Chapel Hill Ergodic Theory Workshops pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Amer Mathematical Society

作者:Assani, Idris (EDT)/ University of North Carolina at Chapel Hill (EDT)

出品人:

页数:169

译者:

出版时间:

价格:59

装帧:Pap

isbn号码:9780821833131

丛书系列:

图书标签:

• Ergodic Theory
• Dynamical Systems
• Mathematical Physics
• Probability Theory
• Analysis
• Chapel Hill Workshops
• Operator Theory
• Measure Theory
• Functional Analysis
• Topology

概率论与随机过程的前沿探索：一个关于极限、收敛与遍历性的视角 本书深入探讨了现代概率论和随机过程领域的核心概念与最新进展，特别关注了遍历理论（Ergodic Theory）在理解复杂系统动态行为中的关键作用。这不是对特定著作《Chapel Hill Ergodic Theory Workshops》内容的重述或替代，而是一部聚焦于该学科基础框架、核心定理以及新兴应用领域的综合性论述。 本书旨在为数学、物理学、工程学以及理论计算机科学的研究者和高级学生提供一个坚实而富有洞察力的参考。我们摒弃了对单一会议记录的依赖，转而构建一个跨越数十年理论沉淀的知识体系，涵盖了从经典马尔可夫过程到现代鞅论和随机动力系统的广阔图景。 第一部分：概率论的严格基础与测度论的刚性结构 本卷首先确立了现代概率论的数学基石——测度论。我们详尽地考察了 $sigma$-代数、可测空间以及概率测度的定义及其性质。重点分析了列文森-佩蒂斯定理（Lévy–Chintchin Theorem）的深远影响，以及随机变量的严格定义与分布函数的性质。 随后，我们转向收敛性理论。概率论的精髓在于描述随机现象的长期行为，这要求对各种收敛模式进行精确区分。书中详细比较和分析了依概率收敛（Convergence in Probability）、几乎必然收敛（Almost Sure Convergence，或称处处收敛）以及 $L^p$ 空间中的收敛（Convergence in $L^p$）。特别是，我们对强大数定律（Strong Law of Large Numbers, SLLN）的不同版本——包括柯尔莫果洛夫的 SLLN——进行了严谨的推导和应用场景的辨析，强调了它们在预测样本均值长期稳定性上的理论价值。 此外，条件期望和鞅论构成了现代随机分析的支柱。本书用详尽的篇幅阐述了条件期望的测度论定义，并将其应用于构建鞅序列。鞅论在金融数学、最优控制以及随机逼近中的应用是本书的重点之一。我们深入探讨了杜布（Doob）鞅收敛定理，该定理为理解随机过程的稳定性提供了不可或缺的工具。 第二部分：随机过程的结构与时间演化 本书的第二部分将焦点从静态的概率空间转移到随时间演化的随机系统——随机过程。我们首先对马尔可夫过程进行了系统性的回顾，包括离散时间马尔可夫链（DTMC）和连续时间马尔可夫链（CTMC）。对于不可约、非周期的马尔可夫链，我们详细分析了其平稳分布的存在性、唯一性及其收敛速度，这为分析稳态行为奠定了基础。 布朗运动（Brownian Motion）及其引发的伊藤积分是随机分析的核心。我们不满足于布朗运动的经典定义，而是深入探讨了其构造、二次变差的性质，以及如何利用伊藤公式处理随机微分方程（SDEs）。SDEs 是描述受噪声影响的连续时间系统的标准语言，本书重点展示了求解 SDEs 的策略，例如使用变易法（Variation of Parameters）和连接SDEs与偏微分方程（PDEs）之间的福克-普朗克方程（Fokker-Planck Equation）。 此外，半鞅（Semimartingales）的概念被引入，作为对布朗运动和伊藤过程的推广，它极大地拓宽了随机积分和随机微分的适用范围。本书通过对随机测度（Random Measures）和点过程（Point Processes）的分析，展现了随机过程理论在建模事件发生率和集群现象上的威力。 第三部分：遍历理论的深层洞察与动力学连接 本书的第三部分是理论的核心，它将概率论的工具与动力系统的长期平均行为联系起来。遍历理论的核心目标是研究一个随机或确定性系统的轨迹，在无限长的时间内，其时间平均是否收敛于一个空间平均（或称为遍历平均）。 我们从经典遍历定理开始，如伯克霍夫（Birkhoff）的遍历定理，并将其推广到更一般的测度空间上。对于确定性动力系统，我们考察了庞加莱回归定理（Poincaré Recurrence Theorem）的意义，以及如何利用米诺尔德斯（Minakshisundaram）的特征值展开来分析系统的混合特性。 对于随机动力系统（由随机扰动驱动的系统），遍历理论变得尤为关键。我们分析了随机动力系统的马尔可夫性与遍历性之间的关系。特别是，对于一个随机微分方程的解流，我们研究了其平稳（或不变）测度的存在性、唯一性和吸引性。这些不变测度，在遍历意义上，代表了系统在长期运行中偏好的状态分布。 我们还探讨了遍历理论在信息论中的应用，例如熵的遍历性计算。通过熵速率（Entropy Rate）的分析，我们可以量化一个随机过程携带信息的速率，这在数据压缩、随机源编码和复杂性度量中具有实际意义。 第四部分：前沿应用与开放性问题 最后，本书致力于展示遍历理论和随机过程在当代科学中的尖端应用。我们考察了遍历理论在统计物理学中的应用，特别是对于玻尔兹曼方程（Boltzmann Equation）的介观极限分析，以及如何用遍历性来理解热力学平衡态的形成。 在应用数学方面，本书详细讨论了蒙特卡洛马尔可夫链方法（MCMC）的收敛性分析。MCMC是现代贝叶斯推断的基石，其有效性严重依赖于构造的马尔可夫链是否具有良好的遍历特性（如几何收敛速度）。我们分析了如何利用遍历理论的结果来评估采样算法的效率和准确性。 此外，本书触及了随机图论中的遍历性问题，例如在大型随机网络中信息扩散的长期行为。我们还讨论了与遍历性相关的开放性问题，例如在非均匀光滑度下的随机微分方程的混合速度问题，以及遍历性如何帮助区分具有相似短期行为的不同随机模型。 通过对这些广泛而深刻主题的全面梳理，本书旨在提供一个严谨、全面且具有前瞻性的随机过程与遍历理论的知识框架，引导读者深入理解随机现象背后的数学本质。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆