A Course in Computational Algebraic Number Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Henri Cohen

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1993-09

价格:USD 89.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387556406

丛书系列:

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• 计算代数数论
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《计算代数数论导论》—— 探索数学深邃逻辑的实践指南 在数学的宏伟殿堂中，代数数论无疑是其中一颗璀璨的明珠。它将抽象的代数结构与数论中的古老谜题巧妙地融为一体，开启了一个充满挑战与发现的领域。本书，《计算代数数论导论》，正是旨在引领读者踏入这一迷人世界的实践之旅，重点在于揭示其核心概念的计算层面，并提供理解和运用这些概念所需的工具。 我们所熟知的整数，仅仅是数论研究的起点。代数数论则将目光投向了更广阔的领域——代数数域。这些域是由有理数域通过添加代数数（即整系数多项式的根）而生成的。例如，高斯整数环 $mathbb{Z}[i]$，即形如 $a+bi$ （其中 $a, b$ 是整数，$i^2 = -1$）的数，便构成了一个重要的代数数域。代数数域的研究，极大地拓展了我们对“数”的理解，并引入了许多新颖而深刻的现象。 然而，代数数论的魅力远不止于理论构建。本书的核心关注点在于“计算”。理论的精妙固然引人入胜，但缺乏有效的计算方法，许多深刻的性质将难以被揭示和验证。因此，《计算代数数论导论》将深入探讨如何对代数数域中的对象进行有效的计算。这涉及到诸如计算代数整数环的基、判断一个素数在代数数域中的分裂行为、计算理想的范数、寻找代数整数的单位等一系列基本而关键的问题。 本书将带领读者认识一系列核心的计算工具和算法。我们将从最基本的代数数域开始，逐步深入到更复杂的结构。对于任何一个给定的代数数域，我们都需要找到一种系统的方法来表示和操作其中的元素。这通常涉及找到代数整数环的一个 $mathbb{Z}$-基，也就是说，找到一组代数整数，使得环中的任何一个代数整数都可以唯一地表示为这组代数整数的线性组合，系数为整数。这个基的选取，是进行后续计算的基础。 一旦我们有了代数整数环的基，我们就可以开始研究域中的理想。在代数数论中，理想扮演着与素数在整数环中相似的角色，它们是理解域结构的关键。我们将学习如何表示理想，如何进行理想的乘法，以及如何计算理想的范数。理想的因子分解，即将其分解为素理想的乘积，是代数数论中一个非常重要的问题，其计算涉及到对域中素数分裂行为的深入理解。 素数在代数数域中的分裂行为，是代数数论中最迷人的现象之一。一个在有理数域中的素数 $p$，在代数数域中可能保持不变（惰性），也可能分裂成几个素理想，甚至可能分裂成一些非常特殊的素理想（如完全分裂）。研究这种分裂行为，不仅能揭示代数数域的内部结构，还能与数论中的一些经典问题（如二次互反律的推广）建立联系。本书将介绍用于确定素数分裂行为的判别式和理想分解的算法。 此外，代数数域中的单位群，即域中可逆元的集合，是另一个至关重要的研究对象。根据狄利克雷单位定理，在一个代数数域的整数环中，单位群的结构是相当“规整”的。我们将学习如何计算单位群的生成元，以及如何利用这些单位来研究域中的其他性质。单位的计算，在密码学等领域有着直接的应用。 为了实现这些计算，本书将介绍一系列的算法，并可能辅以对现有计算代数数论软件（如PARI/GP、Magma）的介绍。这些软件为研究者提供了强大的工具，使得以往只能在理论层面讨论的问题，现在可以通过实际计算来探索。本书的编写，并非仅仅是罗列算法，而是力求将算法置于具体的数学背景之下，解释其背后的原理和逻辑，以及它们在解决代数数论问题中的作用。 《计算代数数论导论》适合那些对抽象数学有浓厚兴趣，并希望深入理解其计算实现的学生和研究人员。无论你是对数论的深刻性质感到好奇，还是对在密码学、编码理论等应用领域中代数数论的工具感兴趣，本书都将为你提供坚实的基础和必要的计算能力。通过本书的学习，你将不仅能够理解代数数论的核心概念，更能够亲手运用计算工具去探索其无穷的奥秘。

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我是一名在数值分析领域摸爬滚打了多年的工程师，接触过不少偏理论的著作，但大多在实际应用的可操作性上有所欠缺。然而，这本书在这方面的处理方式堪称典范。它并没有停留在纯粹的抽象代数层面，而是紧密结合了计算机实现的视角，很多章节后面附带的“算法注解”部分，简直是我的救星。例如，在处理高精度算术和多项式环运算时，作者没有采用过于晦涩的伪代码，而是用一种清晰、模块化的思路，将理论转化为可直接在主流编程语言中实现的步骤。我尝试着将其中介绍的某一种因子分解算法应用于我项目中一个棘手的代数方程求解上，其效率和准确性比我之前使用的标准库函数高出不止一个数量级。这种理论的深度与工程实践的结合度，使得这本书的价值远超同类学术专著，它真正为“计算”二字注入了鲜活的生命力。

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坦白说，这本书的难度曲线并不平缓，尤其是在讨论特定代数流形或模空间上的计算算法时，对读者的预备知识提出了较高的要求。但我必须承认，正是这种挑战性，才使得它在众多入门读物中脱颖而出。它敢于直面那些最前沿、最棘手的计算难题，并且提供了相当详尽的背景回顾，确保读者在遇到高难度内容时，不会感到完全迷失方向。对于我这种已经有一定数论基础，但对计算方法不甚精通的读者而言，它扮演了一个“加速器”的角色。我发现自己不得不频繁地停下来，查阅参考书目中推荐的经典教材，但这并非作者的过错，而是因为这本书试图覆盖的知识广度实在太大了。它提供的是一张详尽的藏宝图，指明了珍宝所在，但你依然需要自己去克服地形的险峻。

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这本书的章节组织结构精巧得令人叹服，它似乎遵循着一种由浅入深、层层递进的逻辑链条。一开始的铺垫非常扎实，从基础的域扩张和理想理论讲起，平滑地过渡到更复杂的模块结构和伽罗瓦理论的计算视角。我特别欣赏作者处理复杂定理证明时的策略——他们倾向于使用最直观的、基于计算的论证方法，而不是单纯依赖于高维抽象空间的拓扑论证。这极大地降低了阅读的认知负荷。读到关于循环域和有限域构造的那几章时，我感觉自己仿佛在搭建积木，每一步的合法性都有迹可循。对于研究生来说，这本书提供了一个绝佳的学习路径，它强迫你不仅要“知道”结论，还要“知道”如何用计算工具去构造和验证这些结论，培养的是一种主动的、批判性的数学思维。

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这本书的排版和图表设计简直是艺术品级别的呈现。在处理涉及复杂矩阵或高阶代数结构的可视化时，作者没有采用那些杂乱无章的符号堆砌，而是通过精心设计的示意图，将抽象的代数关系具象化。举例来说，书中关于特定环上的理想结构的分解图示，即便不阅读文字，也能大致领会其内在的层级关系。这种对视觉传达的重视，对于处理计算代数这种高度抽象的学科至关重要。每一次翻阅，都能感受到出版方和作者在细节上投入的巨大心血，从纸张的触感，到公式的对齐方式，都体现出对学术严谨性的极致追求。总而言之，这是一部需要时间沉淀、反复品味的鸿篇巨制，它提供的知识体系的深度和广度，确保了它在未来相当长一段时间内，都将是该领域内不可或缺的工具书和参考标准。

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这本书的封面设计着实吸引人，那种古朴中透着现代感的排版，让人一眼就能感受到内容的深度与广度。初拿到手时，那沉甸甸的质感，配合着清晰的字体和合理的留白，就已经给人一种“这绝对是一本值得细细研读的专业著作”的心理预期。我尤其欣赏作者在引言部分对整个研究领域宏观脉络的梳理，没有急于陷入技术细节，而是先搭建起一个坚实的理论框架，让初学者也能快速把握住这个领域的关键挑战和发展方向。这不仅仅是一本教科书，更像是一位经验丰富的导师，在你面前徐徐展开一幅复杂的数学地图，让你知道每一步的意义所在。它对待基本概念的阐述极为严谨，对于那些常常在其他文献中被一带而过的核心假设，这本书都进行了详尽的铺垫和论证，这种对基础的尊重，在计算数学领域是极其宝贵的。阅读过程中，我常常能体会到作者希望读者真正“理解”而非仅仅“记忆”公式的良苦用心。

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