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出版者:Research & Education Assn

作者:Smolarski, Dennis

出品人:

页数:1104

译者:

出版时间:1992-12

价格:$ 29.32

装帧:Pap

isbn号码:9780878915569

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 预微积分
• 函数
• 三角函数
• 代数
• 解析几何
• 高等数学基础
• 大学先修课程
• STEM
• 学习指南

好的，这是一本关于微积分预备知识的教材的简介，着重于内容深度和广度，而非“Pre-calculus”本身： --- 高等数学基础：构建坚实的分析思维阶梯 一部面向未来学术挑战的深度导论 本书旨在为学习微积分及更高级定量分析课程的学生提供一个全面、严谨且富有洞察力的数学基础。我们摒弃了传统预备课程中常见的“知识点堆砌”模式，转而采用一种强调概念理解、逻辑推理和问题解决能力培养的结构化方法。本书的核心目标是确保学习者不仅“知道”如何执行某个运算，更能“理解”为什么如此操作，以及这些工具在更广阔的数学领域中的作用。 本书的内容深度超越了基础代数和几何的简单回顾，而是将焦点集中在那些在微积分中发挥决定性作用的关键概念上：函数行为的深刻分析、三角学的几何与代数统一，以及对数列和极限概念的初步直觉构建。我们相信，强大的预备知识不是一个静止的知识库，而是一个动态的思维框架。 第一部分：函数的深度剖析与建模 本部分是全书的基石，我们从最核心的数学语言——函数——出发，进行深入的探讨。 1.1 函数的本质与代数结构： 我们首先建立对函数概念的精确理解，超越简单的输入输出对应关系。重点分析函数的定义域、值域的确定，以及如何通过代数操作（如复合、反演）来构建更复杂的函数模型。特别关注有理函数的性质，包括渐近线的严格推导，而非仅仅是规则的记忆。对绝对值函数和分段函数的剖析将贯穿始终，用以强调函数在不同区间内行为的差异性。 1.2 变换、对称性与图像分析： 本章深入研究函数图像的几何变换（平移、伸缩、反射）如何与其代数表达式相关联。通过系统的练习，学生将熟练掌握如何通过观察表达式的变化来预测图像的移动，反之亦然。对称性（奇偶性）的讨论将不仅限于代数验证，更会与函数的周期性和可逆性联系起来。 1.3 指数与对数：自然增长与衰减的数学语言： 指数函数和对数函数的引入，侧重于其在自然现象（如复利、放射性衰变、种群增长）中的实际应用背景。对数作为指数的逆运算的地位将被明确强调。对自然对数 $e$ 的引入将是循序渐进的，通过极限的直观理解而非过早地引入高深的微积分定义，为后续的学习奠定感性基础。我们将详细分析换底公式的几何意义，并解决涉及实际应用场景的复杂指数方程组。 第二部分：三角学的几何统一与解析应用 三角学在本教材中被视为连接几何直觉与解析代数的桥梁，其目标是实现从“角度”到“坐标”的无缝转换。 2.1 弧度制与单位圆：解析几何的支点： 彻底摒弃度量衡的依赖，将三角函数建立在单位圆的基础之上。这不仅是定义 $sin heta$ 和 $cos heta$ 的标准方式，更是理解其周期性的根本原因。我们将详细探讨角度的弧度制转换，并利用单位圆推导出基本三角恒等式，使恒等式不再是孤立的公式，而是几何关系的必然结果。 2.2 三角恒等式的深度挖掘与简化： 本节内容侧重于对和差角公式、倍角公式、半角公式的系统推导和应用。我们强调“化繁为简”的策略，即如何通过选择性地应用恒等式将复杂的三角表达式简化为可分析的形式。同时，对积化和差与和差化积公式的理解，将作为后续解三角方程的关键工具。 2.3 三角函数的图像及其周期性分析： 我们将详细分析正弦、余弦、正切函数的图像特征，特别是其周期、振幅和相位偏移如何直接映射到三角函数表达式的参数上。通过引入实际周期性现象（如简谐运动）的建模，加深学生对三角函数作为描述周期现象的通用工具的认识。 2.4 反三角函数：逆运算的严谨处理： 反三角函数的引入必须严格界定其定义域和值域，以确保函数的可逆性。我们将通过图像来直观理解这些限制的必要性，并练习涉及反三角函数参与的代数方程的求解。 第三部分：解析几何的复兴与空间想象力的培养 本部分将解析几何工具应用于更广阔的二维平面，为向量和更高级坐标系做铺垫。 3.1 坐标系中的距离、中点与斜率的再认识： 虽然这些概念基础，但我们将从向量的角度重新审视斜率和距离公式，强化几何直觉。 3.2 直线方程的多种表达形式与应用： 除了点斜式、斜截式，我们还会引入一般式，并讨论其在确定直线位置关系和进行简单线性规划问题中的优势。 3.3 圆锥曲线的代数定义与几何性质： 本章是本书的亮点之一。我们不直接给出标准方程，而是从圆锥曲线的焦点与准线的距离比定义出发，通过严格的代数推导，得出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。这种“定义先行”的方法，确保了学生对这些重要曲线的本质理解。对离心率的深入分析将贯穿始终，作为区分不同曲线类型的关键参数。 第四部分：序列、级数与极限的初步探寻 此部分的目标是为微积分中至关重要的“极限”概念建立初步的、非严格的直觉基础。 4.1 序列的结构与有限/无限求和： 我们将区分等差数列和等比数列，并推导其通项公式和求和公式。特别是等比级数，我们将通过直观的“分割与剩余”模型来探讨无限几何级数的收敛性。 4.2 极限概念的直观引入： 本节将使用大量的函数图像和数值表格来展示数列和函数值在趋近某个点或无穷大时的“行为”。我们使用“越来越接近”的语言来描述极限，关注函数在特定点（包括间断点）的“趋势”而非精确值。对趋于无穷大的函数的趋势分析，将为后续的水平渐近线和垂直渐近线的理解打下基础。 --- 总结： 本书的编写哲学是“深度胜于广度，理解胜于记忆”。它不仅仅是一本准备微积分考试的工具书，更是一部培养学生严谨数学思维、提升抽象概括能力的训练手册。我们设计的挑战性习题和概念性思考题，旨在确保学习者能够自信地应对下一阶段对分析学提出的更高要求。

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这本书的排版和视觉设计，坦白地说，简直是一场灾难，让人联想到二十年前那种用黑白激光打印机匆匆赶工出来的讲义。色彩的运用几乎为零，所有的图表——无论是抛物线的轨迹图，还是圆锥曲线的剖面图——都显得灰蒙蒙的，线条粗细不均，标示符模糊不清。更糟糕的是，那些关键的定义和定理，本应通过加粗或使用不同的字体来突出显示，但在这本书里，它们被淹没在密密麻麻的文字段落之中，阅读体验极其糟糕。我花了很长时间试图辨认图表中的坐标轴标签，因为它们印刷得太浅了，几乎要和背景融为一体。对于数学学习来说，清晰的视觉辅助是至关重要的，它能帮助我们构建空间感和几何直觉。但这本书提供的视觉效果，非但没有帮助，反而成了理解概念的巨大障碍。每当遇到需要参照图形理解代数表达式的例子时，我都不得不花费额外的精力去“解码”那些模糊的图像，这极大地分散了我的注意力，也拖慢了我的学习进度。我甚至开始怀疑，这本书的编辑团队是否真正对“可视化”在高等数学预备阶段的重要性有所认识。

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这本书的理论论证部分，总有一种说教感，缺乏数学家那种严谨而优雅的逻辑推导美感。作者倾向于直接抛出结论，然后用一些不够精妙的例子来“证明”其合理性，而不是通过清晰的、层层递进的逻辑链条，引导读者自然而然地得出这个结论。举个例子，在讲解向量空间的基本性质时，很多关键的公理化定义被放在了脚注或者被一笔带过，没有给予足够的篇幅来探讨它们在更高层次数学结构中的重要性。这导致学习者在理解这些基础概念时，只能停留在“记住它们是这样定义的”的层面，而无法领悟其背后的深刻数学思想。我阅读时常常需要频繁地查阅其他资料来弥补这种深度上的不足，感觉这本书更像是知识点的罗列者，而不是一个合格的数学思想的引路人。如果目标是培养未来的数学或工程人才，那么对理论基础的深度挖掘和对逻辑严谨性的强调是不可或缺的，而这本书在这方面，无疑是显得单薄和力不从心的。

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这本书，我得说，拿到手的时候，我对它抱有挺高的期待的。毕竟“Pre-calculus”这个名字本身就暗示着它应该是一座连接代数和微积分的坚实桥梁。然而，当我真正翻开目录，并开始深入阅读其中的章节时，我发现它的“桥梁”似乎更像是一条有些年头、维护不太及时的乡间小路。首先，在函数部分，虽然基础概念都涵盖了，比如定义域、值域、反函数，但讲解的深度明显不足以支撑起后续更复杂的概念。很多关键的转折点，比如如何从图形直观地理解复合函数的性质，讲解得过于笼统，没有给出足够多的、有说服力的例子来帮助我们内化这些知识。我记得有几道关于三角函数的题目，标准答案的推导过程跳跃性太大，如果不是我先前已经通过其他资源对三角恒等变换有了比较扎实的了解，我根本无法跟上作者的思路。这感觉就像是作者在假设你已经掌握了某种“心照不宣”的数学直觉，而对于像我这种需要步步为营的普通学习者来说，这种省略是致命的。它更像是一本给已经很擅长数学的人用来快速复习的提纲，而不是一本真正意义上的、用于系统学习的教材。我对这种缺乏足够引导的叙述方式感到非常失望，它没有真正体现出“预备”的耐心和细致。

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我注意到这本书在处理“建模”和实际应用问题上，几乎采取了完全回避的态度。预备微积分这门课程，其核心价值之一就在于向学生展示数学工具如何用来解析现实世界中的现象，无论是物理、经济还是生物学中的增长与衰减。然而，这本书似乎固执地将自己定位在纯粹的、抽象的符号操作层面。即便是有限的几个例子，也显得非常陈旧和脱离时代背景，读起来更像是在重温上个世纪的教科书内容。例如，在讨论指数函数时，本可以引入当前流行的复利计算模型或者放射性同位素衰变的实时案例，但作者仅仅停留在枯燥的 $P=P_0e^{rt}$ 这种形式的展示上，缺乏任何拓展性的讨论。这种对现实联系的缺失，极大地削弱了学习的内在驱动力。对于很多初次接触高等数学的学生来说，如果不能理解这些抽象的工具背后的实际意义，很容易产生“学了有什么用”的困惑，从而导致学习兴趣的迅速衰减。这本书在培养学生的数学应用素养方面，明显是失职的。

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这本书在习题设置上展现出一种极端的两极分化。前半部分，围绕基础代数和指数对数展开的内容，习题数量可以说是相当丰富，但质量却参差不齐。很多题目都是对课本例题的简单重复，换汤不换药，做起来更像是机械性的抄写，对真正理解概念的巩固作用有限。然而，当你翻到介绍数列极限和某些高级解析几何概念的章节时，习题的数量突然变得极其稀少，仿佛作者在这些他认为“难度较高”的部分，就已经放弃了对读者的引导责任。更令人不解的是，对于那些少数的难题，答案和详细步骤的缺失更是让人抓狂。通常一本好的教材，即便是不提供完整的解题过程，也应该至少提供最终答案，以便读者自我检验。但这本书在这方面显得非常吝啬，我尝试解答了一些挑战性的问题，却根本无从核对我的思考路径是否正确，这使得我无法及时发现并纠正思维上的偏差。这种习题设置的失衡，使得学习过程变得极不连贯，时而感觉像是幼儿园的练习册，时而又像进入了无人区的攀岩挑战。

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