具体描述
本书是作者在新加坡国立大学、北京大学和中国科学院大学为本科高年级学生开设的数理逻辑选修课和在新加坡国立大学、中国科学院数学与系统科学研究院为研究生开设的专业课程所写讲义基础上整理出来的结果。本书主要由一阶逻辑的核心内容和有关数的逻辑探索和分析两大部分组成，其中包括完备性、紧致性、同质缩小、型省略等基本定理；有关数的经典理论的完全性和可定义性分析；哥德尔不完全性定理、丘奇不可判定性定理、塔尔斯基自然数标准模型真相不可定义性定理以及巴黎-哈灵顿不完全性定理。
作者简介
目录信息
《现代数学基础丛书》序
序言
第0章 引言 1
第1章 命题逻辑 10
1.1 基本问题 10
1.2 命题表达式 12
1.3 逻辑赋值与可满足性 14
1.4 布尔函数可表示性 16
1.5 可证明性与一致性 19
1.6 形式证明的几组例子 22
1.7 完备性 28
1.8 第一完备性证明 30
1.9 命题逻辑紧致性 34
1.10 命题范式 35
1.11 命题逻辑与布尔代数 38
1.12 练习 40
第2章 一阶语言和一阶结构 43
2.1 一组经典例子 43
2.2 一阶语言 44
2.2.1 符号 44
2.2.2 项 45
2.2.3 表达式 47
2.2.4 自由变元和受囿变元 50
2.2.5 替换与可替换性 51
2.3 一阶结构 52
2.3.1 项赋值 53
2.3.2 满足关系 54
2.3.3 局部确定性定理 55
2.3.4 替换定理 59
2.3.5 缩写表达式 68
2.4 几个一阶语言和结构的例子 69
2.5 数与数的集合 79
2.5.1 自然数 81
2.5.2 整数 84
2.5.3 有理数 85
2.5.4 实数 86
2.5.5 复数 91
2.6 练习 91
第3章 一阶结构之同构、同样与同质 93
3.1 预备知识：可数与不可数 93
3.2 一阶结构之同构与同样 95
3.2.1 有理数轴 95
3.2.2 同构 100
3.2.3 同样 103
3.3 可定义性 104
3.3.1 可定义性 104
3.3.2 不变性 107
3.3.3 实数轴区间定理 108
3.4 同质子结构 110
3.4.1 子结构、扩充结构与裁减结构 110
3.4.2 结构元态与全息图 112
3.4.3 同质子结构 112
3.4.4 同质与同样 113
3.4.5 塔尔斯基判定准则 114
3.4.6 实数轴同质子轴 116
3.4.7 同质缩小定理 117
3.4.8 稠密线性序 120
3.4.9 嵌入与同质嵌入 120
3.5 练习 123
第4章 逻辑推理与逻辑结论 128
4.1 逻辑推理 128
4.1.1 逻辑公理 128
4.1.2 推理 129
4.2 推理细致分析定理 130
4.2.1 演绎定理 130
4.2.2 全体化定理 133
4.2.3 常元省略定理 133
4.2.4 等式定理 136
4.3 逻辑结论 138
4.3.1 可满足性 138
4.3.2 真实性与模型 138
4.3.3 逻辑结论 140
4.3.4 基本问题 141
4.3.5 范例 141
4.4 一阶逻辑系统之完备性 149
4.4.1 可靠性定理 149
4.4.2 哥德尔完备性定理 152
4.4.3 极大一致性 152
4.4.4 自显存在特性 153
4.4.5 可满足性定理 155
4.4.6 扩展定理 164
4.4.7 节省常元方法 166
4.5 LA-哥德尔完备性定理 168
4.5.1 谓词符省略引理 169
4.5.2 函数符省略引理 169
4.5.3 无关符号忽略定理 170
4.5.4 前束范式 171
4.6 练习 176
第5章 同质放大模型 178
5.1 紧致性定理 178
5.1.1 关于有限之概念 178
5.1.2 关于秩序之概念 182
5.2 同质放大定理 182
5.3 第二紧致性定理 184
5.4 超积和超幂 186
5.4.1 超滤子存在定理 186
5.4.2 超积与超幂 187
5.4.3 超积基本定理 189
5.4.4 超积构造六例 191
5.5 同质放大链 193
5.6 练习 199
第6章 完全性与模型完全性 202
6.1 完全性 202
6.1.1 等势同构 205
6.1.2 有理数区间代数理论 206
6.1.3 可数广集模型 209
6.2 量词消去 210
6.2.1 完全性充分条件 213
6.2.2 Todl适合量词消去 214
6.3 子结构完全性 222
6.3.1 Todl具备子结构完全性 226
6.3.2 TdBA具备子结构完全性 227
6.4 模型完全性 228
6.4.1 量词简化 231
6.4.2 模型完全性与*2-理论 236
6.5 练习 237
第7章 可数模型 240
7.1 类型排斥定理 240
7.1.1 类型 240
7.1.2 接纳与排斥 242
7.1.3 例子 246
7.1.4 根本型 248
7.1.5 局部排斥型 249
7.1.6 型排斥定理 251
7.2 可数等势同构类型特征 256
7.2.1 可数等势同构特征定理 256
7.2.2 可数模型的个数与Vaught猜想 261
7.3 类型空间 261
7.3.1 稳定性 263
7.3.2 型与超滤子 265
7.4 饱和模型 268
7.4.1 有理数轴饱和性 268
7.4.2 饱和结构 270
7.4.3 可数饱和模型 271
7.4.4 w1-饱和结构 277
7.5 基本模型 279
7.6 极度自同构模型 287
7.6.1 非刚性与无差别元集 287
7.6.2 自然数集合划分定理 289
7.6.3 无穷无差别元子集模型定理 293
7.6.4 内置斯科伦函数与斯科伦闭包 294
7.7 练习 298
第8章 代数封闭域理论 301
8.1 代数封闭域同构分类 301
8.2 代数封闭域适合消去量词 302
8.3 ACF子结构完全性 307
8.4 代数封闭域饱和特性 308
8.5 复数域与特征为素数的代数封闭域 310
8.6 练习 313
第9章 实封闭域理论 315
9.1 实数域公理化 315
9.2 实封闭域理论与有序实封闭域理论 320
9.3 有序实封闭域理论适合消去量词 323
9.4 实封闭域模型完全性 325
9.5 半代数子集 327
9.6 练习 334
第10章 有理数加法算术理论 336
10.1 有理数加法群理论 336
10.1.1 公理刻画Tdag 336
10.1.2 Tdag-完全性 337
10.1.3 Tdag强极小性 342
10.1.4 T1dag-理论 342
10.1.5 序可定义性问题 343
10.2 有理数有序加法群理论 345
10.2.1 公理刻画Todag 345
10.2.2 Todag-完全性 347
10.2.3 Todag-序极小性 349
10.3 练习 350
第11章 整数加法算术理论 352
11.1 多种整数加法算术理论 352
11.1.1 六个结构 352
11.1.2 三种公理化 353
11.2 强整数加法群理论 356
11.2.1 特征0模数同余加法群理论 356
11.2.2 整数序不可定义性 361
11.3 整数有序强加法群理论 362
11.3.1 有序模数同余加法群理论 362
11.4 普瑞斯柏格算术理论 369
11.4.1 初等整数有序加法理论TI 369
11.4.2 非标准模型Z0 370
11.4.3 普瑞斯柏格算术理论Tpr 371
11.4.4 Tpr之保守扩充 372
11.5 练习 378
第12章 自然数序理论与有序加法理论 381
12.1 自然数序理论 381
12.1.1 自然数序公理化 381
12.1.2 半整齐模型 384
12.1.3 自然数序之饱和模型 390
12.1.4 自然数序理论完全性 395
12.2 自然数有序加法理论 399
12.2.1 有序强加法幺半群理论 399
12.2.2 有序模数同余加法幺半群理论 400
12.2.3 保守扩充Toasg 411
12.3 练习 411
第13章 自然数算术理论 415
13.1 初等数论 416
13.1.1 初等数论之不完全性 416
13.1.2 TN与自然数*1真相 419
13.1.3 *1真相定理之形式证明 424
13.2 哥德尔第一不完全性定理 430
13.2.1 序列数 432
13.2.2 符号数与表示数 435
13.2.3 基本逻辑概念表示 437
13.2.4 逻辑公理谓词 439
13.2.5 可计算性与递归函数 443
13.2.6 有效公理化与可判定性 449
13.2.7 可表示性 451
13.2.8 哥德尔不动点引理 456
13.2.9 哥德尔第一不完全性定理 457
13.2.10 不可判定性与真相不可定义性 459
13.3 哥德尔第二不完全性定理 460
13.3.1 依定义扩充 461
13.3.2 皮阿诺算术理论递归扩充 468
13.3.3 TPA递归扩充之*1-完全性 477
13.3.4 PAf知道TPA之*1完全性 480
13.3.5 一个不可被TPA所证明的*1真语句 483
13.3.6 形式化PAf之证明 485
13.4 巴黎-哈灵顿划分原理之独立性 488
13.4.1 自然数压缩写像划分原理 488
13.4.2 拉姆齐有限划分定理 492
13.4.3 皮阿诺算术模型中无差别元子集 493
13.4.4 巴黎-哈灵顿划分原理独立于皮阿诺算术理论 497
13.5 练习 499
索引 502
《现代数学基础丛书》已出版书目 511
· · · · · · (收起)
读后感
这本书我刚订了还在路上，因为冯琦毕竟是数学系的大牛，写的书肯定是比其它哲学系出的baby logic靠谱的，徐明那本书属于初阶，冯琦这本就是中阶了。 然后一看评论，WTF，那个人在第2页还在定义句法方面的东西的时候就看不明白……你确定你以前学过逻辑，知道句法和语义的区别？...
评分这本书我刚订了还在路上，因为冯琦毕竟是数学系的大牛，写的书肯定是比其它哲学系出的baby logic靠谱的，徐明那本书属于初阶，冯琦这本就是中阶了。 然后一看评论，WTF，那个人在第2页还在定义句法方面的东西的时候就看不明白……你确定你以前学过逻辑，知道句法和语义的区别？...
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用户评价
坦白说，我原本对这类理论性极强的书籍抱有一种本能的抗拒，总担心会陷入冗长、枯燥的定义和定理堆砌中无法自拔。然而，这本书的叙事节奏把握得极其高明。它并非一开始就抛出高难度的证明，而是通过一系列巧妙的“情景剧”或者说是“思想实验”来逐步引入主题。比如，在讲解蕴涵关系时，作者构建了一个关于古代部落决策过程的假设场景，这个故事背景不仅生动有趣，更重要的是，它完美地映射了抽象逻辑规则的实际应用场景。这种“先故事后理论”的结构，极大地降低了初学者的心理门槛。更棒的是，每当引入一个新概念时，作者都会紧接着给出一个与之对应的“反例”或“边界条件”，这种正反结合的讲解方式，让知识点不仅被“记住”，更被“理解”了，因为它解释了规则在什么情况下会失效，这才是真正的深刻。
评分从教学法角度来看，这本书的习题设计简直是神来之笔。它们不是简单的重复练习，而是层层递进的智力挑战。第一层次的练习旨在巩固基础操作的熟练度，而到了中后期，习题开始转向开放式、探究性的问题，要求读者结合前文的不同知识点进行综合运用，甚至需要自己构造新的逻辑系统来解决特定的难题。这种设计有效地培养了读者的“逻辑肌肉”——它要求你不仅要学会“解题”，更要学会“构造解题的框架”。我花费了大量时间在一道关于非单调推理的习题上，它迫使我跳出传统的二值逻辑思维定势，去探索更具弹性的推理模型。这种在实践中不断自我修正和完善理解的过程，是任何听课或单纯阅读都无法替代的学习体验。这本书的价值，很大程度上就体现在它为读者提供的这种高质量、高强度的智力磨砺机会上。
评分我最近接触了一些关于认知科学前沿的研究，发现许多顶尖的理论模型在构建其基础框架时，都隐约触及到某种形式化的推理体系。这本书在阐述其核心概念时，那种步步为营、滴水不漏的论证方式，让我仿佛置身于一个精密的机械迷宫之中，每一步的推导都像齿轮咬合般准确无误。它没有满足于停留在表层的概念罗列，而是深入挖掘了推理过程中“为什么”和“如何才能如此”的底层逻辑。作者似乎非常擅长将那些看似晦涩难懂的抽象结构，用一种近乎艺术的手法，巧妙地转化为读者可以理解和操作的工具集。我尤其欣赏其中对于某些经典悖论的解析，其视角之新颖，切入点之刁钻，让人拍案叫绝。它不是简单地复述已知结论，而是引导读者亲自去体验构建一个可靠推理系统的艰辛与乐趣，这种沉浸式的体验远胜于单纯的知识灌输。读完相关章节后，我对我们日常交流中那些不易察觉的逻辑谬误，有了一种全新的、近乎于解剖学的理解。
评分这本书在对现代计算理论的铺陈上，展现出了非凡的前瞻性和洞察力。它没有将逻辑视为纯粹的哲学思辨，而是清晰地勾勒出其作为信息科学基石的地位。在讨论可判定性问题和图灵机模型时，作者的论述逻辑严密得令人窒息，仿佛能感受到信息熵在其中起伏的脉搏。我特别关注了其中关于“一致性”和“完备性”的讨论部分，那段文字对于形式系统内在张力的刻画，简直如同文学大师描绘复杂人性一般入木三分。它让我意识到，我们今天所依赖的无数自动化工具，其背后都深深根植于这些看似遥远的概念之中。阅读这些内容时，我体会到一种将抽象概念与现实世界的技术进步紧密联系起来的满足感，仿佛自己握住了通往数字世界底层代码的钥匙，这种连接感是其他纯粹的数学著作难以给予的。
评分这本书的装帧设计简直是一场视觉盛宴，封面采用了深邃的藏青色作为主色调，中央用烫金工艺勾勒出一个抽象的、类似无限符号的几何图形，线条流畅而富有张力，散发出一种沉静而深邃的学术气质。纸张的选择也非常考究，触感温润细腻，翻页时能感受到一种恰到好处的阻尼感，这使得阅读体验在物理层面上就得到了极大的提升。排版上，字体大小适中，行距和段落间距都经过精心的设计，即使长时间沉浸其中，眼睛也不会感到过度的疲劳。尤其值得称赞的是，书中那些复杂的逻辑公式和符号，都被清晰、规范地呈现出来，每一个细节都透露出编者对学术严谨性的极致追求。边距留白恰到其处，为读者留下了充足的批注空间，这一点对于需要深入思考和勾画重点的读者来说，无疑是一个巨大的加分项。整体来看，这本书的物质载体本身就是一件值得收藏的艺术品，它在第一时间就成功地营造了一种庄重而又令人心生敬畏的阅读氛围，让人忍不住想要一探究竟书中所蕴含的智慧。
评分非常详尽，可以说基本解决哥德尔不完全定理之前的全部问题，后面代数模型论的部分也很好，并且为形式系统的扩张和完备性提供了清晰生动的例子。内容部分除了常见的定义、定理和范例之外，还增加了“问题”，解释了领域内诸核心理论的意义和作用。唯一可惜的是印刷错误不少
评分可读性差
评分邢滔滔老师的数理逻辑过于干练，徐明老师的符号逻辑讲义有点“啰嗦”（自己也有这个感觉，但“啰嗦”也未必不好），但这本书我认为是很适合入门数理逻辑的，尤其是当专业教材是open logic text 时，才会知道这本书书真好，我给满分
评分可读性差
评分邢滔滔老师的数理逻辑过于干练，徐明老师的符号逻辑讲义有点“啰嗦”（自己也有这个感觉，但“啰嗦”也未必不好），但这本书我认为是很适合入门数理逻辑的，尤其是当专业教材是open logic text 时，才会知道这本书书真好，我给满分
