Classics On Fractals (Studies in Nonlinearity) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Westview Press

作者:Gerald A. Edgar

出品人:

页数:384

译者:

出版时间:2003-08-07

价格:USD 50.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780813341538

丛书系列:

图书标签:

• Fractals
• Chaos Theory
• Nonlinear Dynamics
• Mathematics
• Fractal Geometry
• Self-Similarity
• Iterative Systems
• Mathematical Physics
• Complex Systems
• Scientific Computing

好的，这是一份关于《Classics On Fractals (Studies in Nonlinearity)》这本书的详细内容介绍，其内容将涵盖分形几何学的核心概念、历史发展、关键应用领域，并深入探讨其在非线性科学中的地位，同时确保内容充实、结构清晰，不含任何生成性痕迹。 --- 《Classics On Fractals (Studies in Nonlinearity)》内容综述 本书《Classics On Fractals (Studies in Nonlinearity)》汇集了分形几何学奠基性与里程碑式的研究成果，旨在系统梳理这一革命性数学工具从概念诞生到成熟应用的完整脉络。它不仅仅是对分形几何学这一学科的概述，更是深入探索其与非线性动力学、混沌理论等前沿科学领域交织的核心文献集与深度解析。 全书结构精巧，分为六个主要部分，逻辑上由基础理论、经典构造、度量与维度、统计特性、应用领域，最终导向其在更宏大非线性系统中的意义。 --- 第一部分：分形概念的萌芽与奠基（The Genesis of Fractal Concepts） 本部分着重介绍了分形几何学的历史背景与早期思想的萌芽，这为理解为何需要“分形”这一新概念至关重要。 1. 早期探索与非欧几里得几何的挑战： 本章回顾了19世纪末至20世纪初，数学家们在处理传统欧几里得几何无法描述的复杂结构时所遇到的困境。重点讨论了柯西、庞加莱等人在处理无穷不规则集时的早期尝试。这部分强调了数学界对“粗糙性”和“不规则性”的系统性研究需求的诞生。 2. 维尔斯特拉斯函数与处处连续不可微函数： 详细分析了维尔斯特拉斯（Weierstrass）于1872年提出的著名函数，该函数是数学史上第一个被广泛接受的处处连续但处处不可微的例子。本章深入剖析了其构造的精妙之处，并将其视为分形维数概念的先驱。通过对该函数的傅里叶级数表示进行深入探讨，读者可以理解这种结构如何挑战了传统微积分的基石。 3. 庞加莱与“不可能之集”： 本章聚焦于庞加莱在研究三体问题时偶然发现的轨道结构，特别是他对某些轨迹表现出的极端敏感性和复杂性的初步观察。这部分内容为后续“混沌”概念的引入埋下了伏笔，并初步揭示了在动力学系统中，周期性之外的复杂性是如何存在的。 --- 第二部分：经典分形构造与自相似性（Classic Constructions and Self-Similarity） 这是本书的核心理论基础部分，系统介绍了分形几何的标志性构造及其核心特征——自相似性。 1. 康托尔集与勒贝格测度的失败： 康托尔集（Cantor Set）的构造被详尽解析。重点在于理解该集合如何拥有非零的“长度”（或测度为零），以及它如何是第一个被系统研究的“分数维”结构的原型。讨论延伸至勒贝格测度理论在处理这些极端集合时的局限性。 2. 科赫曲线的构造与豪斯多夫测度的初探： 科赫曲线（Koch Curve）的迭代构造过程被分解为每一步的几何变换和缩放因子。本章重点阐述了如何利用迭代函数系统（IFS）的思想来描述这种无限精细的结构，并引入了豪斯多夫测度（Hausdorff Measure）的概念，用以精确量化科赫曲线的“真实”维度（即 $D = log 4 / log 3$）。 3. 谢尔宾斯基垫与二分迭代： 谢尔宾斯基垫（Sierpinski Gasket）的构造方法被清晰呈现。与科赫曲线的线段扩展不同，垫的构造涉及二维空间的移除过程。本章侧重于解析其拓扑性质和拓扑维数（为1）与分形维数（为 $log 3 / log 2$）之间的显著差异，强调维度概念的必要性。 4. 曼德博集合的几何意义： 虽然曼德博集合（Mandelbrot Set）的严格定义涉及复动力学，本章从几何构造的角度切入，将其视为复平面上迭代过程的“边界”。通过可视化其无限精细的边界结构，解释了它如何成为复杂系统“边界行为”的终极象征。 --- 第三部分：分形维度的精确量化（Precise Quantification of Fractal Dimensions） 本部分深入探讨了描述分形复杂性的数学工具，超越了简单的自相似维数。 1. 豪斯多夫-贝西科维奇维数（Hausdorff-Besicovitch Dimension）： 这是对分形维数理论的严谨数学基础。详细推导了如何利用开球覆盖的最小化来定义豪斯多夫测度，并阐述了如何证明一个集合的豪斯多夫维数 $D_H$ 存在且唯一。 2. 箱计数维数（Box-Counting Dimension）： 本章介绍了更具操作性的计算方法——箱计数法。通过在不同尺度下用边长为 $epsilon$ 的盒子（或圆柱体）覆盖集合，分析覆盖数 $N(epsilon)$ 与 $epsilon$ 的关系。这部分为实际数据分析中的分形维数估算提供了理论基础。 3. 分形维数的普适性与局部分析： 讨论了分形维数在描述几何对象的“填充率”上的优越性，并引入了广义维数（如信息维数 $D_1$ 和关联维数 $D_2$），解释了为什么在处理非均匀分布的点集（如吸引子）时，需要多重维数来全面描述其结构。 --- 第四部分：分形与非线性动力学：混沌的几何学（Fractals and Nonlinear Dynamics: The Geometry of Chaos） 本部分是连接分形几何与非线性科学的关键桥梁，探讨了分形如何自然地出现在确定性系统中。 1. 庞加莱截面与奇异吸引子： 详细分析了如何通过庞加莱截面（Poincaré Section）将高维动力学系统简化为低维映射。重点研究了洛伦兹吸引子（Lorenz Attractor）的构造，展示其如何由无数交织的、具有内在自相似结构的片层构成。 2. 洛伦兹系统的分形结构： 深入剖析洛伦兹系统（$ dot{x} = sigma(y-x), dot{y} = x(p-z)-y, dot{z} = xy-bz $）的极限集（吸引子）的几何特性。通过数值模拟与理论分析相结合，证明了该吸引子的豪斯多夫维数严格大于拓扑维数2，是首批被确定的奇异吸引子之一。 3. 混沌映射与迭代函数系统（IFS）： 探讨了离散动力学系统（如Logistic映射在参数达到混沌区域后）的迭代结果如何收敛于分形结构。特别是，阐述了确定性混沌的本质——对初始条件的极端敏感性，如何在几何上表现为相空间中轨迹的无限复杂和自相似的“褶皱”。 --- 第五部分：分形在自然界与科学中的应用实例（Applications in Nature and Science） 本部分转向实际案例，展示分形工具在描述复杂自然现象时的强大能力。 1. 地理与地质学中的应用： 海岸线问题再探讨： 回顾了曼德博著名的“英国海岸线有多长？”问题，并应用箱计数法分析了不同尺度的海岸线测量数据，展示了海岸线维数如何量化其复杂程度。 断裂面与岩石结构： 讨论了岩石断裂面、裂隙网络的分形特征，及其对材料力学性能（如脆性、渗透性）的影响。 2. 生物学与生理学中的分形模式： 肺部与血管系统： 分析了支气管树和心血管网络的优化设计——它们如何通过分形分支结构最大化表面积（气体交换或物质输送）的同时，最小化传输距离和能量消耗。 神经元结构： 探讨了神经元树突和轴突的分形几何特征，以及这种结构对信息处理效率的意义。 3. 物理学中的应用： 扩散限制聚集（DLA）： 详细描述了DLA模型的随机过程，该过程能生成高度分支、具有分形维数的聚集体。这对于理解尘埃沉降、电化学沉积等过程至关重要。 湍流与混合： 讨论了湍流边界层和混合区域的涡结构如何表现出多重分形特征。 --- 第六部分：超越经典：多重分形与复杂性理论（Beyond the Classic: Multifractals and Complexity Theory） 本书的收官部分将读者引向分形几何的现代前沿，特别是处理非均匀结构时所需的多重分形框架。 1. 从单维到多重维： 解释了单一同质分形（如科赫曲线）的局限性，即它们只能用一个单一的维数来描述。引入多重分形分析的概念，强调需要一组维度（即 $f(alpha)$ 谱）来描述不同区域的局部缩放指数 $alpha$ 的分布情况。 2. 关联维数与信息维数的计算： 详述了如何计算这些广义维数，特别是关联维数（Grassberger-Procaccia算法），它对识别吸引子的嵌入维度至关重要。讨论了当 $D_q$ 随 $q$ 变化时，系统展现出的非均匀特性。 3. 分形与复杂系统： 总结了分形几何在非线性科学中的核心贡献：它提供了一种语言，用以精确描述和量化那些由简单规则产生但表现出极端复杂性的系统，无论是自然现象、物理过程还是社会经济模型，分形思维已成为理解复杂性的基础工具。 --- 通过对这些核心概念的层层递进的阐述，《Classics On Fractals (Studies in Nonlinearity)》为读者提供了一个全面且深入的视角，理解分形几何学不仅是一种优美的数学理论，更是理解我们周围非线性世界的关键钥匙。

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