The Theory of Matrices in Numerical Analysis (Dover Books on Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:Alston S. Householder

出品人:

页数:257

译者:

出版时间:2006-01-20

价格:USD 14.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486449722

丛书系列:

图书标签:

• 矩阵理论
• 数值分析
• 线性代数
• Dover Books on Mathematics
• 数学
• 科学计算
• 工程数学
• 应用数学
• 高等教育
• 数学教材

深度解析：数值分析中矩阵理论的基石与前沿（Dover 数学经典系列） 本书聚焦于线性代数在数值计算领域的核心地位，深入剖析了在实际应用中处理大型矩阵问题所需的理论框架、稳定算法以及现代计算方法。 它并非重复介绍基础的线性代数概念，而是将重点放在如何将抽象的矩阵理论转化为可靠、高效的数值解法上，是为致力于高性能计算、科学建模及工程仿真领域的读者量身打造的进阶参考书。 本书的结构设计旨在系统地构建读者对数值线性代数（Numerical Linear Algebra）的深刻理解。它首先建立了一个坚实的理论基础，讨论了矩阵的性质在数值稳定性中的关键作用，随后迅速过渡到实际计算中最为关键的主题。 第一部分：基础理论与稳定性分析 本卷首先回顾并深化了对矩阵范数、特征值分解和奇异值分解（SVD）的理解，但其核心在于将这些理论工具应用于数值误差分析。 矩阵的条件数与敏感性： 详细阐述了矩阵条件数的定义、计算方法及其在确定线性系统解的敏感性方面的决定性作用。读者将学习如何通过分析条件数来预测在有限精度算术下解的可靠性。针对病态（ill-conditioned）矩阵，本书探讨了稳定求解策略的必要性。 算术误差的传播： 细致地分析了浮点运算（IEEE 754标准）如何影响矩阵运算的精度。讨论了前向误差（forward error）和后向误差（backward error）的概念，并引入了矩阵扰动理论来量化计算过程中误差的增长机制。这部分内容是理解所有数值算法稳定性的基石。 矩阵的分解与计算可行性： 重点讨论了在数值计算中，为何某些分解方法（如LU分解）是首选，而其他纯粹理论上等效的方法却可能因数值不稳定性而被舍弃。 第二部分：线性方程组的求解（Direct Methods） 本部分是数值分析的传统核心，但本书以现代计算架构的需求为导向，深入探讨了直接求解方法的实现细节和性能优化。 高斯消元法的数值考量： 详细分析了标准高斯消元法在实际应用中的局限性，特别是主元选择（Pivoting）的必要性。系统地介绍了部分选主元（Partial Pivoting）和完全选主元（Full Pivoting）的算法步骤、几何解释以及它们在保证稳定性和防止除以零方面的作用。 矩阵分解的应用： 深入讲解了LU分解、Cholesky分解（针对对称正定系统）和Householder反射与Givens旋转（作为构建正交矩阵的基础）。本书不仅展示了这些分解的代数构造，更侧重于它们的计算复杂度、存储需求以及在求解具有特定稀疏性或结构（如带状矩阵）的系统中的优化技巧。 稀疏线性系统的直接解法： 鉴于现代工程和科学问题中矩阵多为稀疏的，本书专门讨论了如何利用矩阵的零结构来最小化填充因子（fill-in），并介绍了诸如Markowitz准则等用于优化稀疏LU分解顺序的启发式算法。 第三部分：最小二乘问题与迭代方法 本部分涵盖了超定系统（underdetermined and overdetermined systems）的处理，以及解决大型、通常是稀疏矩阵系统的关键迭代技术。 最小二乘问题的数值解法： 详细对比了三种主要的数值方法： 1. 正规方程组法 (Normal Equations)： 分析其在计算效率和稳定性方面的权衡。 2. QR分解法： 强调Householder和Givens方法在求解最小二乘问题中的优越数值稳定性，并将其与SVD方法进行比较。 3. 奇异值分解（SVD）在低秩近似与伪逆计算中的应用： 探讨如何使用SVD来处理秩亏缺（rank-deficient）或接近秩亏缺的最小二乘问题。 迭代求解器理论： 面对现代计算中无法用直接方法存储或计算的巨型矩阵，迭代方法成为必需。本书系统地介绍了收敛性理论，并专注于以下关键家族： 经典迭代法： 雅可比（Jacobi）法、高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）法及其超松弛（SOR）变体。重点分析其收敛条件和收敛速率。 Krylov 子空间方法： 这是现代数值分析的核心。深入剖析共轭梯度法 (CG) 针对对称正定系统的有效性，并详细阐述了如何将该思想推广到非对称系统，如GMRES（广义最小残量法）和双共轭梯度法 (BiCGSTAB)。本书强调了预处理技术（Preconditioning）在加速这些迭代过程中的决定性作用。 第四部分：特征值问题的数值解法 特征值计算在结构动力学、量子化学和数据分析中至关重要。本书聚焦于如何可靠地计算矩阵的特征值和特征向量。 相似性变换与矩阵上三角化： 阐述了如何通过正交相似变换（如Householder或Givens）将一般矩阵转化为Hessenberg形式，这是高效计算特征值的第一步。 QR算法的精髓： 详细推导和分析了QR算法（含Shifts策略），这是计算所有特征值的标准“黄金”算法。探讨了隐式 QR 算法（Implicit QR Algorithm）如何避免显式地构造QR分解，从而提高计算效率。 Lanczos 和 Arnoldi 算法： 针对大规模、通常是稀疏矩阵，本书介绍了Lanczos 迭代（用于对称矩阵）和更通用的Arnoldi 迭代。重点在于如何利用这些方法，通过构建低维次的Krylov子空间来近似求解问题中最大的几个特征值（寻找“极值”特征值），这是解决大型特征值问题的主要途径。 结语 本书提供了一个连接纯数学理论与实际高性能计算挑战的桥梁。它要求读者具备扎实的线性代数基础，旨在培养读者设计、分析和实现稳定、高效的矩阵计算算法的能力。书中的论证严谨，侧重于算法的数值鲁棒性分析，是从事计算科学、工程建模、数据科学底层算法开发人员的必备工具书。

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