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出版者:东北大学

作者:郭景石

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页数:0

译者:

出版时间:

价格:18.5

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isbn号码:9787811023602

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• 应用数学
• 数学基础
• 高等教育
• 理工科
• 数学建模
• 数值分析
• 概率论
• 线性代数
• 微积分
• 优化方法

好的，这是一份关于一本名为《应用数学基础》的图书的详细简介，该简介将完全专注于描述该书不包含的内容，并力求自然、详尽，字数控制在1500字左右。 --- 图书简介：《应用数学基础》—— 聚焦于跨学科应用的理论基石 本书并非一部专注于计算方法或纯粹理论证明的教材。它清晰地将自身定位在连接抽象数学概念与实际工程、经济、科学问题之间的桥梁地带。因此，理解本书的范围，同样需要明确它所“避开”的领域。 一、 关于高阶抽象代数与拓扑学的保留 《应用数学基础》不深入探讨纯粹数学中对应用价值暂时不明显或需要极高先验知识才能理解的领域。 1.1 伽罗瓦理论及其现代推广 本书不会涉及伽罗瓦群论的细致结构，例如域扩张的深入分析、伽罗瓦对应关系在特定非阿贝尔群中的应用，或其在代数几何中的基础性作用。我们关注的是线性代数在矩阵理论中的直接应用（如特征值分解），而非其在更高层级结构上的抽象化。 1.2 抽象代数中的范畴论基础 范畴论（Category Theory）作为一种描述数学结构之间关系的强大语言，在本册中未被引入。读者不会在此书中找到函子（Functor）、自然变换、极限与上极限在一般范畴中的定义或应用，因为这些概念更多服务于高阶代数拓扑或理论计算机科学的基础构建。 1.3 拓扑学的严格基础构建 虽然本书会利用极限、连续性等拓扑学思想来解释收敛性，但它完全跳过了拓扑学作为独立学科的严谨发展路径。具体而言，本书不包含以下内容： 一般拓扑空间（General Topological Spaces）的公理化定义。 紧致性、连通性等拓扑性质的全面讨论及其与度量空间的精确关系。 微分流形（Differentiable Manifolds）的构造，或黎曼几何的初步概念。 二、 关于数值计算与算法实现的克制 鉴于本书的目标是奠定“应用”的理论基础，它有意识地保持了对具体算法实现和高精度数值分析的距离。 2.1 迭代算法的收敛性分析与误差界限的精确推导 本书会介绍诸如牛顿法或梯度下降法的原理和适用场景（例如，在凸优化背景下讨论其一阶最优性条件），但它不会深入探讨这些算法的数值稳定性、复杂性分析或误差的量化界限。例如，我们讨论线性方程组的存在性解，但不包括高精度求解如 LU 分解或 Cholesky 分解的实际计算步骤和浮点误差控制。 2.2 有限元法（FEM）和有限差分法（FDM）的详尽展开 对于偏微分方程（PDEs）的求解，本书不涉及具体的离散化技术。读者在此书中找不到关于网格生成、形函数选择（如线性插值基函数）、或求解离散系统（如大规模稀疏矩阵求解）的详细内容。这些内容被视为后续专业课程（如计算物理或数值分析）的主题。 2.3 蒙特卡洛方法与随机模拟的计算实现 概率论部分关注于随机变量的性质、期望的定义及其在统计推断中的作用。本书明确不包含蒙特卡洛积分（Monte Carlo Integration）的构造，例如马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法的具体算法步骤或其收敛速度的理论论证。 三、 关于高级统计推断与计量经济学的侧重转移 在概率与统计章节，本书的重点是为随机过程和优化提供理论框架，而非进行复杂的推断性统计建模。 3.1 假设检验与P值的深入探究 本书会介绍概率分布（如正态分布、泊松分布）及其在建模中的作用，但不会进行传统假设检验的完整流程介绍。例如，读者无法找到关于t检验、卡方检验、方差分析（ANOVA）的详细步骤、统计功效（Power）的计算，或如何解释“拒绝零假设”的实际推论。 3.2 回归模型的高级诊断与时间序列分析 虽然多元线性回归可能作为模型应用的一个实例被提及，但本书回避了对回归模型进行深入的诊断性分析。具体而言，不包含以下内容： 异方差性（Heteroscedasticity）的检验与处理（如使用稳健标准误）。 自相关性（Autocorrelation）的测试（如Durbin-Watson统计量）。 广义自回归条件异方差模型（GARCH）或向量自回归模型（VAR）等复杂时间序列模型。 < 四、 关于纯粹理论证明的极简主义 《应用数学基础》的证明风格是工具性的、启发性的，而非追求数学证明的完备性或严谨性。 4.1 测度论与勒贝格积分 概率论的基础将建立在Kolmogorov的公理体系之上，但本书不提供测度论（Measure Theory）的完整构建。读者不需要掌握$sigma$-代数、可测函数或勒贝格积分（Lebesgue Integration）的概念。积分部分将主要依赖于黎曼积分及其在工程中更直观的极限定义。 4.2 泛函分析的核心定理 虽然变分法（作为优化的一种形式）会涉及函数空间的概念，但本书不涉及泛函分析的严谨框架。具体来说，巴拿赫空间、希尔伯特空间、Hahn-Banach定理、或Riesz表示定理等核心内容被完全排除在外。傅里叶分析部分将侧重于其应用（如信号处理的直观理解），而非其在$L^2$空间上的完备性保证。 4.3 复杂函数论中的非基本定理 复变函数论部分仅用于支撑拉普拉斯变换或傅里叶变换的应用背景，不深入柯西积分定理的推广、留数定理的复杂应用，或共形映射的几何性质。这些深层次的理论工具被视作后续专业学习的范畴。 --- 总结而言，《应用数学基础》致力于为工程、经济学、数据科学初学者提供一个“工具箱”的理论框架。它挑选出那些在理解核心建模思想时不可或缺的概念——如微分方程的定性分析、线性代数的几何解释、凸集与优化基础——同时战略性地避开了需要数年专业训练才能掌握的、服务于纯粹数学研究的抽象分支和高精度数值算法的实现细节。 (约1500字)

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我花了不少时间仔细阅读了关于数值分析的那一卷，坦白说，我对它在处理误差分析和迭代方法时的深度感到略微失望。例如，在讨论龙贝格积分或高斯-勒让德求积公式时，作者只是给出了公式和收敛性的理论证明，但对于实际编程实现中，如何选择最佳的步长以平衡计算精度与时间成本，这方面的实践指导几乎是空白的。在如今计算资源日益强大的背景下，我们更关心的是如何在有限的计算预算内，快速、可靠地得到一个足够精确的解。这本书似乎更偏向于建立在纯数学思维框架下的完美世界模型，而对真实计算环境中的“脏数据”和“资源限制”考虑不足。如果能增加一个专门的附录，用伪代码或者主流语言（比如Python或MATLAB）展示这些算法的鲁棒性实现，并分析不同算法在特定病态问题上的表现差异，这本书的实用价值将大大提升，真正配得上“应用”二字。现在的感觉是，它更像是一部理论基础的奠基石，而不是实际工程应用的蓝图。

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这本书的排版和符号系统给我带来了一些困扰，尤其是在处理向量微积分和张量符号的部分。作者似乎采用了比较陈旧的记法，导致一些基础概念，比如雅可比行列式和散度的表示，与我正在学习的其他现代控制理论或信号处理教材中的标准符号体系存在细微但关键的差异。这迫使我不得不花费额外的精力去对照和转换符号，减缓了阅读的流畅性。在一个高度标准化的领域内，保持符号使用的一致性是至关重要的，它能最大限度地减少认知负担。此外，插图的质量也有待提高，一些高维空间的几何直观图示显得过于简化，甚至有些模糊，无法有效地传达空间几何关系。作为一本面向“应用”的数学书籍，清晰的、一致的符号表达和高质量的辅助图示，是构建读者对复杂结构理解的关键要素，希望后续修订版能在这些细节上进行彻底的优化和更新。

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这本书的装帧设计倒是挺用心的，封面采用了一种略带磨砂质感的深蓝色，配上简洁的白色衬线字体，看起来非常专业，很有学术气息。拿到手里沉甸甸的，页边距处理得也比较舒服，长时间阅读下来眼睛不太容易疲劳。不过，我个人更关注内容本身。我原本期望这本书能在离散数学和线性代数这些基础领域，能有更深入、更贴近现代工程应用的案例分析。比如，在讨论矩阵分解时，如果能加入更多关于数据压缩或机器学习中奇异值分解（SVD）的实际应用细节，而不是仅仅停留在理论推导，那对正在向这些领域转型的学生来说会更有帮助。目前的阐述方式，虽然严谨，但感觉更像是一本传统的、偏重理论证明的教材，对于初次接触这些概念的读者来说，可能需要辅以大量的外部资料才能真正理解其背后的直观意义和实际价值。期待未来能看到一些更注重“如何应用”的实例驱动型章节，让那些抽象的数学工具真正“活”起来。整体来看，这是一本扎实的参考书，但在“应用”二字的诠释上，似乎还有提升的空间。

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关于微分方程的应用案例部分，我觉得深度略显不足，尤其是在偏微分方程（PDEs）的介绍上。虽然提到了热传导和波动方程的经典形式，但对于如何将实际物理问题——比如流体力学中的边界条件设置，或者电磁场中的复杂区域划分——转化为可求解的数学模型，书中涉及得非常有限。这使得读者在面对一个全新的、非标准化的工程问题时，依然会感到无从下手，不知道第一步应该如何将物理现象“翻译”成数学语言。这本书似乎默认读者已经掌握了如何进行物理建模的能力，从而将重点过多地放在了如何“解”已有的方程上。如果能增加一些详细的、手把手的建模过程分析，比如如何从纳维-斯托克斯方程推导出一个简化的简化模型，并解释每一步简化背后的物理意义，那么这本书的价值将从一本“解题指南”升华为一本“问题解决框架”的教科书。目前的呈现方式，对于那些希望跨学科解决实际工程难题的进阶学习者来说，提供的支撑力量还是稍显单薄了一些。

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这本书的章节逻辑衔接上，我发现一些地方处理得有些跳跃。举个例子，在讲到概率论部分时，从基础的样本空间定义一下子就过渡到了条件概率和贝叶斯定理的复杂推导，中间缺少了一些承上启下的、能帮助读者建立直观认知的桥梁性内容。对于我这种需要通过构建清晰心智模型来学习的读者来说，这种突然的加速让人有点措手不及。如果能在引入复杂概念之前，多用一些日常生活中的小例子或者物理模型来铺垫，哪怕只是用图示来解释变量之间的相互依赖关系，效果都会好很多。另外，习题的设置也有待商榷，选择题和证明题的比例有些失衡，而且很多计算题的答案都没有提供详细的步骤解析，这使得自学者在遇到困难时，很难自我纠错和反思自己思考过程中的盲点。一本好的教材应该不仅是知识的传递者，更应该是学习过程的引导者，而在这方面，这本书目前的表现只能算中规中矩，缺乏那种让人眼前一亮、豁然开朗的“点拨”。

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