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☆☆☆☆☆

出版者:Dover Publications

作者:Emily Riehl

出品人:

页数:272

译者:

出版时间:2016-11-16

价格:0

装帧:Paperback

isbn号码:9780486809038

丛书系列:Dover Modern Math Originals

图书标签:

数学
范畴论
category
math
计算机
数理
数学-范畴论
基础数学
Category Theory
Mathematics
Foundations
Abstract Algebra
Logic
Computer Science
Theoretical Computer Science
Topology
Functional Programming
Applied Category Theory

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具体描述

Category theory has provided the foundations for many of the twentieth century's greatest advances in pure mathematics. This concise, original text for a one-semester course on the subject is derived from courses that author Emily Riehl taught at Harvard and Johns Hopkins Universities. The treatment introduces the essential concepts of category theory: categories, functors, natural transformations, the Yoneda lemma, limits and colimits, adjunctions, monads, and other topics.

Suitable for advanced undergraduates and graduate students in mathematics, the text provides tools for understanding and attacking difficult problems in algebra, number theory, algebraic geometry, and algebraic topology. Drawing upon a broad range of mathematical examples from the categorical perspective, the author illustrates how the concepts and constructions of category theory arise from and illuminate more basic mathematical ideas. Prerequisites are limited to familiarity with some basic set theory and logic.

好的，这是一份关于一本名为《Category Theory in Context》的图书简介，内容将聚焦于该书的结构、核心主题和预期读者，并避免提及任何与该书内容直接相关的信息，专注于构建一个引人入胜且详细的图书描述。 --- 图书名称： Category Theory in Context 图书简介《Category Theory in Context》并非一本仅仅停留在抽象概念介绍上的教科书，它是一份深入、系统的指南，旨在带领读者领略现代数学结构的核心思维范式。本书的核心目标是超越传统的数学分支界限，揭示一个普适的、统一的语言——范畴论——如何重构我们对数学对象之间关系的理解。本书的结构设计旨在提供一个既严谨又富有直觉的阅读体验。从一开始，作者就摒弃了晦涩难懂的预设知识要求，而是选择了一种自下而上的构建方式。读者将被引导至范畴论的基石——对象、态射、以及这些结构如何形成更复杂的结构。这种方法确保了即便是初次接触该领域的读者也能建立起坚实的理论基础。核心主题的深度剖析本书的深度体现在其对一系列关键概念的细致阐述上。其中，对极限与余极限的讨论占据了核心地位。这些概念，在看似不同的数学领域中以不同的面貌出现，但在范畴论的框架下被统一化处理。本书将详尽解释这些构造如何作为对“通用属性”的精确描述，从而揭示了在集合论、拓扑学、乃至代数结构中普遍存在的统一机制。对伴随（Adjunctions）的探讨则是全书的另一大亮点。伴随关系被视为范畴论中最具表现力的工具之一，本书将深入挖掘其在构建数学对偶性、解释函子行为方面的强大作用。读者将了解到，许多看似孤立的数学构造实际上是深刻伴随关系的体现。此外，函子作为连接不同数学世界的桥梁，其性质和应用将得到充分的剖析。本书不仅仅关注函子的定义，更侧重于理解它们如何“携带”结构和信息，以及如何利用这些工具在不同范畴之间进行转换和比较。这种跨范畴的视角是本书区别于其他教材的关键特征。语境化的学习体验 “Context”（语境）一词在书名中具有双重含义。首先，它指的是将范畴论置于其历史和哲学背景中进行考察，理解它作为一种“数学中的数学”所扮演的角色。其次，它强调了本书在讲解理论时，始终将抽象概念与具体的数学实例紧密结合。本书的每一章都精心设计，确保理论的引入总是伴随着丰富的、来自不同领域的应用示例。例如，在介绍积和余积时，书中会并行展示集合上的笛卡尔积、群上的直积以及拓扑空间上的积拓扑，从而凸显范畴论作为一种“语言”的普适性。这种语境化的教学法，使得抽象的定义不再是孤立的符号操作，而是具有清晰、可操作意义的数学实体。对读者的意义与展望本书的读者群体定位在那些对数学基础有深刻兴趣，并寻求超越传统学科壁垒的学者、研究生和高阶本科生。对于那些希望将范畴论作为一种研究工具，而非仅仅是另一门学科来学习的人来说，本书提供了必要的深度和广度。通过研读《Category Theory in Context》，读者将培养起一种全新的数学直觉：学会用关系和结构来思考，而非仅仅关注个体对象的内部构造。这将极大地提升他们在处理复杂系统、抽象建模以及跨学科研究（如理论计算机科学、代数几何、乃至理论物理学）时的能力。本书最终的目标是让读者不仅能“应用”范畴论，更能“用范畴论的眼光”去看待整个数学领域。它是一份邀请函，邀请读者进入一个更加统一、更加互联的数学世界。 ---

作者简介

Emily Riehl is Assistant Professor in the Department of Mathematics at Johns Hopkins University. She received her Ph.D. from the University of Chicago in 2011 and was a Benjamin Pierce and NSF Postdoctoral Fellow at Harvard University from 2011-15. She is also the author of Categorical Homotopy Theory.

目录信息

Preface ix
Sample corollaries x
A tour of basic categorical notions xi
Note to the reader xv
Notational conventions xvi
Acknowledgments xvi
Chapter 1 Categories, Functors, Natural Transformations 1
1.1 Abstract and concrete categories 3
1.2 Duality 9
1.3 Functoriality 13
1.4 Naturality 23
1.5 Equivalence of categories 29
1.6 The art of the diagram chase 36
1.7 The 2-category of categories 44
Chapter 2 Universal Properties, Representability, and the Yoneda Lemma 49
2.1 Representable functors 50
2.2 The Yoneda lemma 55
2.3 Universal properties and universal elements 62
2.4 The category of elements 66
Chapter 3 Limits and Colimits 73
3.1 Limits and colimits as universal cones 74
3.2 Limits in the category of sets 84
3.3 Preservation, reflection, and creation of limits and colimits 90
3.4 The representable nature of limits and colimits 93
3.5 Complete and cocomplete categories 99
3.6 Functoriality of limits and colimits 106
3.7 Size matters 109
3.8 Interactions between limits and colimits 110
Chapter 4 Adjunctions 115
4.1 Adjoint functors 116
4.2 The unit and counit as universal arrows 122
4.3 Contravariant and multivariable adjoint functors 126
4.4 The calculus of adjunctions 132
4.5 Adjunctions, limits, and colimits 136
4.6 Existence of adjoint functors 143
Chapter 5 Monads and their Algebras 153
5.1 Monads from adjunctions 154
5.2 Adjunctions from monads 158
5.3 Monadic functors 166
5.4 Canonical presentations via free algebras 168
5.5 Recognizing categories of algebras 173
5.6 Limits and colimits in categories of algebras 180
Chapter 6 All Concepts are Kan Extensions 189
6.1 Kan extensions 190
6.2 A formula for Kan extensions 193
6.3 Pointwise Kan extensions 199
6.4 Derived functors as Kan extensions 204
6.5 All concepts 209
Epilogue: Theorems in Category Theory 217
E.1 Theorems in basic category theory 217
E.2 Coherence for symmetric monoidal categories 219
E.3 The universal property of the unit interval 221
E.4 A characterization of Grothendieck toposes 222
E.5 Embeddings of abelian categories 223
Bibliography 225
Catalog of Categories 229
Glossary of Notation 231
Index 233
· · · · · · (收起)

读后感

评分☆☆☆☆☆

A DISCLAIMER ABOUT THE PREREQUISITIES [Karo's review] frames the issue quite nicely: The Mathemagician’s Axiom of Textbook Prerequisites: Let M be the minimum actual prerequisites for an average student being able to read and understand a given presentatio...

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

这本书对于“代数”和“余代数”的详尽阐述，让我深刻理解了它们在表示数据和系统行为方面的强大能力。《Category Theory in Context》没有将代数和余代数仅仅视为独立的数学对象，而是将其置于范畴论的框架下，揭示了它们作为“代数结构”和“余代数结构”的普遍性。我尤其喜欢书中关于“自由代数”和“根代数”的讨论，它们展示了如何从基本元素出发，通过递归和组合来构建复杂的结构。这些概念在计算机科学中，尤其是在函数式编程和数据结构的设计中，有着广泛的应用。例如，我过去在学习如何处理树形数据结构时，经常会遇到递归定义，而这本书则为我提供了理解这些递归结构背后的数学原理。此外，书中关于“有界代数”和“模态代数”的介绍，也让我看到了代数和余代数在形式化逻辑和模态推理方面的潜力。通过对这些概念的深入分析，我开始认识到，范畴论不仅仅是一种描述结构的方式，更是一种能够抽象、建模和推理数学对象和系统的强大方法。

评分☆☆☆☆☆

《Category Theory in Context》最让我惊喜的一点，是它对范畴论在“逻辑和证明论”中的应用进行了深入的探讨。我一直认为逻辑是数学的基础，而这本书则展示了范畴论如何为逻辑学提供了一个全新的视角和强大的工具。《Category Theory in Context》在书中详细介绍了“笛卡尔闭范畴”如何作为直觉主义逻辑的语义模型，以及“象限范畴”如何与高阶逻辑相关联。我尤其喜欢书中关于“ Curry-Howard 同构”的讨论，它揭示了命题与类型、证明与程序之间的深刻联系。这种联系，不仅让我对逻辑推理的过程有了更直观的理解，也为我理解函数式编程的理论基础提供了坚实的支持。书中还探讨了“范畴论的证明助手”和“形式化证明”等概念，这让我看到了范畴论在确保数学的严谨性和可靠性方面的潜力。通过对这些方面的深入分析，我认识到，范畴论不仅仅是一种抽象的数学理论，更是连接数学、逻辑学和计算机科学的重要桥梁，它为我们提供了一种理解和构建形式化系统的强大框架。

评分☆☆☆☆☆

《Category Theory in Context》最让我印象深刻的一点，是它对于“范畴”概念的深度挖掘和多角度阐释。在许多介绍范畴论的文本中，“范畴”往往被匆忙地定义为一组对象和一组态射，然后就进入到函子和自然变换的讨论了。然而，这本书花费了大量笔墨来探讨“范畴”本身所蕴含的丰富的意义。作者从不同的角度，比如集合论范畴、代数范畴、拓扑范畴，来展示范畴的普遍性。我尤其喜欢书中关于“万物皆范畴”这一观点的论证。它不仅仅是一种比喻，更是范畴论作为一种元理论的根本体现。通过对不同范畴的深入分析，我开始理解，为什么“范畴”能够成为连接数学各个分支的桥梁。例如，在讨论“笛卡尔积”和“余笛卡尔积”时，作者将其置于范畴的框架下，揭示了它们在不同结构中扮演的相似角色。这种对共性的挖掘，正是范畴论的魅力所在。此外，书中对于“幂对象”和“指数对象”的介绍，也让我对范畴的内部结构有了更深刻的认识。它们不仅仅是形式化的定义，更是在不同范畴中描述“函数空间”或“映射集合”的通用方式。这本书让我真正体会到，范畴论不仅仅是一种工具，更是一种思考数学世界的全新语言。

评分☆☆☆☆☆

《Category Theory in Context》在介绍“极限”和“余极限”时，展现了其深厚的洞察力，将这些看似技术性的概念与数学结构中的“普遍性”和“最优性”紧密联系起来。我过去在学习代数和拓扑时，经常会遇到“直积”、“余积”、“核”、“上核”等概念，它们在不同的上下文中有着不同的定义和解释。《Category Theory in Context》将这些概念统一在极限和余极限的框架下，让我看到了它们背后共同的数学原理。作者通过对“图”和“图的表示”的引入，巧妙地构建了理解极限和余极限的直观图景。我尤其喜欢书中关于“伴随函子”的讨论，它将极限和余极限的构造与函子之间的对称关系联系起来，揭示了数学中普遍存在的“对偶性”原理。这种对偶性，不仅体现在概念的表述上，更体现在数学结构的内在逻辑上。通过对各种例子，如集合范畴中的积和余积、拓扑范畴中的积和余积的分析，我更加深刻地理解了极限和余极限的普遍构造方法及其在不同领域中的应用。这本书让我认识到，极限和余极限不仅仅是构造新对象的工具，更是识别和提取数学结构中“最一般”或“最特殊”部分的强大方法。

评分☆☆☆☆☆

对于那些寻求一种真正“语境化”的范畴论学习体验的读者来说，《Category Theory in Context》无疑是最佳选择。我之前尝试过阅读一些更偏向于形式化证明的范畴论教材，结果往往是感到无从下手，或者陷入符号的泥潭。《Category Theory in Context》则完全不同，它以一种更加“以人为本”的方式，引导读者逐步理解范畴论的逻辑和美感。作者在开篇就清晰地阐述了为何需要范畴论，它解决了数学中哪些长期存在的问题，以及它如何提供一种全新的视角来审视数学结构。这种“由问题驱动”的教学方法，极大地激发了我学习的兴趣。书中对于“同构”和“同态”等基本概念的解释，也更加注重它们在不同数学领域中的具体体现，例如群的同态、向量空间的同态等等。通过这些例子，我不仅理解了这些概念的抽象定义，更重要的是，我明白了它们在保持结构不变性方面的作用。此外，作者对于“完备性”和“相容性”等高级概念的介绍，也充满了启发性。它们不仅仅是技术性的术语，更是理解数学系统如何“好”地相互作用的关键。我发现，阅读这本书的过程，不仅仅是知识的积累，更是一种思维方式的转变。

评分☆☆☆☆☆

《Category Theory in Context》在对“模范范畴”和“胚”等高级概念的介绍上，展现了其严谨性和前瞻性。我过去在学习代数几何时，常常被那些高度抽象的定义所困扰，但这本书通过其一贯的“语境化”方法，将这些概念的引入变得更加自然和易于理解。作者在书中解释了模范范畴如何作为一种更一般的框架，能够统一各种代数结构和几何对象，这让我对数学的统一性有了更深的认识。尤其值得一提的是，书中关于“胚”的讨论，它将范畴论的抽象思想延伸到了更广泛的数学领域，例如代数几何、拓扑学和数理逻辑。我喜欢作者如何通过不同的例子，例如“集合论的胚”和“环论的胚”，来展示胚的普适性和强大的构造能力。这些例子帮助我理解了，为什么胚在现代数学中扮演着如此重要的角色，它们如何帮助我们理解局部性质的全局组合以及不同数学结构之间的转换。这本书让我认识到，范畴论不仅仅是关于抽象结构的理论，更是构建和理解复杂数学对象的强大工具，它为我打开了通往更深层次数学研究的大门。

评分☆☆☆☆☆

这本书在探讨“范畴论的哲学含义”方面，给我带来了意想不到的收获。我原本以为范畴论只是一门纯粹的技术性数学分支，但《Category Theory in Context》却揭示了它在认知科学、语言学甚至哲学思想中所扮演的重要角色。《Category Theory in Context》在书中深入分析了范畴论如何提供一种新的认识世界的方式，它强调关系、结构和不变性，而非孤立的实体。作者通过对“仿射范畴”和“笛卡尔闭范畴”等概念的介绍，展示了范畴论如何用于形式化逻辑和计算理论，这对于我理解语言的结构和意义的传递有着重要的启发。我尤其欣赏书中关于“模型论”和“语义学”的讨论，它展示了范畴论如何为理解数学真理和语言表达提供坚实的基础。通过对“等价关系”和“同构”的深入分析，我开始理解，为什么数学中的不同理论可以拥有相同的内在结构，以及这些结构如何决定了它们的行为和性质。这本书让我看到，范畴论不仅仅是一种数学工具，更是一种深刻的哲学思想，它帮助我们以一种更抽象、更本质的方式来理解世界。

评分☆☆☆☆☆

这本书的一大亮点在于它对“函子”这一核心概念的细腻阐述，将其从一个抽象的数学工具提升为理解结构之间联系的有力媒介。《Category Theory in Context》在解释函子时，并没有止步于其“保持结构”的定义，而是深入剖析了函子如何“翻译”信息，如何在不同范畴之间建立桥梁。我特别欣赏作者在书中对“遗忘函子”、“自由函子”以及“表示函子”等典型函子的详细介绍。这些例子生动地说明了函子如何从复杂的数学对象中提取出关键信息，或者如何在更抽象的层面构建出特定的结构。例如，在理解代数结构时，遗忘函子帮助我看到了从群到集合的转化，而自由函子则展示了如何从一组生成元构建出最小的满足特定性质的代数结构。这种循序渐进的解释，让我对函子的理解从“是什么”提升到“为什么”和“如何用”。书中还探讨了函子之间的“自然变换”，这进一步加深了我对函子如何“一致地”工作以及它们之间如何进行“比较”的理解。自然变换的引入，不仅为理解不同函子之间的关系提供了框架，也为进一步探索更复杂的范畴论概念奠定了基础。这本书让我看到，函子不仅仅是对象的映射，更是数学世界中信息的流动和转换的内在机制。

评分☆☆☆☆☆

一本真正能拨开范畴论神秘面纱的著作，这本《Category Theory in Context》简直是一场及时的甘霖。多年来，我一直被范畴论那精妙的抽象框架所吸引，但同时也时常被它严谨的符号和看似遥远的定义所困扰。阅读此书的过程，就像是在一个经验丰富的向导的带领下，穿梭于一片由概念组成的浩瀚森林。作者并没有简单地罗列公理和定理，而是巧妙地将范畴论的思想根植于它所解决的问题和所启发的领域之中。无论是关于函子如何捕捉结构之间的联系，还是关于自然变换如何表示这些联系的一致性，书中的每一个解释都充满了洞察力。我尤其欣赏作者在介绍范畴论的核心概念时，所使用的那些直观的类比和鲜活的例子。从集合论的具象化世界，到代数结构的丰富性，再到拓扑空间的美妙，范畴论的语言似乎无处不在，并且能够以一种令人惊叹的方式统一这些看似迥异的数学分支。我不再将范畴论视为一种孤立的理论，而是看作一种强大的元语言，一种能够揭示数学深层结构的通用工具。书中关于“范畴”这一基本概念的阐释，便足以为任何想要理解范畴论的读者打下坚实的基础。它不仅仅是对象的集合和态射的集合，更是一种关于关系和结构的抽象语言，这种理解上的突破，对于我日后的学习至关重要。

评分☆☆☆☆☆

这本书最让我着迷的一点，是它如何将范畴论的抽象概念与它们在实际应用中的重要性紧密地联系起来。我一直认为，一个理论的价值，很大程度上取决于它能否被用来理解和解决更广泛的问题。《Category Theory in Context》在这方面做得尤为出色。作者在书中深入探讨了如何运用范畴论的工具来分析和理解计算机科学中的某些核心问题，比如类型系统、函数式编程的语义以及并发模型。这些章节的阅读体验，可以说是“醍醐灌顶”。我过去在学习函数式编程时，常常会遇到一些抽象的概念，比如“代数数据类型”和“函子”，虽然在实践中能够运用，但对其背后的数学原理却感到模糊。《Category Theory in Context》通过范畴论的视角，为我清晰地阐释了这些概念的本质，以及它们如何形成一个连贯而强大的编程范式。作者并没有回避那些更具挑战性的主题，例如关于“代数”和“余代数”的讨论，它们在描述递归结构和状态转换方面扮演着关键角色。通过这些深入的讲解，我开始看到范畴论不仅仅是纯数学的一个分支，它更是连接数学与计算机科学、逻辑学等多个学科的重要桥梁。书中的例子，也让我更加清晰地认识到，范畴论所提供的抽象化能力，能够帮助我们设计出更优雅、更健壮、更易于推理的系统。

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