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出版者:Dover Publications

作者:William J. LeVeque

出品人:

页数:288

译者:

出版时间:1996-2

价格:USD 14.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486689067

丛书系列:

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深入剖析代数结构与数域的边界：高等抽象代数导论 一部挑战思维极限，构建数学大厦坚实地基的著作 本书旨在为渴望掌握现代数学核心的读者，提供一套全面、深入且富有洞察力的“高等抽象代数”学习体验。它并非停留在对基础数论概念的重复阐述，而是将读者迅速引入到代数结构理论的广阔天地，重点聚焦于群论、环论、域论的精髓，以及它们在代数几何和拓扑学等前沿领域中的基础性作用。 本书核心理念：结构即是理解的钥匙 我们坚信，理解数学对象的本质，必须从其内在的代数结构入手。因此，本书的叙事逻辑是围绕“结构”的建立、分类、同构以及性质的保持展开的。我们不满足于仅仅定义概念，而是深入探讨这些概念背后的深刻动机，以及它们如何统一了看似无关的数学分支。 --- 第一部分：群论的深度探索——对称性与不变性 本部分将群论提升至一个更高的抽象层次，超越了对有限群分类的简单介绍，着重于无限群的结构分析和作用理论。 第一章：群论的精炼与推广 集合间的操作与代数系统： 重新审视群的四个公理，强调其在建模物理对称性和数学变换中的必要性。 群的同态与同构： 详尽阐述同态的核（Kernel）和像（Image）性质，引入同构定理（如第一同构定理），展示不同群之间如何通过结构保持的映射关联起来。 正规子群与商群的构造： 深入探讨正规子群作为“关键的”子群的特性，并详述商群（Factor Group）的构造过程，这是理解模运算和构造更复杂群的关键步骤。 有限生成阿贝尔群的结构定理： 对有限生成阿贝尔群进行彻底的分解，证明其可以分解为循环群的直积，这是分类理论的基石。 第二章：群的作用与置换 群在集合上的作用： 详细分析群作用的定义、轨道（Orbit）和稳定子（Stabilizer）的概念。利用轨道-稳定子定理（Orbit-Stabilizer Theorem）进行计数和证明，特别是对有限群的应用。 Sylow定理的详尽推导与应用： 本章的重头戏之一。我们将完整、严谨地推导出Sylow第一、第二和第三定理，并展示这些定理如何成为分析有限群结构的强大工具，例如，判断群是否为可解群（Solvable Group）。 群的表示论导论： 简要介绍将抽象群映射到线性代数中的可逆矩阵群（General Linear Group）的映射，引入特征标（Character）的概念，为后续研究代数表示方法奠定基础。 --- 第二部分：环论的张力与延伸——算术到代数结构 本部分将目光转向具有两种运算的系统——环，并将其视为对整数集合$mathbb{Z}$的推广，重点在于理解“整环”和“域”的形成过程。 第三章：环的基础架构与理想 环的公理与例子： 区分交换环、单位环，并引入重要的非交换环例子。 子环与环同态： 强调环同态如何保持加法和乘法结构，并讨论零化子（Annihilator）。 理想的中心地位： 将“理想”视为环中的“正规子群”的对应物。详述左、右、双边理想的概念，并引入主理想（Principal Ideal）和极大理想（Maximal Ideal）。 商环的构造与性质： 类似于商群，构造商环，并利用同构定理分析其结构。特别是，探讨极大理想与极大整环之间的联系。 第四章：整环、域与域的扩张 整环的特性： 定义零因子（Zero Divisors）以及整环的特性（无零因子）。这是通往域论的关键一步。 分式域（Field of Quotients）： 详细论证如何从任意整环构造出其分式域（例如，从$mathbb{Z}$构造$mathbb{Q}$），展示这种构造如何“完备”了乘法运算。 域的结构： 深入研究域（Field）的性质，包括特征（Characteristic）。 域的扩张（Field Extensions）： 介绍域扩张的必要性，定义扩张次数（Degree of Extension）。重点解析代数数（Algebraic Numbers）和超越数（Transcendental Numbers）的概念，并引出伽罗瓦理论的核心——正规扩张（Normal Extensions）和可分扩张（Separable Extensions）。 --- 第三部分：模块论与范畴论的视角（高级主题） 为了展示抽象代数在更广阔数学图景中的地位，本书的最后部分引入了更具抽象性和通用性的概念。 第五章：模块论——向量空间的推广 模块的定义： 将模块定义为“域上的向量空间”的推广，其中“域”被替换为“环”。探讨左模块和右模块的区别。 子模块、商模块与同态： 建立模块论中的基本结构定理，如子模块的结构和同构定理。 自由模块与投射模块： 介绍如何用自由模块来“近似”或“分解”复杂的模块结构，这是同调代数中至关重要的一步。 第六章：范畴论的宏观视角 范畴、函子与自然变换： 简要而精确地介绍范畴论的基本术语。范畴论提供了一种超越具体结构的语言，允许我们在所有代数结构（群、环、模块）之间进行横向比较。 极限与余极限： 介绍积（Product）和上积（Coproduct）的范畴论定义，展示它们如何统一了直积和直和等构造。 伴随函子（Adjoint Functors）： 简要介绍伴随函子的概念，揭示代数结构之间深层次的对偶关系。 --- 本书特色与读者定位 本书的论证风格严谨，力求逻辑的完整性，旨在培养读者进行抽象推理的能力。它避免了对特定数论定理（如费马大定理、二次互反律等）的直接应用，而是专注于提供支撑这些定理的纯代数框架。 目标读者： 本书适合已掌握“基础代数”或“高等数学”中集合论与线性代数基础的本科高年级学生、研究生，以及需要对现代数学结构有深刻理解的研究人员。阅读本书，将使读者能够自信地进入代数几何、拓扑学、表示论及高等数论的前沿领域。

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《Fundamentals of Number Theory》这本书，是我在数论学习道路上遇到的最可靠的伙伴。作者以其深厚的学识和精湛的写作技巧，为我构建了一个清晰而严谨的数论知识体系。从最基础的整除性原理，到深奥的代数数论，作者都给出了详尽的讲解和证明。我特别欣赏书中对二次互反律的论述，作者不仅给出了严谨的数学证明，还详细阐述了其在数论中的重要地位和广泛应用。我曾在一道关于利用二次互反律求解同余方程的习题上，花费了大量的时间进行尝试，最终通过对作者提供的解题步骤进行模仿，才找到了解决问题的关键。这本书不仅仅是一本教科书，更是一本数论的思想宝库，它为我提供了宝贵的启示和灵感，让我对数论的学习充满了信心和热情。

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作为一名数学爱好者，《Fundamentals of Number Theory》这本书为我打开了一扇通往数论世界的大门。作者以其深厚的学养和独特的视角，将数论的精髓娓娓道来。我特别喜欢书中对丢番图方程和代数数论的介绍，它们不仅让我了解了数论在现代数学中的重要地位，更让我感受到了数学的无穷魅力。作者的写作风格非常严谨，但又不失趣味性。他能够将一些非常抽象的概念，用生动形象的比喻来解释，让我在轻松愉快的氛围中掌握知识。我曾在一道关于二次互反律的习题上，反复推敲，最终通过对作者提供的例证进行深入分析，才茅塞顿开。书中大量的习题，不仅能够检验我的学习成果，更能够激发我进行更深入的思考。我记得我曾在一道关于平方和表示的习题上，花了整整一个下午的时间，通过对不同数论函数的性质进行分析，才最终找到了解题思路。这本书真的让我明白，学习数论不仅仅是记忆公式和定理，更重要的是理解它们背后的数学思想和证明逻辑。

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当我第一次拿到《Fundamentals of Number Theory》这本书时，我并没有抱太大的期望，因为我对数论的了解仅限于一些零散的知识。然而，当我翻开这本书，我立刻被深深地吸引住了。作者的叙述风格非常独特，他能够将那些抽象的数论概念，用生动形象的比喻和丰富的实例来解释。例如，在讲解同余关系时，作者用时钟上的时间来类比，让我瞬间理解了模运算的本质。我特别欣赏书中对数论在密码学中的应用的讲解，这让我看到了数学的实用价值和无穷魅力。我曾在一道关于利用模运算进行加密的习题上，花费了大量的时间进行尝试，最终通过对作者提供的加密算法进行深入分析，才找到了解题的思路。这本书不仅仅是一本教科书，更是一部数论的百科全书，它为我提供了关于数论的方方面面知识。

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自从我开始涉足数学研究，《Fundamentals of Number Theory》这本书就成了我案头必备的参考书。它不仅为我提供了坚实的理论基础，更重要的是，它教会了我如何以严谨的数学语言来表达自己的思想。作者的叙述风格非常专业，但又不失亲和力。他能够将一些非常抽象的概念，用清晰的图示和生动的例子来解释，让初学者也能轻松入门。我尤其赞赏书中对群论、环论在数论中的应用的讲解，这让我看到了不同数学分支之间相互联系的魅力。在阅读的过程中，我曾遇到一些复杂的证明，作者总是能够提供多角度的解析，帮助我理解其核心思想。我印象最深刻的是，关于中国剩余定理的证明，作者不仅给出了标准证明，还提供了一个更加直观的构造性证明，让我对这个定理的理解更加透彻。书中的习题设计也非常巧妙，它们涵盖了从基础概念到高级应用的各个层面，能够有效地帮助我巩固所学知识，并培养解决实际问题的能力。我曾在一道关于同余方程组的习题上，花费了大量时间进行尝试，最终通过将问题转化为矩阵形式，找到了高效的解题方法，这完全得益于书中对不同解题技巧的介绍。

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这本书真的是一本让我爱不释手，甚至可以说是“啃”了好几遍的经典之作。当我第一次拿到《Fundamentals of Number Theory》时，它的封面设计并没有什么特别之处，朴实无华，让我一度担心内容会枯燥乏味。然而，翻开第一页，我就被深深吸引住了。作者的叙述方式极其清晰流畅，仿佛一位经验丰富的导师，循循善诱地引导着我对数论这个古老而又充满魅力的领域进行探索。从最基础的整除性、同余关系开始，作者一步步构建起一个严谨而又富有逻辑的体系。书中对每一个定理的证明都详尽入微，不仅给出了严谨的数学推导，还常常穿插着对证明思路的直观解释，这对于我这样初学者来说简直是福音。我尤其欣赏作者在介绍某些概念时，会联系一些实际的应用场景，虽然数论看似抽象，但作者总能巧妙地将其与加密算法、编码理论等现实世界中的问题联系起来，让我感受到数学的实用价值和无穷魅力。而且，书中包含的大量习题，从易到难，循序渐进，让我能够及时检验自己的学习成果，并且在解决问题的过程中不断加深理解。我记得我曾在一道关于二次剩余的习题上卡了好几天，但通过反复阅读相关章节的讲解，并尝试不同的解题思路，最终豁然开朗，那种成就感是无与伦比的。这本书真的不只是一本教科书，更像是我在数论海洋中的一座灯塔，指引我前行的方向，让我对这个学科产生了浓厚的兴趣，甚至开始主动去查阅相关的进阶资料。

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这本书的出现，简直是为我解开了数论学习道路上的诸多困惑。我之前接触过一些数论的零散知识，但总是感觉不成体系，缺乏深入的理解。直到我发现了《Fundamentals of Number Theory》，一切都变得不一样了。作者的笔触非常细腻，他能够将那些看似深奥的数论概念，用一种非常直观易懂的方式呈现出来。例如，在讲解丢番图方程时，作者并没有直接给出复杂的公式，而是先从一些简单的例子入手，然后逐步引导读者理解方程的性质和求解方法。我特别喜欢书中对高斯整数和二次域的介绍，作者花了大量的篇幅来阐述这些概念的起源和发展，以及它们在数论中的重要地位。阅读这些内容，我仿佛穿越回了那个数学家们不断探索未知领域的时代，感受到了智慧的火花。更令人称赞的是，书中对一些重要定理的证明，作者会给出多种不同的证明方法，并对每种方法的优缺点进行比较分析，这极大地拓宽了我的解题思路，也让我对数学的严谨性和多样性有了更深的认识。我曾在一道关于素数分布的习题上，尝试了作者提供的两种证明方法，虽然最后都得到了正确的结果，但它们所展现出的数学思想是截然不同的，让我受益匪浅。这本书不仅仅是传授知识，更是在培养一种数学思维，一种分析问题、解决问题的能力。

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在我的学术生涯中，有无数的书籍对我产生了深远的影响，而《Fundamentals of Number Theory》无疑是其中最杰出的一本。它以其精炼的语言、严谨的逻辑和深厚的理论功底，为我提供了深入研究数论的坚实基础。作者在介绍每一个概念时，都会追溯其历史渊源，并与其他相关概念进行巧妙的联系，这使得我对数论的理解更加全面和深入。我尤其欣赏书中对丢番图方程和代数数论的深入探讨，它们不仅展示了数论的理论深度，更揭示了其在现代数学中的重要地位。书中对一些著名猜想的介绍，如哥德巴赫猜想和孪生素数猜想，也激发了我对数学研究的浓厚兴趣。我曾在一道关于丢番图方程求解的习题上，花费了大量的时间进行尝试，最终通过对作者提供的各种解题方法的深入理解，才找到了突破口。这本书不仅仅是一本教科书，更是一部数学思想的宝库，它为我提供了宝贵的启示和灵感。

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我一直对数学充满敬畏，尤其是像数论这样看似简单却又暗藏玄机的学科。《Fundamentals of Number Theory》这本书，以其严谨的逻辑和清晰的结构，让我对数论产生了前所未有的亲近感。作者在内容编排上别具匠心，从基础的整除性原理，到深入的模运算，再到对丢番图方程的探索，每一个章节都如同精心打磨的宝石，闪耀着智慧的光芒。我特别欣赏书中对数论历史的回顾，作者巧妙地将伟大的数学家们，如欧几里得、费马、高斯等人的贡献融入到讲解中，让我了解到数论并非凭空产生，而是人类智慧不断累积的结晶。在阅读过程中，我常常被书中精妙的证明所折服，它们如同艺术品一般，简洁而有力。例如，关于算术基本定理的证明，作者用了一种我之前从未想过的方式，让我对这个基本定理有了全新的认识。书中提供的习题质量极高，它们不仅能够检验我对知识的掌握程度，更能够激发我进行更深入的思考。我记得我曾在一道关于费马小定理的应用题上，苦思冥想了许久，最终通过反复演算和逻辑推理，找到了解题的关键，那种克服困难后的喜悦，至今仍记忆犹新。这本书让我明白了，学习数论不仅仅是记忆公式和定理，更重要的是理解它们背后的数学思想和证明逻辑。

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《Fundamentals of Number Theory》这本书，就像一位循循善诱的良师益友，指引我一步步走进了数论的奇妙世界。我一直对数字和它们之间的关系充满了好奇，而这本书，恰好满足了我对这方面知识的渴望。作者的叙述风格非常平易近人，他能够将那些晦涩难懂的数论概念，用通俗易懂的语言解释清楚。例如，在讲解费马小定理时，作者并没有直接给出公式，而是先从一些具体的例子入手，然后逐步引导读者发现其中的规律。我特别喜欢书中对素数分布的探讨，作者通过大量的图表和数据，生动地展示了素数的神秘和无规律性。我曾在一道关于寻找素数分布规律的习题上，花费了大量的时间进行尝试，最终通过对作者提供的分析方法进行借鉴，才找到了解决问题的思路。这本书不仅让我掌握了数论的知识，更重要的是，它让我对数学产生了浓厚的兴趣，甚至开始主动去探索其他相关的数学领域。

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《Fundamentals of Number Theory》这本书，对我来说，简直是数论学习的一座里程碑。我曾尝试过其他数论书籍，但都因为内容过于晦涩或缺乏系统性而半途而废。而这本书，以其清晰的逻辑、严谨的推导和丰富的实例，彻底改变了我对数论的看法。作者的叙述方式非常注重启发性，他不会直接给出结论，而是通过一系列的问题和引导，让读者自己去发现规律，去理解概念。例如，在介绍素数定理时，作者并没有直接给出公式，而是先从一些数值证据入手，然后逐步引导读者理解其含义和重要性。我特别欣赏书中对同余理论的详细阐述，从基础的模运算到更高级的中国剩余定理，作者都给出了非常详尽的解释和证明。我曾在一道关于利用同余方程求解实际问题的习题上，反复演算，最终通过对作者提供的解题思路进行类比，才找到了解决问题的关键。这本书不仅让我掌握了数论的知识，更重要的是，它培养了我独立思考和解决问题的能力。

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