一阶偏微分方程及其在物理中的应用PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS OF FIRST ORDER AND THEIR APPLICATIONS TO PHYSICS pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Lopez, Gustavo

出品人:

页数:116

译者:

出版时间:1999-12

价格:280.00元

装帧:HRD

isbn号码:9789810237462

丛书系列:

图书标签:

• 偏微分方程
• 一阶方程
• 物理应用
• 数学物理
• 常微分方程
• 流体力学
• 热传导
• 波动方程
• 气体动力学
• 偏微分方程数值解

经典分析与现代计算：多元函数微分几何的深度探索 本书聚焦于一个横跨纯数学理论与前沿工程实践的交叉领域：高维空间中函数的微分几何性质，特别是涉及多变量函数的偏导数、梯度、散度和旋量的分析。 旨在为具备扎实微积分基础的读者，提供一套系统、深入的理论框架，用以理解和操作复杂系统的数学模型。 本书不涉及一阶常微分方程的特定解法，亦不触及热传导、波动或流体力学等领域对偏微分方程（PDEs）的具体应用，而是将视角聚焦于构建这些应用模型所需的基础分析工具和抽象结构。 --- 第一部分：多变量函数的微积分基础重构 本部分旨在巩固并深化读者对多元函数微积分的理解，将其提升至可以应对更高阶数学挑战的层次。我们将探讨空间构造、函数性质的局部描述，以及这些描述如何过渡到分析的全局视角。 第一章：欧几里得空间与度量结构 1.1 $mathbb{R}^n$ 空间的拓扑与点集性质：系统回顾开集、闭集、紧集、连通性在 $n$ 维空间中的定义与性质。强调拓扑概念如何影响函数的可微性假设。 1.2 向量场与坐标变换：深入探讨向量场的定义及其在不同坐标系（如笛卡尔、柱面、球坐标系下的基础表示）中的张量变换规则。重点解析雅可比矩阵在描述局部线性近似中的作用。 1.3 内积空间与范数：解析 $L^p$ 范数族的基本属性，它们作为衡量函数空间中“距离”和“大小”的工具，在理论分析中的核心地位。 第二章：微分的几何语义与张量基础 2.1 方向导数与梯度算子 ($ abla$)：详细剖析梯度向量的物理和几何意义——它指向函数值增长最快的方向。探讨梯度如何与曲线积分联系起来。 2.2 多重偏导数的链式法则：超越二元函数，构建 $n$ 元复合函数链式法则的一般性表述，并引入偏微分算子在坐标变换下的不变性或协变性问题。 2.3 Hessian 矩阵与二阶信息的捕捉：对函数的二阶偏导数构成的Hessian矩阵进行详尽分析。研究其特征值和特征向量如何揭示函数在临界点附近的局部曲率（凸性和鞍点），这是后续优化理论的基础。 2.4 张量表示法导论：引入协变与反变索引的初步概念，将梯度、Hessian等视为特定类型的张量，为后续的微分几何语言做准备。 --- 第二部分：微分算子与场论的数学结构 本部分从向量分析的经典三角出发，系统地定义和分析三个核心微分算子——散度、旋度和拉普拉斯算子——并侧重于它们在抽象空间中的数学结构，而非其在特定物理方程中的应用。 第三章：散度（Divergence）与通量概念 3.1 散度的定义与局部性质：严格定义向量场 $mathbf{F}$ 的散度 $ abla cdot mathbf{F}$，并讨论它作为衡量场源或汇强度的指标的数学本质。 3.2 通量积分的定义：数学化“通过曲面的净流量”的概念。使用黎曼和的极限来定义向量场穿过有向曲面的通量，并探讨积分路径依赖性。 3.3 散度定理的几何前驱：在不提及具体物理定律的前提下，纯粹从拓扑和体积积分的角度，论证小体积元上散度积分与边界上向量场积分之间的关系，为后面介绍格林公式打下基础。 第四章：旋度（Curl）与环量分析 4.1 旋度的定义与积分形式：定义向量场 $mathbf{F}$ 的旋度 $ abla imes mathbf{F}$，解释其几何含义在于测量场的旋转倾向。 4.2 环量与斯托克斯定理的几何构造：分析沿着闭合曲线的线积分（环量）。展示旋度如何作为单位面积上环量的极限，侧重于理解环路积分与穿过曲面的旋度积分之间的内在联系。 4.3 保守场与势场：基于旋度为零的性质，严格定义保守向量场，并证明其势函数（标量势）的存在性，探讨势函数与梯度场的对应关系。 第五章：拉普拉斯算子与调和分析的萌芽 5.1 拉普拉斯算子 ($Delta$ 或 $ abla^2$) 的定义：定义为散度作用于梯度 ($ abla cdot abla$)，探讨其在笛卡尔坐标系下的展开式。 5.2 调和函数的抽象性质：引入调和函数（满足 $Delta u = 0$ 的函数）的概念。讨论其极值原理的数学形式——即调和函数在定义域内不能取到严格的局部最大值或最小值。 5.3 格林函数方法论的数学预备：介绍基本解（Fundamental Solutions）的概念，即$Delta G = delta(mathbf{x})$ 的解的数学重要性，这是求解许多线性偏微分方程的通用构造工具。 --- 第三部分：函数空间与泛函分析的初步接触 本部分将分析工具从具体的 $mathbb{R}^n$ 空间推广到更抽象的函数空间，为处理无限维问题做准备。 第六章：函数空间与Sobolev 嵌入的理论基础 6.1 $L^2$ 空间与希尔伯特结构：将 $L^2$ 空间定义为平方可积函数的空间，引入内积和完备性，确立其作为分析基础的希尔伯特空间地位。 6.2 Sobolev 空间的概念引入：解释为何仅要求函数本身连续或可积不足以确保微分算子的良好行为。定义广义导数的概念，并基于此构造一阶和二阶 $W^{k,p}$ 空间。 6.3 嵌入定理的意义：讨论Sobolev嵌入定理的核心思想：在 $L^p$ 意义下具有一阶导数的函数，在特定条件下必然具有更强的正则性（如连续性）。 --- 本书的特色在于其严谨的数学推导和对概念基础的坚持。 它侧重于回答“为什么”这些工具有效，而非“如何”使用它们解决特定方程。读者将掌握从基础向量分析到高级函数空间理论的平滑过渡，为深入研究微分几何、变分法或偏微分方程理论的任何特定领域奠定坚实、无可动摇的分析基础。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

好的，这是一份以读者口吻写的，关于一本名为《一阶偏微分方程及其在物理中的应用》的书籍的五段评价，每段大约300字，风格各异，且互不相似。 --- 这本书，说实话，拿到手的时候我心里是有点打鼓的。毕竟“偏微分方程”这几个字听起来就够让人头疼了，更别提还要跟“物理应用”结合起来。我一直觉得，理论数学和实际物理之间总有一道难以逾越的鸿沟，要么是理论推导得太抽象让人摸不着头脑，要么是物理应用部分讲得太跳跃，公式堆砌却不解释来龙去脉。然而，这本书出乎意料地做到了平衡。它的章节编排非常巧妙，从最基础的一阶方程讲起，慢慢引入各种经典方程类型，比如拟线性、拟线性，以及一些我们常见的传输方程的简化形式。作者在讲解过程中，总是能把枯燥的数学概念和具体的物理场景联系起来，比如流体力学的对流项，或者电磁场中的基本关系式。这种叙述方式让我感觉不再是在啃一本冷冰冰的教科书，而是在和一个经验丰富的导师对话，他会耐心地引导你一步步理解为什么这些方程会以这样的形式出现，以及它们在描述自然现象时扮演的角色。特别是对特征线方法的阐述，非常清晰，让我这个之前对该方法一知半解的读者豁然开朗。

评分☆☆☆☆☆

这本书的价值不在于提供了多少现成的解法模板，而在于它构建了一个看待物理世界的新视角——即通过一阶偏微分方程的框架来理解动态过程和守恒律。我最欣赏的是它对于物理直觉的培养。作者在处理一些反直觉的数学现象时，总能给出非常形象的比喻，比如将解的奇异性比作物理系统中的“爆破点”或者“突变点”。这种叙述方式极大地激发了我进一步探索的兴趣。它不只是教你如何解题，更重要的是让你理解为什么这个方程是描述这个物理现象的最佳语言。对于那些渴望从“会算”到“能理解”的读者而言，这本书无疑是一盏明灯。它成功地架设了一座桥梁，让抽象的数学工具变得鲜活起来，充满了物理世界的内在逻辑和美感。我强烈推荐给那些对基础理论有追求，并且希望将数学工具应用于实际物理问题的人。

评分☆☆☆☆☆

这本书的数学严谨性给我留下了非常深刻的印象，这对于我这种既需要理解物理图像又对数学基础有要求的读者来说至关重要。我特别欣赏作者在证明一些核心定理时所采用的策略——他们似乎总能找到一种既能保持数学上的精确性，又不会让读者的注意力过多地被繁复的符号运算所分散的方法。举个例子，在处理一些非线性方程的解的存在性和唯一性问题时，书中不仅展示了如何构造解，还对解的奇异性和稳定性进行了深入探讨。这部分内容不仅仅是知识的堆砌，更像是一种思想的引导，让我开始思考，为什么在物理世界中，某些初始条件会导致系统行为的巨大差异。书中的图表和例子也选取得非常恰当，它们不是那种为了凑篇幅而加的无关紧要的插图，而是真正用来辅助理解复杂数学结构的关键工具。读完后，感觉自己在处理更高级的物理问题时，对背景的把握更加扎实了。

评分☆☆☆☆☆

这本书的阅读体验总体来说是流畅的，但坦率地说，对于初学者来说，前半部分的门槛还是有点高的。作者似乎默认读者已经对基础的微积分和常微分方程有相当的了解，所以在引入一阶偏微分方程的基本概念时，节奏非常快。我花了相当长的时间去回顾一些背景知识才能跟上进度。不过，一旦跨过了最初的几章，后面的内容就渐入佳境了。作者的写作风格变得越来越有条理，论证逻辑性极强。特别是当涉及到多维空间中的情况时，他对坐标变换和张量符号的使用，虽然简洁，但如果没有扎实的预备知识，确实容易让人迷失方向。所以，我建议那些希望通过这本书入门的人，最好能先对向量分析和场论有一个初步的认识，这样才能真正享受到这本书在深度和广度上的优势，而不是在中途感到挫败。

评分☆☆☆☆☆

说实话，这本书的实践指导价值确实超出了我的预期。我本来以为它会更偏向于理论数学的介绍，但事实证明，作者在物理应用的部分投入了极大的精力。书中对一些经典物理问题，比如浅水波方程、声波传播模型，甚至是一些早期热力学扩散过程的描述，都进行了详尽的建模和求解演示。这些例子不仅仅是把方程代入一个物理情境就算完事了，而是深入到如何选择合适的求解方法（比如分离变量法、傅里叶变换等）来应对不同边界条件和初始条件下的具体挑战。我特别喜欢它在讨论数值方法时的那几章，虽然篇幅不长，但对于启发如何将解析解与数值模拟结合起来，提供了很好的视角。对于正在做工程计算或者理论建模的研究生来说，这本书提供的框架是极其宝贵的，它教会的不是简单的套用公式，而是如何“思考”一个物理系统背后的偏微分方程结构。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆