具体描述
After introducing permutation notation and defining group, the author discusses the simpler properties of group that are independent of their modes of representation; composition-series of groups; isomorphism of a group with itself; Abelian groups; groups whose orders are the powers of primes; Sylow's theorem; more. 18 illustrations. A classic introduction.
现代数学中的群论基础：代数结构的严谨探索 （Book Title Placeholder: Modern Foundations of Group Theory: A Rigorous Exploration of Algebraic Structures） 简介 本书旨在为读者提供一个全面、深入且严谨的现代群论视角。它超越了仅限于有限阶群的经典范畴，将焦点置于代数结构的一般性、无限群的复杂性，以及群论在当代数学和理论物理学中的广泛应用。我们致力于构建一个清晰的逻辑框架，引导读者从最基础的集合论概念出发，逐步攀登至抽象代数的核心领域。 本书的结构设计旨在实现理论的深度与广度的平衡。我们不满足于简单的定义和定理陈述，而是深入剖析概念背后的数学直觉与结构原理，同时辅以大量精心挑选的例题和习题，以巩固读者的理解并激发其独立思考的能力。 --- 第一部分：群论的基石与基础结构 本部分奠定了理解所有后续高级主题的基础。我们从集合论和二元运算的严格定义出发，引入了“群”这一核心概念，并详细考察了其最基本的性质。 第一章：预备知识与代数结构导论 集合、映射与二元运算的严谨性： 回顾必要的集合论工具，特别是函数（映射）的性质——单射、满射、双射，以及它们在构造代数结构中的作用。 代数结构的原型： 引入半群、独异点，最终给出群的公理化定义。严格区分了结合律、单位元和逆元的必要性。 等价关系与商集的构建： 对等价关系进行深入探讨，特别是如何利用它来构造新的代数结构，为后续的同态和商群概念做铺垫。 第二章：子群、陪集与拉格朗日定理的普适性 本章的核心是对群内部子结构的分析。我们着重于子群的概念及其在确定群阶数方面的决定性作用。 子群的判定与性质： 系统性地介绍检验子集的标准，以及中心、正规化子等重要相关概念。 陪集的几何直觉与代数意义： 详细阐述左陪集与右陪集的构造，证明它们构成群的划分（Partition）。 拉格朗日定理的现代阐释： 证明拉格朗日定理，并讨论其在有限群理论中的里程碑意义。我们还将探讨其在无限群中对应的概念（如指数）。 环与域的初步接触（作为对比）： 简要介绍环与域的结构，以凸显群作为最“简单”代数结构的重要性，同时为后续引入子环、子域和理想做铺垫。 --- 第二部分：同态、同构与规范结构 本部分是群论从具体实例走向抽象理论的关键转折点。我们关注的是结构之间的关系——即保持运算性质的映射。 第三章：群同态与同构 同态的定义与性质： 严格定义群同态，并系统推导其在核（Kernel）和像（Image）上的性质。特别强调核是正规子群，像是子群的深刻联系。 同构的意义： 定义同构，阐明同构在数学中的本质——“结构上的不可区分性”。介绍判别两个群是否同构的关键工具。 特征子群与特征性： 讨论不依赖于特定生成元的性质，如中心、导群等，并引入特征子群的概念。 第四章：规范子群、商群与第一同构定理 本章将“规范性”（Normalcy）提升到核心地位，并引入构造新群的最有力工具——商群。 规范子群的充要条件： 详细论证 $gHg^{-1} = H$ 与左陪集等于右陪集的等价性，并举例说明非规范子群的构造。 商群（Factor Groups）的构建： 定义商群 $ ext{G/N}$，并严格证明其上的二元运算良定义。强调商群是“模去规范子群”后剩下的结构。 同构定理家族： 重点证明并应用第一同构定理（或称基本同构定理），展示了 $ ext{G}/ ext{Ker}(phi) cong ext{Im}(phi)$ 的强大威力。同时，简要介绍第二、第三同构定理和吸收定理，展示它们如何解决子群与商群之间的复杂关系。 --- 第三部分：生成、分类与内部结构 本部分深入探索如何通过生成元来描述群，并开始对群的内部构造进行细致分类。 第五章：生成集、循环群与自由群 循环群的完备分类： 证明所有循环群都同构于 $mathbb{Z}$ 或 $mathbb{Z}_n$。深入分析循环群的子群结构。 生成集与关系式： 引入用生成元和关系式来定义群（演示性地，为更严格的自由群做准备）。 自由群的构造与普遍性质： 介绍自由群 $F(S)$ 的构造，特别是其作为“不带任何额外限制”的群的地位。 第六章：直积与半直积 本章关注如何将两个或多个已知的群结构“粘合”起来形成新的群。 内部直积与外部直积： 区分内部直积（群内部由两个规范子群的乘积构成）和外部直积（集合论上的笛卡尔积加上特殊运算）。 半直积的引入与构造： 解释半直积作为外部直积的推广，它允许一个子群“作用”于另一个子群。通过具体的例子（如二面体群 $D_n$ 的构造）来阐明其重要性。 --- 第四部分：有限群的结构分解（超越有限阶的范畴） 虽然本书不局限于有限阶群，但理解有限群的分类和分解是理解代数结构复杂性的关键一步。 第七章：Sylow定理及其在有限群分类中的地位 p-群的性质： 讨论p-群的中心非平凡性，以及它们作为研究有限群的“基本构件”的作用。 Sylow子群的存在性证明： 详细而清晰地证明Sylow第一定理——对于任意素数 $p$，群 $G$ 存在 $p$-Sylow子群。 Sylow定理的推论与应用： 阐述Sylow第二和第三定理，并展示如何利用这些定理来确定小阶群（如阶数为 $p^a q^b$ 的群）的结构，以及如何判断一个群是否是Abel群。 第八章：可解群与单群 导群与可解群： 定义导群 $G'$，并引入可解群（Solvable Groups）的概念。讨论Jordan-Hölder定理在有限可解群结构分解中的核心地位。 单群的定义与意义： 介绍单群（Simple Groups）——除了平凡群和自身之外没有规范子群的群。强调它们是乘法群的“原子”。 有限单群分类的概述： 简要介绍庞大而深奥的有限单群分类定理（Classification of Finite Simple Groups, CFSG），指出四大类结构：循环群、交错群、有限群，以及Monster群等离散异常群。 --- 第五部分：无限群与表示论的门槛 本部分将视野拓宽到无限群，并引入群论在其他数学分支中的关键工具——表示论。 第九章：无限群的例子与挑战 自由阿贝尔群与扭曲群： 介绍自由阿贝尔群的结构，并探讨扭曲（Torsion）概念在无限群中的重要性。 Coxeter群与几何联系： 简要介绍如何利用反射群（如Coxeter群）来构造具有特定几何或组合性质的无限群。 群的完备性与紧群： 介绍拓扑群的基本概念，如紧群和本地紧群，为泛函分析中的应用打下基础。 第十章：群表示论导论 表示法的核心思想： 将抽象的群运算转化为在线性空间上的矩阵运算（线性变换）。 表示的性质： 定义等价表示、可约表示和不可约表示。 特征标理论的初步介绍： 阐述特征标（Character）如何作为研究群结构的一种代数工具，以及它们在区分同构群中的作用。 --- 目标读者： 本书面向高等数学专业的本科生高年级、研究生，以及希望系统而深入地学习代数结构理论的数学、理论物理学和计算机科学（代数编码、密码学）领域的研究人员。 本书特点： 1. 严谨的证明： 所有核心定理都提供完整的、可追溯的证明。 2. 结构驱动： 强调群结构之间的关系和如何从更简单的结构构建更复杂的结构。 3. 超越经典： 避免将内容局限于有限阶群，确保读者对现代群论有全面的认识。 4. 丰富的习题集： 每章末尾提供难度递进的练习题，旨在训练读者的理论应用和抽象思维能力。
作者简介
目录信息
读后感
评分
评分
评分
评分
评分
用户评价
评分
评分
评分
评分
评分
相关图书
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2026 book.wenda123.org All Rights Reserved. 图书目录大全 版权所有