2007-数学奥林匹克试题集锦 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:华东师大

作者:2007年IMO中国国家集训队教练组 编

出品人:

页数:233

译者:

出版时间:2007-9

价格:18.00元

装帧:

isbn号码:9787561755686

丛书系列:

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现代数学前沿探索：从代数几何到拓扑学 图书名称：《现代数学前沿探索：从代数几何到拓扑学》 内容简介 本书旨在为对现代数学核心领域有深入了解和研究兴趣的读者提供一个全面而深入的导览。全书结构严谨，逻辑清晰，内容涵盖了二十世纪后半叶至今数学界最为活跃和具有影响力的两大分支——代数几何与代数拓扑学的关键概念、核心理论及其相互间的深刻联系。我们聚焦于那些对当代数学研究产生深远影响的理论工具和基本思想，力求展现现代数学家是如何通过抽象的结构来解决具体问题的。 第一部分：代数几何的精深殿堂 代数几何是研究多项式方程组的零点集合——代数簇的几何性质的学科。它成功地将代数（特别是交换代数）的精确性与几何直观的丰富性完美地结合起来。 第一章：概形论的建立与发展 本章从经典的代数簇理论出发，系统地引入了亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）的划时代概念——概形（Scheme）。我们首先回顾了交换代数的基础，如环、理想、素理想谱 $ ext{Spec}(R)$ 的构造。接着，详细阐述了概形作为“局部具有仿射代数簇性质的拓扑空间”的精确定义，并探讨了层（Sheaf）理论在定义局部性质上的核心作用。 重点讨论了结构层 $mathcal{O}_X$，以及由此导出的凝聚层（Coherent Sheaves）的概念。凝聚层的研究是现代代数几何的基石，它使得对代数簇局部结构的分析达到了前所未有的深度。章节最后，我们将介绍平坦性和完备性的概念，这些是理解模空间理论的关键工具。 第二章：经典不变量的重构：陈-西蒙斯理论与示性类 尽管代数几何主要关注多项式解集，但其工具已深刻渗透到微分几何和拓扑学中。本章将代数几何的语言应用于研究流形上的几何不变量。 我们将详细剖析陈示性类（Chern Classes）和庞加莱对偶（Poincaré Duality）的代数框架。通过引入向量丛（Vector Bundles）和外微分代数（Exterior Differential Algebra），我们展示了如何利用德拉上同调（de Rham Cohomology）来计算拓扑不变量。特别地，我们将深入探讨陈-西蒙斯形式（Chern-Simons Forms）的构造，并阐明它们在三维流形上的拓扑量子场论（TQFT）中的角色。这部分内容将强调代数几何的“解构”能力如何转化为拓扑“构造”能力。 第三章：模空间与参数化 模空间（Moduli Spaces）是现代数学中理解“对象集合”几何化的核心概念。本章专注于如何用代数几何的方法来“参数化”一类几何对象。 我们以模曲线（Moduli Spaces of Curves）为例，详细介绍簇的形变理论（Deformation Theory of Schemes）。理解一个几何对象在什么条件下可以连续地“变化”是模空间理论的本质。章节的核心是基域扩张的概念，以及如何利用Picard 群和线丛（Line Bundles）来定义和构造模空间。我们将探讨奇点（Singularities）在模空间中的表现，以及如何使用奇点解消（Resolution of Singularities）的技巧来使模空间变得更“光滑”。 第二部分：代数拓扑学的结构之美 代数拓扑学通过代数结构（如群、环）来研究空间的拓扑性质。本部分侧重于现代代数拓扑中处理高维结构和稳定性的理论。 第四章：上同调理论的深化与泛化 上同调理论是连接拓扑与代数的桥梁。本章超越了基础的同调论，深入探讨更强大的上同调工具。 我们将详细介绍纤维化（Fibration）和谱序列（Spectral Sequences），特别是Serre 谱序列和Leray-Serre 谱序列，它们是处理纤维丛上同调问题的核心技术。随后，我们会转向奇异上同调（Singular Cohomology）的代数构造，并引入K-理论（K-Theory）。K-理论，尤其是向量丛上的拓扑K-理论，提供了一种比上同调更精细的工具来区分具有不同“全局结构”的空间。我们将阐明Bott 周期性定理在K-理论中的地位，并展示其在狄拉克算子（Dirac Operator）正则性证明中的应用。 第五章：同伦论与纤维丛 同伦论关注空间是如何被连续形变的。本章的核心在于研究纤维丛（Fiber Bundles）的结构，因为纤维丛是描述物理场和几何连接的自然框架。 我们将详细阐述纤维丛的定义，并引入纤维丛的截面（Sections）概念。通过Thom 空间和Thom 构造，我们能将纤维丛的上同调与底空间的上同调联系起来。随后，我们转向同伦群，重点分析高阶同伦群的计算困难，并介绍白色阶梯（Whitehead Tower）的概念，这是研究空间稳定同伦性质的重要方法。本章将展示如何利用纤维化序列（Fibration Sequences）来分解复杂的拓扑空间，并计算其同伦群。 第六章：同调与拓扑量子场论的交汇 本部分是整本书的高潮之一，它探讨了拓扑学和物理学的深刻交集，特别是离散结构如何影响连续几何。 我们将介绍离散群作用（Discrete Group Actions）下的拓扑结构，特别是关于Cayley 图的几何属性。接着，我们转向高维流形上的不变量，重点分析Surgery Theory（手术理论）。手术理论提供了一种通过局部修改（“切除”和“粘合”）来对高维流形进行分类和比较的方法。我们将阐明Wall 不变量和特征浸入（Characteristic Submanifolds）在分类高维拓扑流形中的作用。最后，本章将简要回顾Donaldson 理论和Seiberg-Witten 理论的拓扑基础，展示几何和代数组合如何共同构建出描述规范场论的深刻数学结构。 --- 全书的叙事线索在于展示现代数学如何从具象的几何问题出发，抽象化为代数结构，再通过拓扑工具进行分类和量化。本书的读者群应具备扎实的抽象代数、基础拓扑学以及复分析或微分几何的背景知识。我们力求在保持数学严谨性的同时，激发读者对现代数学深层结构之美的探索热情。

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这本书的厚度，让我联想到它所承载的那些令人心潮澎湃的竞赛瞬间。我翻到其中关于几何证明的部分，那些关于圆锥曲线和空间向量的题目，简直是视觉上的盛宴。我试着去复现其中一道涉及三维图形投影和截面的题目，需要精确地想象出空间中点、线、面的相对位置，然后才能开始建立坐标系进行计算。那个过程极其考验空间想象力，一旦想象出错，后面的计算就会南辕北辙。这本书的优秀之处在于，它提供的题目都是经过严格筛选的，每一个细节的设置都有其深刻的数学意义，绝非为了增加难度而堆砌的无关信息。阅读它，就像是与那一届最聪明的头脑进行隔空的对话，感受他们思维的锐度和对数学美的执着追求。虽然有些题目我可能一辈子都无法独立解出，但这本集锦本身，就是一件值得珍藏的数学艺术品，它记录了数学竞赛历史中一个光芒四射的年份。

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说实话，拿到这本《2007-数学奥林匹克试题集锦》的时候，我有点被它的“复古”感震住了。封面设计朴实无华，完全没有现在市面上那些花里胡哨的辅导书的卖点，纯粹就是知识的堆砌。我本来指望能从中找到一些针对性强、易于上手的入门级题目，用来作为暑期集训的预热材料。结果呢？我打开目录，映入眼帘的是一连串让我感到头皮发麻的专业术语和编号。那些题目，每一个都仿佛是一个精心设计的陷阱，考验的不是你是否“会做”，而是你是否“想得到”。我记得有道关于拓扑学的题目，描述极其简洁，但背后的内涵却需要对空间结构有极其深刻的理解。我尝试用我最熟悉的代数方法去硬碰硬，结果是越算越乱，最后不得不放弃。这本书更像是给那些已经站在竞赛前沿的顶尖选手准备的“军火库”，它提供的不是“如何走路”的指南，而是“如何飞翔”的燃料。对于我这样的普通爱好者来说，阅读它更像是一种精神上的洗礼——认识到数学的边界到底有多么辽阔。

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这部厚重的合集，光是书脊上印着的年份就足以让人对它肃然起敬。我特意翻阅了它，试图从中捕捉到一丝丝解题的灵感，然而，坦白地说，这本书的内容深度和广度，远超我最初的想象。它更像是一部百科全书式的数学宝典，里面收录的题目类型之繁杂，简直令人咋舌。从初等的数论、组合到高中奥赛中的微积分、几何难题，几乎涵盖了所有能想到的数学分支。我记得我尝试着去攻克其中一道关于“费马大定理在有限域上的推广”的变体题目，结果在推导过程中，完全迷失在了那些深奥的符号和复杂的逻辑链条里。这本书需要的不仅仅是知识的储备，更需要一种近乎艺术家的直觉和无畏的探索精神。我花了整整一个下午，才勉强理解了其中一道几何题的构造思路，那感觉就像是站在一座高耸入云的数学金字塔下，清晰地认识到自己脚下的基石还多么的微薄。这本书的价值，也许并不在于让你马上就能解决所有问题，而在于它能为你打开一扇扇通往更深奥数学世界的窗户，让你感受到那份探索未知的兴奋与挑战。

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作为一名有着多年数学竞赛辅导经验的教师，我通常会仔细筛选材料，确保我提供的练习题能够精准打击学生的知识盲区。然而，在审阅这本2007年的集锦时，我发现它很难被简单地归类为“训练材料”。它的难度曲线非常陡峭，几乎没有“热身”环节。很多题目，即便是我自己用现代的解题工具去验证，也需要花费大量的时间去梳理其内部的逻辑脉络。举个例子，其中涉及的数论问题，很多都依赖于对“模”的深度理解，远远超出了普通高中课程大纲的要求。这本书的价值在于其“原汁原味”——它保留了当年竞赛题目那种不加修饰、直击核心的难度。它迫使学生必须跳出既有的公式框架，去发明新的工具、新的视角。如果把市面上的大部分辅导书比作铺好的高速公路，那么这本书无疑是需要你自己去披荆斩棘、开辟出一条山路的探险指南。

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我收藏了不少历年的奥赛真题集，但这一本《2007-数学奥林匹克试题集锦》给我的震撼是独一无二的。它不仅仅是试题的罗列，更像是一份历史的见证。你从这些题目中，能清晰地感受到那个特定年份，国际数学界对年轻一代的期望和考察的侧重点。比如，当年对不等式恒等变形的要求似乎比现在更为苛刻，很多题目都需要借助一些非常规的构造性证明。我印象最深的是其中一组关于复数几何意义的题目，它们巧妙地将代数运算与平面几何的旋转、缩放联系起来，那种美感是单纯的代数推导无法比拟的。阅读这本书的时候，我常常会停下来，不仅仅是去解题，而是去揣摩出题人的思路——他们是如何一步步引导我们进入这个逻辑迷宫的？这本书的排版和注释虽然不多，但正是这种“极简主义”的呈现方式，迫使读者必须依赖自己的思考去填补空白，这对于培养独立解决问题的能力，实在是太有帮助了。

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自己考的一届,为了缅怀而买了下来

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