高等数学及其应用（下册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学

作者:熊德之

出品人:

页数:370

译者:

出版时间:2007-6

价格:32.80元

装帧:

isbn号码:9787030188700

丛书系列:

图书标签:

• 高等数学
• 数学
• 应用数学
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• 函数
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• 解析几何
• 级数

高等数学及其应用（下册） 开启微积分的深邃殿堂，探索多元世界的广阔图景 《高等数学及其应用（下册）》是继上册学习奠定的坚实基础之后，一次更为深入和全面的数学探索之旅。本书将带领读者在微积分的宏伟体系中继续前行，不仅触及积分学的核心精髓，更将目光投向多维空间的奇妙世界。通过严谨的理论阐述、丰富的应用实例以及精选的练习题，本书旨在培养读者分析问题、解决问题的数学思维能力，为后续的专业学习和科学研究打下坚实而宽广的数学基石。 第一部分：积分学的新境界——从定积分到多重积分 本书的开篇，我们将目光聚焦于积分学的发展。在上册中，我们已经熟悉了不定积分，了解了它作为微分运算逆运算的本质。在下册中，我们将深入探究定积分，并进一步拓展其应用。 第一章 定积分及其应用 定积分的定义与性质： 我们将从黎曼和的直观概念出发，严谨地定义定积分，并深入剖析其各项基本性质，例如线性性质、区间可加性、单调性等。这些性质不仅是后续计算和理论推导的基础，更能帮助我们理解定积分在几何和物理问题中的意义。 牛顿-莱布尼茨公式： 作为定积分计算的核心工具，牛顿-莱布尼茨公式将得到详尽的阐述。我们将通过丰富的例子，演示如何运用这一公式巧 妙地计算各种复杂函数的定积分，并深刻理解其背后微积分基本定理的强大力量。 定积分在几何中的应用： 定积分最直观的应用之一体现在几何度量上。本章将详细讲解如何利用定积分计算平面图形的面积，包括曲线下的面积、两曲线之间的面积。我们将探索曲线的弧长计算，以及旋转体体积的求解，例如圆盘法、圆环法和旋转体体积的横截面法。这些内容将帮助读者将抽象的数学概念与具体的几何形状建立起深刻的联系。 定积分在物理中的应用： 数学是描述自然规律的语言。本章将展示定积分在物理学中的广泛应用。我们将学习如何计算变力做功，例如弹簧弹力做功、变力沿曲线运动做功。质量分布不均物体的质心计算、压力随深度变化的液体压强和总压力计算，都将通过定积分的框架得以解决。此外，我们还将触及变速率运动的路程计算以及其他物理量（如平均速度、平均速率）的求解。 第二章 不定积分的技巧与反常积分 不定积分的技巧： 虽然不定积分在上册已有介绍，但本章将进一步深化其计算技巧。我们将系统梳理和讲解换元积分法（第一类和第二类换元法）以及分部积分法，并通过大量的例题示范，帮助读者掌握这些强大的积分计算工具。对于一些特殊形式的积分，如三角有理函数的积分、简单有理函数的积分，我们将介绍系统性的积分方法。 反常积分： 传统的定积分是在有限区间上进行的。本章将引入反常积分的概念，即积分区间无限或者被积函数在积分区间内有无穷间断点的积分。我们将学习反常积分的收敛与发散的判断方法，并探讨其在概率论、级数理论等领域的应用。 第三章 数列与级数 数列的收敛性： 从数的序列出发，我们将深入研究数列的概念，并重点探讨其收敛性。我们将学习判断数列收敛性的各种方法，包括夹逼准则、单调有界定理，以及利用极限的定义来证明数列的收敛性。 级数的概念与审敛法： 数列的求和引出了级数的概念。我们将定义级数，并区分几何级数和幂级数。本章的核心将是级数的审敛法。我们将系统介绍正项级数的比较判别法、比值判别法、根值判别法；交错级数的莱布尼茨判别法；以及一般的比值判别法和根值判别法，这些方法是判断级数是否收敛的关键。 幂级数及其应用： 幂级数是数学分析中非常重要的一类函数表达形式。我们将学习幂级数的收敛域和收敛半径的求解。更重要的是，我们将深入研究幂级数与函数的恒等关系，并重点阐述泰勒公式和麦克劳林公式。这些公式是函数展开成幂级数的基础，也是近似计算和理论研究的有力工具。我们将展示如何利用泰勒展开式来近似计算函数值、积分，以及求解微分方程。 第二部分：多元函数的奥秘——从几何空间到抽象映射 在掌握了单变量微积分的精髓后，本书将带领读者进入更加广阔和复杂的多元函数世界。这里，我们将在三维乃至更高维度的空间中进行探索。 第四章 多元函数微分学 多元函数的概念与几何意义： 我们将从多元函数的定义开始，了解二元函数在三维空间中的几何表示——曲面。我们将介绍多元函数的极限和连续性，并探讨它们与单变量函数的区别与联系。 偏导数与方向导数： 偏导数是研究多元函数变化率的核心概念，它描述了函数沿着坐标轴方向的变化率。我们将学习偏导数的计算方法，并深入理解其几何意义。随后，我们将引入方向导数，它能够刻画函数在任意方向上的变化率，这为我们研究函数在空间中的精细变化提供了更全面的视角。 全微分与高阶偏导数： 全微分是描述多元函数在某一点附近整体变化的线性近似。我们将学习全微分的计算，并探讨其与偏导数的关系。此外，本章还将介绍高阶偏导数，例如二阶偏导数，以及它们在函数性质分析中的作用。 多元函数微分学的应用： 多元函数微分学在解决实际问题中扮演着至关重要的角色。我们将学习如何利用偏导数来求解极值问题，包括局部极值和全局极值，并介绍拉格朗日乘数法，这是一种用于求解带约束条件的极值问题的强大方法。我们还将探索隐函数定理和反函数定理，它们是研究复杂函数关系的重要理论基础。 第五章 多元函数积分学 二重积分的概念与计算： 二重积分是对二维区域上的函数进行积分，它在几何上可以表示体积。我们将学习二重积分的定义，并通过累次积分的方法进行计算。本章将详细讲解如何根据积分区域的形状选择合适的积分次序，并处理各种类型的积分区域。 二重积分的换元法： 类似于单变量函数的积分，二重积分也存在换元法，以简化积分计算。我们将重点介绍极坐标变换，它在处理圆形或扇形区域的积分时尤为有效。 二重积分在几何与物理中的应用： 二重积分的几何应用包括计算平面区域的面积、曲面的面积以及立体体积。在物理学中，它被广泛应用于计算物体的质量、质心、转动惯量以及引力场中的势能等。 三重积分及其应用： 随着维度的提升，我们引入三重积分。三重积分是对三维区域上的函数进行积分，它在几何上可以表示四维超体积（当被积函数为1时，代表体积），更重要的是，它用于描述三维空间中的物理量。我们将学习三重积分的计算，包括累次积分和坐标变换（如球坐标、柱坐标）。三重积分在物理学中有着广泛的应用，例如计算三维物体的质量、质心、转动惯量，以及求解连续介质力学中的问题。 第六章 向量分析与场论初步 向量场： 在物理学和工程学中，向量场是描述空间中各点具有向量性质的函数。我们将介绍向量场的概念，例如速度场、力场等。 散度与旋度： 散度是描述向量场在某一点的“源”或“汇”的强度，它与流体散失或汇集的速度有关。旋度则描述了向量场在某一点的“旋转”程度，与流体的涡旋运动有关。我们将学习散度和旋度的计算方法，并理解它们在流体力学、电磁学等领域中的物理意义。 梯度： 梯度是标量场（一个点只有一个数值的场）变化最快的方向和变化率。它与偏导数密切相关，并且是联系标量场和向量场的桥梁。 线积分与面积分： 线积分是对曲线上的函数进行积分，可以用于计算变力沿曲线做功、质点沿曲线运动的路程等。面积分是对曲面上的函数进行积分，可以用于计算通过曲面的流量、曲面上的质量等。 格林公式、高斯公式与斯托克斯公式： 本章的压轴部分将介绍三大积分定理：格林公式（连接平面区域上的二重积分与闭合曲线上的线积分）、高斯公式（散度定理）（连接空间区域上的三重积分与封闭曲面上的面积分）和斯托克斯公式（连接曲面上的面积分与曲面边界曲线上的线积分）。这些定理是向量分析的核心，它们将不同类型的积分联系起来，极大地简化了许多复杂问题的计算，并在物理学和工程学中有着极其重要的理论和应用价值。 学习建议与本书特色 《高等数学及其应用（下册）》的编写始终贯穿着“理论与实践相结合”的理念。本书不仅提供了扎实的理论基础，更通过大量的例题和应用场景，展示了高等数学在解决实际问题中的强大能力。 夯实理论基础： 每一章节的开始都从基础概念出发，层层深入，直至核心定理的推导和证明。严谨的数学语言和逻辑是理解高等数学的关键。 丰富例题展示： 书中精选了各类典型例题，涵盖了从基本计算到复杂应用的各个层面。通过对例题的分析和学习，读者可以掌握解题的思路和技巧。 精心设计的习题： 每章末尾都配有不同难度和类型的习题，旨在帮助读者巩固所学知识，检验学习效果，并进一步拓展思维。 强调应用价值： 在介绍每一个数学概念或工具时，都尽可能地联系其在物理、工程、经济等领域的实际应用，让读者深刻体会到数学的魅力和实用性。 本书适合高等院校理工科类专业的学生学习，也可作为相关领域研究人员和工程技术人员的参考书。通过对本书的学习，读者将能够熟练运用多元函数的微分和积分工具，分析和解决复杂的数学问题，为未来的学习和工作打下坚实的基础，并在科学探索的道路上迈出更加自信的步伐。

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