；而 Fubini 定理处理一般可测函数，在函数绝对值可积（即 $L^1$ 可积）的条件下，保证了积分次序的交换及结果的一致性。 结论： 本书通过严谨的逻辑链条，从基础测度建立到抽象函数空间的构造，全面而深入地展现了实变函数论的精髓。它不仅是高等数学分析课程的理想教材，也是有志于深入研究泛函分析、调和分析、随机过程以及数学物理的读者的必备参考书。本书强调概念的直观理解与数学推导的精确性相结合，确保读者能够扎实地掌握这一现代数学分析的基石理论。

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作为一名对数学理论抱有浓厚兴趣的非专业人士，《实变函数论简明教程》这本书带给我的体验是相当独特的。它并非那种“填鸭式”的教学，而是更像是在引导读者进行一次逻辑的探险。作者在内容的组织上非常巧妙，没有一开始就陷入复杂的定义和证明，而是先通过一些直观的例子，比如长度、面积等概念，来引导读者对“测度”这一核心概念产生初步的认识。这种由浅入深、由具体到抽象的讲解方式，极大地降低了学习门槛。我尤其对书中关于“可测函数”的讨论印象深刻。作者并没有将可测函数仅仅视为一个抽象的定义，而是通过分析一些在实际问题中出现的函数，来阐释可测函数的意义和重要性。比如，在描述物理现象时，我们往往需要处理一些不连续的函数，而可测函数就为我们提供了分析这类函数的有力工具。书中的证明也清晰而有条理，每一步都逻辑严密，而且作者还常常会点出证明的关键之处，让我能够抓住问题的核心。我曾花了许多时间去钻研某些定理的证明，通过这本书，我发现许多之前觉得难以理解的证明，现在都变得豁然开朗。而且，书中对于一些经典反例的分析，也让我对数学的边界和可能性有了更深刻的认识。

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《实变函数论简明教程》这本书，对于我这样一个数学爱好者而言，是一次非常愉快的学习体验。它的“简明”并非意味着内容的浅薄，而是体现在作者精炼的语言、清晰的逻辑和恰到好处的例子。我一直认为，好的数学教材应该能够激发读者的学习兴趣，而不是让他们望而却步，这本书在这方面做得非常出色。作者在讲解 Lebesgue 积分时，并没有将注意力仅仅放在积分的计算上，而是着重于它在理论上的优越性，比如它能够处理更广泛的函数类，并且在收敛性方面表现出更好的性质。这种理论导向的讲解，让我能够更好地理解 Lebesgue 积分的价值所在。我尤其喜欢书中关于“积分的收敛定理”部分的论述，作者将 Fatou 引理、占位定理、控制收敛定理等重要定理一一列举，并对其应用场景和证明思路进行了详细的介绍。这些定理是实变函数论中的核心工具，能够熟练掌握它们，对于后续的学习至关重要。书中对一些抽象概念的解释，也常常会伴随着精美的数学图形，这对于我这种视觉型学习者来说，帮助巨大。

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这本书《实变函数论简明教程》的出版，无疑为许多渴望深入理解实变函数论的读者提供了极大的便利。我特别欣赏作者在编写过程中所展现出的严谨态度和教学智慧。他并没有刻意地回避困难，而是选择了一种更加直观和易于理解的方式来呈现复杂的理论。比如，在引入“单调类定理”时，作者并没有直接引用这个定理，而是先通过一系列更简单的例子，展示了如何利用“单调性”来推广函数的性质，最终引出单调类定理的普适性。这种“化繁为简”的技巧，让我能够更好地理解这些深奥的数学工具。书中的一些证明，虽然篇幅不长，但却凝聚了作者深厚的数学功底和独到的见解。我曾经在其他地方看到过某些定理的证明，但都感觉有些晦涩，而在这本书中，我找到了清晰且易于理解的版本。作者对数学的理解，不仅仅停留在形式的层面，更深入到其思想的本质。他会在讲解过程中，时不时地提炼出一些关键的数学思想，例如“构造性”、“一般性”、“局部性”等等，这些都极大地拓宽了我对数学的认识。

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《实变函数论简明教程》这本书，对于我而言，不仅仅是一本教材，更是一本能够激发我对数学深层思考的读物。作者的写作风格非常独特，他能够用非常生动和形象的语言，来阐释那些抽象而深刻的数学概念。例如，在讲解“可测集”时，作者并没有仅仅停留在集合运算的层面，而是通过类比“染色”等游戏，来帮助读者理解可测集与不可测集之间的区别。这种“类比式”的讲解，让我能够更容易地将抽象的数学概念与现实世界联系起来。书中对“Lp空间”的讨论，也给我留下了深刻的印象。作者详细介绍了Lp空间的定义、性质以及其在不同领域的应用，特别是它在调和分析、偏微分方程等领域的强大作用，都让我为之惊叹。书中的一些观点和论述，也常常会引发我的思考，让我对数学的本质有了更深刻的认识。我曾反复琢磨书中关于“黎曼积分与勒贝格积分的联系”的讨论，作者的分析非常到位，让我能够清晰地理解它们之间的关系。

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《实变函数论简明教程》这本书，在我看来，更像是一位循循善诱的数学引路人，它没有那些枯燥乏味的术语轰炸，而是以一种温和而坚定的力量，将我引入了实变函数论的深邃世界。我一直觉得数学的美在于其精确的逻辑和严谨的推理，而这本书正是这种美学的绝佳体现。作者在讲解每一个概念时，都会追溯其产生的背景和解决的问题，这让我在学习的过程中，不会仅仅停留在对符号的记忆上，而是能够真正理解概念的内涵和外延。例如，在讲解“可测集”时，作者并没有直接给出一个复杂的定义，而是从“测度”的概念出发，逐步构建出可测集的定义，并通过各种集合运算来展示可测集的性质。这种“构建式”的讲解，让我感觉自己参与了数学理论的生成过程。书中的证明也并非冷冰冰的符号推演，作者常常会穿插一些解释性的文字，点拨证明的思路和技巧，这对于我这种需要一点“提示”的学习者来说，实在是太有帮助了。我曾反复阅读书中关于“收敛性”部分的讲解，关于各种收敛（依测度收敛、几乎处处收敛、Lp收敛）的比较和联系，作者的梳理非常清晰，让我能够准确地把握它们之间的区别和联系。

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坦白说，我在接触《实变函数论简明教程》之前，对实变函数论这个领域一直抱有一种敬畏又略带恐惧的态度。传统的教材往往充斥着晦涩的符号和抽象的概念，让人难以捉摸。然而，这本书完全颠覆了我的认知。作者的笔触非常细腻，他能够从一个非常基础的视角出发，将看似零散的概念有机地联系起来。例如，在讲解积分部分，作者并没有直接给出 Lebesgue 积分的定义，而是先回顾了 Riemann 积分的局限性，然后通过引入“可测集”和“测度”的概念，自然而然地过渡到 Lebesgue 积分的优越性。这种“溯源”式的讲解方式，让我能够更好地理解 Lebesgue 积分出现的历史必然性和理论基础。书中对各种概念的阐释都非常到位，比如“可测集”、“可测函数”、“积分”等等，作者都会用通俗易懂的语言进行解释，并辅以形象的比喻和具体的例子。我尤其喜欢作者在讲解一些重要定理时，不仅给出了严谨的证明，还对其思想内涵进行了深入的剖析，这让我不仅仅是“知其然”，更能“知其所以然”。书中的图示也帮助我更好地理解了抽象的数学概念，比如在讲解集合的拓扑性质时，书中提供的图示就非常直观。虽然我并非数学专业学生，但通过这本书，我感觉自己真的能够领略到实变函数论的魅力，感受到数学的严谨与和谐。

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《实变函数论简明教程》这本书，给我的感觉就像是一次精心设计的数学之旅，作者如同一个经验丰富的导游，引领我在实变函数论的奇妙世界中探索。它并没有刻意地去追求“简略”而牺牲内容的完整性，而是力求在保证理论的严谨性的同时，让读者更容易理解和接受。我尤其喜欢作者在讲解“生成σ代数”时所采用的方法，他并没有直接给出σ代数的定义，而是通过“集合的运算”来逐步构建出σ代数，并强调了σ代数在定义测度时的关键作用。这种“生成”的思路，让我能够更好地理解σ代数的内在逻辑。书中对于“泛函分析”的初步介绍，也为我打开了新的视野，我了解到实变函数论与泛函分析之间紧密的联系，以及它们在解决各种数学问题中的重要作用。书中的例题也很有代表性，它们不仅能够巩固课堂上的知识，更能够激发我进一步思考和探索。我曾尝试解决书中一些具有挑战性的习题，虽然过程艰难，但每一次的突破都让我对实变函数论的理解更上一层楼。

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读完《实变函数论简明教程》，我最大的感受是，数学理论的严谨性与美感是可以并存的。作者的叙述方式非常具有感染力，他能够将那些看似冷冰冰的数学符号，赋予生命和意义。例如，在介绍“勒贝格积分”时，作者并没有直接给出一个复杂的定义，而是从“划分”这个直观的概念出发，逐步引导读者理解勒贝格积分的思想内核，即“不关心函数取值点，而是关心函数的取值”。这种“关注点”的转移，让我对积分的本质有了更深刻的理解。书中对于“测度空间”的引入，也做得非常到位，作者先讲解了测度的基本性质，然后在此基础上定义了测度空间，并引入了像“乘积测度”这样的重要概念。这些概念的引入，都使得整个理论体系更加完整和统一。我曾花了好几天时间去反复琢磨书中关于“可测函数序列的收敛性”的讨论，作者对各种收敛方式的区分和联系的阐述，非常到位，让我能够清晰地分辨它们之间的微妙之处。

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我一直觉得，能够将复杂的数学概念以一种清晰、简洁且富有逻辑性的方式呈现出来，是衡量一本好书的重要标准。《实变函数论简明教程》无疑达到了这个标准。作者的叙述风格非常具有启发性，他能够从一个宏观的视角来审视整个理论体系，然后逐步深入到具体的细节。例如，在讲解“测度”时，作者先从集合的“大小”这一直观概念出发，引出了测度的基本性质，如单调性、可列可加性等，然后在此基础上定义了“Lebesgue测度”，并讨论了其优越性。这种“由大到小，由抽象到具体”的讲解方式，让我能够更好地把握理论的脉络。书中的证明也同样精彩，作者善于运用一些简洁而巧妙的技巧，使得复杂的证明变得清晰易懂。我曾对“Fubini定理”的证明困扰已久，在这本书中，我找到了清晰且易于理解的版本，让我能够真正掌握这个重要的积分工具。

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这本《实变函数论简明教程》正如其名，确实如同一位经验丰富的老师，将抽象而深刻的实变函数世界，以一种恰到好处的“简明”方式呈现在读者面前。我并非数学科班出身，只是对数学的严谨逻辑和美感有着一份执着的好奇。初次翻开这本书，我原本抱着“看看热闹”的心态，却很快被作者的叙述风格所吸引。他没有一开始就抛出那些令人望而生畏的定义和定理，而是循序渐进，从更易于理解的 Lebesgue 测度概念入手，一步步构建起整个理论框架。尤其是关于可测函数的引入，作者巧妙地运用了集合论的语言，将看似复杂的概念变得清晰可见。我尤其欣赏的是书中对一些经典例子，比如狄利克雷函数、康托集等的详细分析，这些例子不仅生动地展示了实变函数论中的一些核心思想，也让我对数学的“怪异”与“精确”有了更深的体会。书中大量的习题也极具启发性，许多题目并非简单的计算，而是要求读者深入思考，运用所学概念去证明或反证。虽然有些题目我需要查阅资料才能攻克，但每一次的解决都带给我巨大的成就感，也让我对书中概念的理解更加透彻。总而言之，这本书对于想要系统学习实变函数论，又希望获得清晰、易懂讲解的读者来说，无疑是一份宝贵的财富。它不仅传授知识，更传递了一种探索数学的乐趣和方法。

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