Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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☆☆☆☆☆

出版者:Springer

作者:Frank W. Warner

出品人:

页数:292

译者:

出版时间:2010-12-1

价格:USD 74.95

装帧:Paperback

isbn号码:9781441928207

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 几何
• 李群
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拓扑与几何的基石：流形、微分结构与李群入门导论 本书旨在为读者提供一套严谨而清晰的数学基础，尤其侧重于现代微分几何与拓扑学的核心概念。我们将系统地探索拓扑空间的性质，理解连续映射和紧致性等基本拓扑不变量，为后续更为复杂的结构建立坚实的语境。 第一部分：拓扑空间的结构与性质 本部分首先引入拓扑空间的严格定义，即 $(mathcal{X}, mathcal{T})$，其中 $mathcal{X}$ 是集合，$mathcal{T}$ 是 $mathcal{X}$ 上的开集族。我们将深入分析开集、闭集、邻域、基、子基的概念，并展示它们如何共同定义空间的拓扑结构。 连续性与同胚： 紧接着，我们将考察连续映射的性质，并引入至关重要的开闭映射定理。在此基础上，我们定义拓扑等价，即同胚的概念。通过构造具体的例子和反例，读者将学会区分具有不同拓扑性质的空间，例如区分 $mathbb{R}^n$ 与更一般的欧几里得空间。 基础拓扑不变量： 我们将着重讨论在同胚变换下保持不变的性质，即拓扑不变量。这包括连通性（有界连通域和路径连通性），以及至关重要的紧致性。紧致性的定义（任一开覆盖都存在有限子覆盖）将在本书中反复出现，它是分析工具，尤其是函数空间理论的基石。我们将证明紧致子集定理以及在 $mathbb{R}^n$ 上的重要推论。 商拓扑与构造空间： 为了构建更复杂的拓扑空间，我们需要掌握商拓扑的构造方法。我们将详细解释如何通过等价关系生成新的空间，例如，如何通过商拓扑理解圆 $S^1$ 是由线段 $[0, 1]$ 粘合端点得到的。这些构造方法为后续引入微分结构和李群提供了必要的背景。 第二部分：流形的概念与微分结构 在理解了抽象拓扑空间的性质后，我们将迈向微分几何的核心——流形。 预流形与局部欧几里得性： 本部分从预流形的概念开始，即满足特定分离公理的拓扑空间。流形的核心特征是其具有局部欧几里得性。我们将定义 $n$ 维流形 $M$：一个分离的、仿紧的拓扑空间，其中每个点都有一个邻域与 $mathbb{R}^n$ 中的开集同胚。 图册与坐标系： 引入图册（Atlas）的概念，即一组图映射（Chart），它们共同覆盖整个流形，并保证了局部到欧几里得空间的映射是同胚的。这种局部坐标系是我们进行微积分计算的基础。 转移映射与光滑结构： 仅有拓扑结构不足以进行微分。因此，我们引入光滑结构（Smooth Structure）。两个相邻的图映射之间的转移映射（Transition Map）必须是光滑的（无穷次可微的）。我们将严格定义光滑流形，并探讨不同图册如何能产生等价的光滑结构。读者将学习如何从已知的微分结构（如 $mathbb{R}^n$）推广到抽象空间。 切空间的概念： 光滑流形上的几何分析需要切空间的概念。我们将从函数的导数（或方向导数）出发，直观地引入切向量的物理意义。随后，我们将严格定义切空间 $T_p M$ 作为所有通过点 $p$ 的光滑曲线的“速度向量”构成的向量空间。我们将展示，在局部坐标系下，切空间可以由 $left{frac{partial}{partial x^1}, ldots, frac{partial}{partial x^n} ight}$ 这组基张成。 第三部分：向量场、张量场与微分形式 基于切空间的概念，我们可以发展出流形上的分析工具。 向量场： 向量场 $X$ 被定义为一个光滑的映射，它将流形上的每一点 $p$ 映射到其切空间 $T_p M$ 中的一个向量。我们将研究向量场的局部性质，并引入李导数和李括号 $left[X, Y ight]$。李括号是衡量两个向量场“非交换性”的核心工具，它揭示了流形的内在几何结构。 张量场： 承接线性代数中的张量概念，我们将定义流形上的张量场。这包括 $(k, l)$ 型张量场，它们是切空间 $T_p M$ 及其对偶空间 $T_p^ M$ 上的多重线性映射的推广。我们特别关注度规张量，它允许我们在流形上定义距离、角度和曲率，尽管本书侧重于基础，度规的引入将为后续更深入的几何学研究铺平道路。 微分形式： 对偶于切空间 $T_p M$，我们定义余切空间 $T_p^ M$。微分 $k$ 形式 $omega$ 是一个光滑的、定义在流形上每一点的反称（或称斜对称）多重线性函数。1-形式（或称微分 1-形式）是度量切向量的关键工具。我们将介绍楔积 $wedge$ 运算，用于组合微分形式，并最终构造出微分 $k$ 形式 $Omega^k(M)$ 空间。 外微分： 微分几何的分析核心是外微分算子 $d$。我们将定义 $d$ 算子，并证明其满足 $d^2 = 0$（即 $d circ d = 0$）这一基本性质。我们将考察 $d$ 在 0-形式（函数）、1-形式和 2-形式上的作用，并展示它与梯度、旋度和散度的关系。这为理解德拉姆上同调奠定了基础。 第四部分：深入流形上的概念：李群初步 本部分的重点是将代数结构（群论）与几何结构（流形）相结合。 群与流形结构的兼容性： 李群 $G$ 是一个既是群又是光滑流形的数学对象，其中群的乘法和求逆运算都是光滑映射。我们将探讨这种兼容性对结构的严格限制。 李代数： 紧密伴随李群的是其李代数 $mathfrak{g}$。李代数可以被直观地理解为李群在单位元处的“切空间”，并且配备了李括号运算。我们将展示，李群中的乘法结构如何诱导出李代数中的李括号结构。 指数映射： 最后，我们将定义指数映射 $exp: mathfrak{g} o G$，它将李代数中的元素（切向量）映射回李群中的元素（流形上的点）。指数映射是连接李代数的线性结构和李群的非线性几何结构的关键桥梁。我们将讨论其在小邻域内的局部可逆性。 全书的结构设计旨在提供一个从最基础的拓扑概念出发，逐步构建起光滑流形理论框架，并最终引入李群的代数-几何交汇点的严谨路径。每一步都建立在先前的定义和定理之上，确保了数学论证的完整性和深度。

评分☆☆☆☆☆

我感觉出版社没有对此书作校对，非常不应该；价格又这么高会遭天谴的：第7页（1）中第二行的G拔应该是G_i拔；个人认为倒数第4行的“其中”一词与“令”不搭配；第8页引理的陈述中“函数”后面漏掉了phi，证明中应该把“则phi”改成“且h”；第10页定义1.13正上方应该把“于”...  

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对于几何对象而言，只要一被赋予群结构，就立刻会变得很有意思，（光滑）流形赋予群结构之后就变成李群。下面我们就来讨论一下：怎样的流形可以具有李群结构？ 在讨论这个问题之前，先看一下群结构到底意味着什么？很多同学都认为群就是对称，这样的说法并不适合李群...

评分☆☆☆☆☆

我感觉出版社没有对此书作校对，非常不应该；价格又这么高会遭天谴的：第7页（1）中第二行的G拔应该是G_i拔；个人认为倒数第4行的“其中”一词与“令”不搭配；第8页引理的陈述中“函数”后面漏掉了phi，证明中应该把“则phi”改成“且h”；第10页定义1.13正上方应该把“于”...  

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从装帧设计和排版质量来看，这本书也体现了出版方对学术著作的尊重。清晰的数学符号、合理的行间距以及对图示的恰当使用，使得长时间阅读也不会造成太大的视觉疲劳。书中偶尔穿插的“历史注记”或“几何洞察”的小节，虽然不属于核心证明体系，却极大地丰富了阅读体验，让人感受到这些数学概念是历经沉淀、不断演化而来的。总而言之，这是一部值得反复阅读、在不同学习阶段都能带来新感悟的经典之作，对于任何想要认真对待微分几何和李群理论的求知者来说，都是一份不可或缺的财富。

评分☆☆☆☆☆

作为一本偏向基础构建的著作，它在后续进阶主题的引入上显得尤为克制和审慎。虽然涉及到一些微分形式和德拉姆上同调的萌芽，但作者的重点始终放在流形本身的可微结构上，避免了过早地将读者卷入复杂的上同调代数中。这种策略确保了读者在没有准备好之前，不会被过多不必要的工具分散注意力。对我来说，这意味着我可以在稳固掌握流形、切空间、张量这些基石后，再带着更成熟的视角去探索更高级的几何概念，避免了许多初学者常犯的“只见树木不见森林”的错误。它为未来的学习铺设了一条坚实且平坦的道路。

评分☆☆☆☆☆

这本书的编排风格是那种典型的、需要读者投入时间细细品味的类型。它绝非那种可以快速翻阅、只求得一个表面了解的读物。每一个定理的证明，都经过了精心的布局，力求在严谨性和可读性之间找到一个微妙的平衡点。例如，在讨论流形的嵌入定理时，作者没有仅仅给出结论，而是回顾了必要的拓扑工具，确保读者能够追溯每一步推理的合理性。对于那些希望真正掌握微分几何精髓的严肃学习者而言，这种“慢工出细活”的写作态度是极其宝贵的。它教会的不仅仅是“如何计算”，更是“如何思考”一个几何问题。

评分☆☆☆☆☆

这本初识拓扑流形与李群的读物，着实让人眼前一亮。它不仅仅是一本教科书，更像是一份精心绘制的地图，引导我们穿越那些看似抽象却又至关重要的数学概念的森林。从最初的集合论基础到流形的局部结构，作者的叙述逻辑清晰得令人称赞。尤其是在引入切空间和向量场的章节，作者巧妙地避开了那些令人望而生畏的复杂符号，转而采用更直观的几何视角来阐释这些核心概念。 我必须强调，这本书在处理“可微性”这个核心概念时，展现了极高的教学艺术。它没有将读者直接抛入微分形式的海洋，而是耐心地在流形的概念框架下，逐步建立起我们对切丛和张量场的直观理解。书中大量的例子和类比，无论是来自经典力学还是微分几何的直观图像，都极大地帮助我将抽象的定义转化为具体的、可操作的数学工具。读完前几章，我感觉自己对现代微分几何的底层逻辑有了一个前所未有的坚实基础，这对于后续学习更高深的理论至关重要。那种豁然开朗的感觉，是许多其他教材难以给予的。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我对李群部分的展开尤为欣赏。在很多教材中，李群往往被当作一个独立且略显突兀的部分被塞进来，使得读者难以将它与前面的流形理论联系起来。然而，本书采取了一种非常优雅的衔接方式，将李群的结构自然地视为一类特殊的流形——具有内在群结构的流形。作者在讨论李括号和李代数时，深入探讨了它们与指数映射之间的深刻关系，这才是真正理解李群如何作用于其切空间的关键所在。那些关于伴随表示的讨论，虽然计算略显繁琐，但其最终的物理和几何意义的阐述，让人领悟到对称性在现代物理学中的核心地位。这种将代数结构与几何结构紧密编织在一起的处理手法，无疑是本书的一大亮点。

评分☆☆☆☆☆

Too concise

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啃啊啃><

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Too concise

评分☆☆☆☆☆

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