黎曼几何初步 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:高等教育出版社

作者:伍鸿熙

出品人:

页数:271

译者:

出版时间:2014-7

价格:49.00元

装帧:

isbn号码:9787040404586

丛书系列:现代数学基础

图书标签:

• 数学
• 几何
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空间之美：微分拓扑学入门 本书特色： 本书旨在为读者提供一个严谨而直观的微分拓扑学导论。我们避免了过度抽象的代数拓扑工具，而是专注于几何直觉的培养和经典拓扑空间（如流形）的深入探讨。全书以线性代数和基础微积分作为预备知识，力求将抽象概念与具体的几何实例紧密结合。我们相信，对空间的几何本质的理解，是掌握现代数学工具的基石。 第一部分：拓扑空间的几何基础 第一章：度量与拓扑 本章首先从欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 入手，回顾度量空间的概念及其重要性。我们将定义开集、闭集、紧致性和连通性，并展示这些拓扑概念如何自然地从度量概念中导出。重点讨论了 Hausdorff 性质在几何中的重要性。随后，我们将进入更抽象的拓扑空间范畴，探讨基（Base）的概念，以及如何利用商拓扑来构造新的空间。本章通过大量例子，如球面、环面以及它们的子集，巩固对拓扑结构本质的理解。例如，我们将详细分析子空间拓扑，并讨论拓扑空间的乘积结构。 第二章：连续映射与同胚 连续性是连接不同拓扑空间的核心桥梁。本章深入研究连续映射的定义，并探讨其在保持空间结构上的作用。我们将引入同胚（Homeomorphism）的概念，将其定义为双射且双射都是连续的映射，并以此来区分“相同”的空间。我们将通过著名的布劳威尔不动点定理（Brouwer Fixed Point Theorem）的二维和三维情形，展示同胚在几何直觉上的强大威力，并初步讨论流形的局部欧几里得性。章节最后，我们利用上界追踪法，证明一些基本空间（如开区间与半开区间）之间不存在同胚。 第三章：连接性与路径 连通性是拓扑空间的一个基本不变量。本章主要关注路径连通性，这是比一般连通性更强的概念，在几何分析中更为实用。我们将定义路径和路径同伦，并展示如何利用路径同伦群 $pi_1(X, x_0)$ 来区分一些看似相似的空间，如圆周 $S^1$ 和区间 $[0, 1]$。我们将详尽地计算圆周的 $pi_1$ 群，引入万有覆盖空间的概念，并证明任何局部路径连通的豪斯多夫空间都存在一个覆叠空间。这部分内容为后续研究更高阶的同伦群打下了坚实的基础。 第二部分：微分流形与切空间 第四章：流形的构造 微分拓扑学的核心对象是微分流形。本章严格定义了 $n$ 维微分流形：一个拓扑空间，其上带有相容的坐标卡片（图册）。我们将详细讨论“相容性”的要求，即坐标变换（转移映射）必须是光滑的。我们将构造一系列重要的例子，包括球面 $S^n$、环面 $T^2$ 以及更一般的广义球面。本章的重点在于理解流形如何“局部看起来像”欧几里得空间 $mathbb{R}^n$，但“整体上”可以具有复杂的拓扑结构。我们还将讨论流形的边界和定向性问题。 第五章：向量场与切空间 为了在流形上进行微积分运算，我们需要定义切空间。本章引入了向量场的概念，作为流形上的一个光滑函数，它在每个点 $p$ 赋予一个切空间 $T_p M$ 中的向量。我们将从导数的推广角度出发，严格定义切空间 $T_p M$ 为所有关于 $p$ 的光滑函数的所有可能方向导数的集合，并证明它是一个向量空间。本章将详细分析球面上的向量场，并利用布劳威尔定理的推广，证明光滑球面 $S^n$ 上必然存在零点向量场（Hairy Ball Theorem 的非正式引入）。 第六章：光滑结构与光滑映射 在定义了切空间后，本章聚焦于流形之间的光滑映射。我们将定义光滑映射的严格标准，并阐述如何利用转移映射的微分来定义光滑映射的微分（或切映射）。我们将展示，如果 $f: M o N$ 是一个光滑映射，那么它在每一点诱导出一个线性映射 $df_p: T_p M o T_{f(p)} N$。本章还将讨论浸入（Immersion）和约化（Submersion）的概念，并初步探讨临界点（Critical Points）和正则值（Regular Values）的性质，为后续的李群理论和拓扑不变量的计算做好铺垫。 第三部分：微分形式与积分 第七章：张量代数与微分形式 本章将从切空间 $T_p M$ 出发，构建共切空间 $T_p^ M$（1-形式空间），并进一步构造对称和反对称张量空间。重点是二重线性、反对称的构造——微分 $k$ 形式 $Omega^k(M)$。我们将详细定义楔积（Wedge Product），并说明它如何将不同阶的微分形式组合起来。本章的几何直觉来自于体积形式，解释了为什么 3 维空间中的体积元素是 3 形式。 第八章：外微分与德拉姆上同调 外微分算子 $d: Omega^k(M) o Omega^{k+1}(M)$ 是微分拓扑的核心工具之一。我们将证明 $d^2 = 0$（即 $d circ d = 0$），并基于此定义闭形式（Closed Forms）和恰当形式（Exact Forms）。本章将引入德拉姆上同调群 $H^k_{dR}(M)$，它衡量了流形上“洞”的结构。我们将通过圆 $S^1$ 的例子，计算其 $H^1_{dR}(S^1)$，展示闭 1 形式（如圆的弧长积分）与恰当 1 形式（如梯度场的旋度）之间的区别。 第九章：斯托克斯定理与几何应用 本章的压轴内容是推广的斯托克斯定理（Stokes' Theorem）。我们将精确地陈述该定理：边界上的积分等于流形上的外微分积分。我们将首先验证其在 $mathbb{R}^n$ 上的格林公式和高斯散度定理的推广形式。最后，我们将展示斯托克斯定理如何直接导出德拉姆上同调群的计算结果，巩固了微分形式与拓扑结构之间深刻的联系。本书的最后部分，将此工具应用于简单的例子，例如证明任何可定向的紧致流形上的 $n$ 形式的积分，如果它是闭形式，则其积分可能不为零，从而暗示了代数拓扑的不变量性。

评分☆☆☆☆☆

从2009年3月到12月，我们用两个学期的时间研读了这本书。在此期间，也参考了其他的教材，比如陈维桓的书，沈一兵的书，或者国外几个学者的黎曼几何教材（Petersen的书除外，Petersen的书是极好的参考书，虽然因为篇幅太长不适合作教材，但作参考书恐怕别的书都不及它）。 总体...

评分☆☆☆☆☆

从2009年3月到12月，我们用两个学期的时间研读了这本书。在此期间，也参考了其他的教材，比如陈维桓的书，沈一兵的书，或者国外几个学者的黎曼几何教材（Petersen的书除外，Petersen的书是极好的参考书，虽然因为篇幅太长不适合作教材，但作参考书恐怕别的书都不及它）。 总体...

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评分☆☆☆☆☆

老实说，在读这本书之前，我对微分几何的认识仅停留在教科书上那些关于曲率的零星介绍。这本书彻底改变了我的看法，它展现了黎曼几何的广阔视野和内在美感。作者在描述里奇曲率和体积形式时，那种对空间“扭曲程度”的刻画，简直像诗人一样富有感染力。我印象最深的是它对爱因斯坦场方程（虽然没有深入推导，但作为背景介绍）的提及，立刻让这门纯数学学科与广义相对论的宏大图景联系了起来，这种跨学科的启发性是很多纯数学教材所欠缺的。阅读过程中，我不得不经常停下来，拿出纸笔，试图在低维空间中“画出”作者描述的结构，比如如何想象一个具有负曲率的流形。这种鼓励动手实践和几何想象的氛围，让学习过程充满了探索的乐趣，而不是被动接收知识的压力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的阅读体验简直是一场智力上的马拉松，但跑得相当畅快。我发现作者在处理那些抽象的微分几何概念时，总是会巧妙地将它们与经典几何，比如欧几里得几何或球面几何中的直观图像联系起来。这种“古今贯通”的处理手法极大地缓解了我的焦虑。特别是涉及到张量分析和联络的概念时，我以前总是在不同教材之间来回对照，试图理解那些指标的上下标究竟意味着什么。而这本书里，作者通过非常细致的坐标变换讨论，将张量视为在不同坐标系下保持“物理意义不变”的量，这种物理化的解释比纯粹的代数推导要来得实在得多。每一节的习题设计也很有匠心，它们不只是简单地检验概念的记忆，更多的是引导你去思考“为什么”以及“如何应用”。我做完几组习题后，感觉自己对微分形式在曲面上的积分有了全新的理解，不再是死记硬背斯托克斯公式的形式，而是真正理解了它在几何上的深刻内涵。

评分☆☆☆☆☆

这本书的行文风格非常严谨，但又不失亲切感，像是一位耐心的导师在给你讲解难题。它在处理复杂的数学结构时，倾向于提供一个清晰的逻辑链条，而不是直接跳跃到结论。我特别欣赏作者在引入新的数学工具（比如黎曼度量张量）时，总是会先回顾一下之前学过的欧氏空间中的度量概念，形成鲜明的对比，从而凸显新工具的必要性和优越性。这使得我在学习过程中，总能找到一个可以参照的“锚点”。唯一可能让一些读者感到挑战的是，它对读者预备知识的要求相对较高，如果对微积分和线性代数的基础不够牢固，可能在某些章节会感到吃力。但对于已经有一定基础的人来说，这本书就像是打开了一扇通往更高层数学世界的门，它提供的理论深度和广度，远超出了普通入门教材的范畴，直抵核心的数学结构。

评分☆☆☆☆☆

这本书，说实话，拿到手的时候，我有点被它的厚度和封面设计吸引住了。我原本以为这会是一本那种高冷、充满晦涩公式的教科书，毕竟“黎曼几何”这四个字听起来就让人头大。但翻开目录才发现，它的结构安排得相当精妙。它不像很多教材那样上来就抛出一堆定义和定理，而是先用非常直观的例子和背景知识铺垫，让我这个初学者不至于在第一章就迷失方向。尤其是对“流形”这个核心概念的引入，作者似乎花了不少笔墨，用了很多类比和几何直觉的描述，而不是冷冰冰的拓扑语言。这对于建立对高维空间的感性认识至关重要。我特别欣赏作者在讲解测地线和曲率时所采用的叙事方式，读起来更像是在听一位经验丰富的向导讲解一处奇特的风景，而不是面对一堆枯燥的数学符号。整体上，它给我一种非常扎实、循序渐进的感觉，仿佛作者深知初学者的每一步困惑，并提前准备好了清晰的路线图。

评分☆☆☆☆☆

这本书的深度和广度都令人印象深刻，它不仅仅是一本“教你怎么做”的指南，更是一本“让你理解为什么是这样”的哲学探讨。作者对几何直觉的培养非常重视，他花了大量篇幅去阐释“什么是弯曲”，以及这种弯曲如何系统地通过数学语言来描述。我特别喜欢它对“测地线”的讲解，它不仅仅是“最短路径”，更是流形上自然运动的轨迹，这种内在的自然性被阐释得淋漓尽致。读完之后，我不再只是将黎曼几何视为一个计算工具箱，而是开始用一种全新的、更具几何洞察力的方式去看待空间和距离的概念。这本书的价值在于，它成功地将高度抽象的数学理论，转化为了可感知的、具有内在一致性的知识体系，让学习者能够真正“看到”并“触摸”到那些高维的几何结构。

评分☆☆☆☆☆

就是看了这本书爱上了几何，写的太有趣了

评分☆☆☆☆☆

大学时候上黎曼几何课的老师力荐的书，可惜我只读了前言，因为这排版实在是太辣眼睛了。所以说黎曼几何学得烂哭不是没有原因的：Peter Petersen根本读不下去，do Carmo倒着往前读就跟闹着玩儿似的，现在想起来真是笑死个人。不过这门课居然拿了98分，真是奇妙深刻，大概是当时给的关于de Rham定理的lecture还不错。相比之下John Lee的Introduction to Riemannian Manifolds最适合我，那书出新版了，豆瓣上还找不到。

评分☆☆☆☆☆

反正不是科班也看不懂...

评分☆☆☆☆☆

就是看了这本书爱上了几何，写的太有趣了

评分☆☆☆☆☆

大学时候上黎曼几何课的老师力荐的书，可惜我只读了前言，因为这排版实在是太辣眼睛了。所以说黎曼几何学得烂哭不是没有原因的：Peter Petersen根本读不下去，do Carmo倒着往前读就跟闹着玩儿似的，现在想起来真是笑死个人。不过这门课居然拿了98分，真是奇妙深刻，大概是当时给的关于de Rham定理的lecture还不错。相比之下John Lee的Introduction to Riemannian Manifolds最适合我，那书出新版了，豆瓣上还找不到。