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出版者:河北教育出版社

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页数:0

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出版时间:2007-4-6

价格:12.5

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isbn号码:9787543408104

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图书标签:

• 高中数学
• 函数
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好的，这是一份关于一本假设的、与《题源（高中数学）1：函数》内容完全不同的图书的详细简介。 图书名称：《探寻数海的边界：高等几何与拓扑学基础》 作者：[此处可填写真实或虚构的资深数学教授姓名] 出版社：[此处可填写真实或虚构的专业学术出版社] 定价：[此处可填写真实或虚构的定价] 丛书定位： 本著作是“现代数学前沿探索”系列的首卷，旨在为有志于深入研究纯粹数学、理论物理、高级工程计算的本科生及研究生提供坚实的几何学与拓扑学基础。本书的编写立足于严谨的公理化方法，侧重于直觉与形式逻辑的结合，引导读者超越传统微积分与代数的基础，进入更高维度的空间结构探索。 内容概述： 《探寻数海的边界：高等几何与拓扑学基础》共分为七个主要部分，总计约三十万字，系统性地构建了从欧几里得空间到抽象拓扑空间的桥梁。全书内容聚焦于空间形态的本质属性，而非仅关注计算技巧。 第一部分：欧几里得空间与度量几何的深化 本部分首先回顾了三维欧几里得空间 ($mathbb{R}^n$) 的基础结构，但视角更为深入。我们详细讨论了向量空间结构、内积的性质，并引入了范数和度量的概念，为后续的拓扑学打下分析基础。重点内容包括：柯西-施瓦茨不等式的几何解释、仿射子空间的概念，以及关于正交分解的完整阐述。不同于标准线性代数教材，本书着重探讨了在不同坐标系下保持不变的几何不变量。 第二部分：微分几何的入门：曲线与曲面 本章开始引入微分工具来研究光滑空间。我们详细分析了空间曲线的参数化、曲率和挠率，并利用 Frenet-Serret 公式推导了曲线的运动学意义。随后，我们将研究曲面，引入了第一、第二基本形式，高斯曲率、平均曲率以及著名的 Gauss 绝妙定理的严格证明。此处探讨了曲面的局部分类，例如哪些曲面可以在平面上等距展开，哪些则不能。 第三部分：流形的概念引入 流形是连接代数、分析与几何的中心枢纽。本部分是全书的理论核心之一。我们定义了拓扑流形的概念，包括局部坐标系、图册和浸入映射。重点剖析了 $n$ 维可微流形的定义，如何构造切空间，以及张量场（如向量场、微分形式）在流形上的自然操作。我们详细讨论了 $mathbb{R}^n$ 上的拓扑结构，并初步接触了球面 $S^n$ 上的结构特征。 第四部分：拓扑学：空间形变的艺术 本部分是全书的理论基石。我们摒弃了初等拓扑的直观理解，直接从点集拓扑的公理化定义入手。内容涵盖：开集、闭集、邻域、拓扑空间的构造。深入讨论了连续性的拓扑定义、紧致性（Compactness）和连通性（Connectedness）的严格性质。特别是，我们花费大量篇幅分析了分离公理（$T_1, T_2, T_3, T_4$ 空间）及其对分析学中极限概念的必要性。 第五部分：代数拓扑的初探：基本群 为了区分拓扑上本质不同的空间（例如圆环和圆盘），本书引入了代数拓扑的基本工具——同伦论。我们定义了路径、路群和基本群（Fundamental Group）。通过计算几个典型空间的 $pi_1$ 群（如 $S^1, S^n$ ），展示了如何用代数结构来描述空间的“洞”的数量和类型。这部分包含对 Brouwer 不动点定理的拓扑证明。 第六部分：同调论的启示：更强的拓扑不变量 在基本群处理更高维洞的能力受限后，我们转向更强大的工具：同调论。本章系统地介绍了单纯复形的构造，定义了链复形、边界算子和同调群。我们展示了如何计算圆环 $T^2$ 和球面 $S^2$ 的同调群，揭示了它们在拓扑上差异的精确代数描述。 第七部分：广义相对论与微分几何的连接（选读与展望） 最后一部分将理论应用于物理学的前沿交叉领域。我们介绍了黎曼几何的基本概念，包括黎曼度量、协变导数和测地线方程。这部分内容旨在展示前面构建的流形理论在描述弯曲时空（如广义相对论中的背景）中的强大能力，为读者指明后续深入学习的方向。 学习特点与目标读者： 本书的特点在于其理论的纯粹性与严谨性，以及对现代数学概念的系统性构建。它避免了对初等微积分和解析几何的重复讲解，而是直接假设读者具备扎实的单变量与多变量微积分基础和线性代数知识。 目标读者： 1. 数学、物理学、计算机科学（几何建模、图形学）专业本科高年级学生。 2. 准备进入研究生阶段进行纯粹几何、拓扑或理论物理研究的学者。 3. 希望系统回顾并深化几何分析基础的数学教育工作者。 本书的最终目标是使读者能够熟练运用现代几何语言来描述空间结构，并为阅读微分几何、代数拓扑或微分拓扑的专业著作做好充分准备。书中包含了大量需要读者自行推导和证明的习题，以巩固理论理解。

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这本书给我最大的启发，在于它对于“题型归类”的颠覆性处理。传统的辅导书往往按照“填空题”“选择题”或者“求导”“求值域”来划分章节，这种划分非常僵硬，不利于知识的融会贯通。而《题源（高中数学）1：函数》的章节划分，更多的是基于“核心数学思想”来组织的。比如，它会有一个专门的章节讨论“参数分离”在函数问题中的应用，这个章节下的题目可能来自于不同的题型——有的甚至是应用题，但它们的核心解题逻辑都是围绕着如何处理那个不确定的参数。这种基于思想的整合，迫使我必须跳出题型的限制，去寻找隐藏在不同问题背后的统一数学内核。这种训练极其宝贵，因为它真正提高了我的数学迁移能力，让我在面对全新的、陌生的函数问题时，不再感到无从下手。

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如果用一个词来概括这本书给我的感受，那就是“严谨的温度感”。它绝对不是那种冷冰冰的公式堆砌，而是充满了对学习者困境的理解。我尤其赞赏它在“易错点辨析”这个环节的设置。通常，书上只会简单地指出错误，但这本书会深入剖析“为什么会犯这个错误”。例如，在处理定义域时，它详细分析了“平方根下不能为负”和“分母不能为零”这两个限制条件的优先级和相互作用。它不只是告诉你“错了”，而是告诉你“你可能因为混淆了A和B的概念才导致这个错误”。这种对认知误区的精准打击，比单纯地做对十道题都有用。它不仅教会了我知识，更教会了我如何像一个成熟的数学学习者那样，去审视自己的思考过程，这对于我接下来的高中学习生涯有着深远的影响。

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这套书简直是为我这种在数学函数章节徘徊多年的学生量身定做的“救星”！我记得高中的时候，每次一碰到函数，脑子里就自动加载了“混乱”模式。什么定义域、值域、奇偶性，还有那复杂的图像变换，看得我头皮发麻。但拿到这本《题源（高中数学）1：函数》后，我简直有种豁然开朗的感觉。它不是那种干巴巴地罗列公式的教科书，而是真正注重“源头”——它把每个概念的来龙去脉都讲得清清楚楚。比如，它不会直接丢给你复合函数的求导法则，而是先用非常生活化的例子让你明白“套娃”的原理，然后再循序渐进地引入数学语言。我特别喜欢它在解析经典例题时的那种“庖丁解牛”式的细致，每一步的思考路径都标注得极其清晰，仿佛有一位耐心十足的老师在旁边手把手地指导。对于我这种需要反复确认才能理解的“慢热型”学习者来说，这种深度解析简直是无价之宝，它真正帮我构建起了扎实的函数知识体系，而不是仅仅停留在刷题的表面。

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说实话，市面上的高中数学辅导书多如牛毛，但大多都陷于“题海战术”的泥潭，要么就是对概念的阐述过于晦涩难懂，让人望而却步。然而，这本《题源（高中数学）1：函数》却独辟蹊径地强调了“探究与发现”的过程。它没有急着让人去做那些看着唬人的难题，而是精心设计了一系列的阶梯式练习，这些练习的巧妙之处在于，它们总能引导你去思考“为什么是这样”，而不是“答案是什么”。例如，在讲解对勾函数图像时，它没有直接给出结论，而是通过一系列特殊点和极限值的观察，让你自己去“构造”出那个特殊的“双曲线”形态。这种主动思考的模式极大地激发了我对数学的兴趣，感觉自己不再是被动接受知识，而是主动去“发现”数学规律的探险家。对于那些渴望真正理解数学思想，而不是死记硬背解题套路的同学，这本书提供的思维训练价值远远超过了其本身的价格。

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我是一个对视觉呈现要求比较高的读者，很多数学书的版式设计得密密麻麻，黑白为主，看得人眼睛生疼，学着学着就容易走神。但《题源（高中数学）1：函数》的排版设计简直可以称得上是一股清流。它的字体选择非常友好，间距处理得当，关键在于它对图表的运用简直达到了艺术品的级别。函数图像的绘制不是简单的线条叠加，而是巧妙地运用了不同颜色和粗细来区分自变量、因变量以及辅助线，使得复杂的图像关系一目了然。更让我惊喜的是，它在关键的数学定理旁，常常配有极其精炼的图形化解释，比如用面积变化来辅助理解积分的初步概念（虽然这可能超出了基础函数范畴，但它那种图形化的倾向很明显）。这种清晰、美观的版式，极大地降低了阅读的疲劳感，让我能更长时间地沉浸在函数的世界里而不感到烦躁。

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