具体描述
An elementary text that can be understood by anyone with a background in high school geometry, this text focuses on the problems inherent to coloring maps, homeomorphism, applications of Descartes' theorem, and topological polygons. Considerations of the topological classification of closed surfaces cover elementary operations, use of normal forms of polyhedra, more. Includes 108 figures. 1967 edition.
好的，这是一本关于拓扑学中代数拓扑分支的专著的详细图书简介，聚焦于同调理论和同伦理论的基础概念，旨在为研究生和高年级本科生提供一个严谨而清晰的入门。 --- 拓扑学中的结构：代数方法导论 作者： [此处留空，以模拟专业书籍的格式] ISBN： [此处留空] 出版商： [此处留空] 导言：几何的量化与不变性 本书旨在系统地介绍代数拓扑学的核心概念和工具，这是一门利用代数结构——特别是群、环和模——来研究拓扑空间性质的数学分支。拓扑学关注的是在连续形变下保持不变的性质，而代数拓扑学的根本目标是将这些几何直觉转化为可以精确计算和操纵的代数不变量。本书着重于从最基础的视角，深入探讨同调论和同伦论两大支柱。 我们相信，理解拓扑空间的“洞”和“连通性”的最佳途径，是通过构建能够对这些特征进行量化的代数结构。本书的叙述力求严谨，同时兼顾直观的几何动机，确保读者能够从具体的例子中逐步过渡到抽象的理论框架。 第一部分：基础与预备知识 本书的开篇部分回顾了必要的拓扑学基础知识，包括一般拓扑空间、连续映射、紧致性、连通性以及基本概念如连续形变和形变收缩（deformation retraction）。随后，我们引入了构建代数不变量的必要工具： 范畴论的初步接触： 我们将简要介绍范畴、函子以及自然变换的概念，这对于理解同调和同伦构造如何将拓扑信息“翻译”成代数对象至关重要。 链复形与链同调： 这是后续所有构造的基石。我们将详细介绍链复形的概念，特别是边界算子（boundary operators）的性质，以及如何定义同调群 $H_n(C_ullet)$。我们强调，同调群捕捉了链复形中“循环”（cycles）与“边界”（boundaries）之间的关系，这在几何上对应于空间的“洞”。 第二部分：基本同调理论——奇异同调 本部分是全书的中心，致力于构建和分析奇异同调群（Singular Homology Groups），这是研究拓扑空间结构最强大和最通用的工具之一。 奇异单纯形与链群： 我们精确定义了奇异 $n$-单形 $sigma: Delta^n o X$ 及其线性组合构成的链群 $C_n(X)$。通过严谨的定义，我们展示了链复形 $C_ullet(X)$ 的存在性。 同调群的构造与性质： 奇异同调群 $H_n(X)$ 的构造基于边界算子的核与像，即 $H_n(X) = ext{Ker}(partial_n) / ext{Im}(partial_{n+1})$。我们将详细证明这些群是拓扑空间 $X$ 的不变量，这意味着任何拓扑等价的映射都会诱导出同构的同调映射。 基本定理的证明： 1. 同伦不变性： 我们将详细证明如果两个映射是同伦的，它们诱导的同调映射是相同的。这是代数拓扑的核心保证。 2. 迈耶-维托里斯序列（Mayer-Vietoris Sequence）： 作为一个强大的计算工具，我们将使用其定义和性质来演示如何将复杂空间的同调分解为子空间的同调。我们将用这个序列计算球面 $S^n$ 的同调群，以及楔乘（wedge sums）和纽结（knots）的同调。 3. 相对同调： 引入相对链群 $C_ullet(X, A)$ 和相对同调群 $H_n(X, A)$，这对于处理“带边界的空间”和截断空间至关重要。 系数域的扩展： 我们探讨了利用不同的系数域（如 $mathbb{Z}_p$）进行计算的重要性，并简要介绍了张量积和 $ ext{Ext}$ 函子在处理非自由阿贝尔群同调时的作用。 第三部分：同伦理论的开端 在完成对同调这一“线性”不变量的系统研究后，本书转向了对拓扑空间“非线性”结构——同伦群的探讨。 基本群（Fundamental Group）： 作为零阶同伦群的推广，我们将详细介绍基本群 $pi_1(X, x_0)$。我们定义路径、路径乘法和同伦的严格概念。 1. 计算实例： 我们将计算 $mathbb{R}^n$ 和圆周 $S^1$ 的基本群，并展示 $pi_1(S^1) cong mathbb{Z}$ 的经典证明（利用覆叠空间理论或利用群论中的生成元和关系）。 2. 伴随同态： 我们展示如何从一个映射 $f: X o Y$ 导出 $pi_1(X) o pi_1(Y)$ 的同态，并讨论其与同调群的联系（欧拉示性数的微小体现）。 高阶同伦群： 接着引入高阶同伦群 $pi_n(X, x_0)$ 的定义，这些群是利用 $n$-球面 $S^n$ 到 $X$ 的映射来定义的。 缝合与连接： 我们将讨论高阶同伦群的阿贝尔性质，并引入Hurewicz同态，这是一个将同伦信息映射到同调信息的桥梁： $$h: pi_n(X) o H_n(X; mathbb{Z})$$ 本书将证明 Hurewicz 定理的初级形式，阐明在某些条件下（例如当所有较低阶同伦群为零时），第一个非零的同伦群与其对应的同调群之间的关系。 第四部分：构造性方法与应用 为了补充理论框架，本书最后探讨了两种重要的构造性拓扑工具：细胞同调和覆盖空间。 细胞链复形： 对于由有限个细胞（如立方体或球壳）粘合而成的空间（CW复形），奇异同调的计算极其复杂。我们引入细胞链复形 $C_ullet(X; R)$，这是一个更易于处理的链复形，并证明了在系数域 $R$ 下，细胞同调群同构于奇异同调群，极大地简化了计算。我们将用此方法精确计算环面 $T^2$ 和射影平面 $mathbb{RP}^2$ 的同调群。 覆盖空间与基本群： 覆盖空间理论提供了理解基本群的强大几何视角。我们将定义局部常域和覆叠映射，并利用这些概念来更深入地理解基本群的结构，例如，如何通过选择不同的提升路径来生成不同的基本群元素。 结论与展望 本书提供了一个坚实的基础，使读者能够独立掌握代数拓扑学的核心计算技巧和理论框架。通过对同调和同伦的深入剖析，读者将获得一套强大的数学工具，用于识别和区分拓扑空间。后续的研究方向，如谱序列、纤维丛、特征类或更高级的代数 K 理论，均可在此基础上进一步探索。本书旨在培养读者将复杂的几何问题转化为可操作的代数问题的能力。 目标读者： 拓扑学研究生、数学系高年级本科生，以及任何需要严谨代数工具来解决几何问题的研究人员。 ---
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