Oscillation Theory of Two-Term Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Kluwer Academic Pub

作者:Elias, Uri

出品人:

页数:228

译者:

出版时间:1997-3

价格:$ 213.57

装帧:HRD

isbn号码:9780792344476

丛书系列:

图书标签:

微分方程
振荡理论
二阶微分方程
常微分方程
数学分析
偏微分方程
稳定性
解的存在性
谱分析
函数空间

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具体描述

This volume is about oscillation theory. In particular, it considers the two-term linear differential equations Lny + p(x)y = 0, where Ln is a disconjugate operator of order n and p(x) has a fixed sign. Special attention is paid to the equation y(n) + p(x)y = 0. These equations enjoy a very rich structure and are the natural generalization of the Sturm-Liouville operator. Our aim is to introduce an order among the results which are distributed over hundreds of research papers, and arrange them in a unified and self-contained way. Many new proofs are given and the original proof is never copied verbatim. Numerous new results are included. Among the topics which are discussed are oscillation and nonoscillation, disconjugacy, various types of disfocality, extremal configurations of zeros, comparison theorems, classification of solutions according to their behaviour near infinity and their dominance properties. Audience: This work will be of interest to researchers and graduate students interested in the qualitative theory of differential equations.

深入理解动力学系统的精妙：非线性演化方程中的复杂行为研究本书聚焦于一类在物理学、工程学和生物学等多个领域中扮演核心角色的数学模型——偏微分方程（PDEs）。相较于线性系统所能描述的有限范围内的平稳或可预测的演化，本卷的探讨核心转向了那些固有的非线性特性所导致的丰富且常常出人意料的复杂现象。我们旨在为读者提供一个严谨而深入的框架，用以分析和理解描述这些系统行为的偏微分方程的解的结构、稳定性和长期演化。第一部分：非线性演化方程的基石与分类在动力学系统的研究中，非线性PDEs构成了描述物质、能量和信息在时空连续体中相互作用的基本语言。本书的开篇将系统地回顾并确立我们将要依赖的基础理论。第一章：PDEs的结构与分类的再审视我们从经典的线性偏微分方程（如热传导方程、波动方程）的理论出发，但迅速过渡到非线性领域的独特挑战。非线性项的引入，使得叠加原理失效，从而催生了孤波、激波、模式形成和混沌等现象。一阶与高阶方程的非线性结构：分析不同阶数方程中非线性项（如二次、三次或更高次项）对解的特性的决定性影响。守恒律与非守恒方程：区分基于物理守恒原理构建的方程（通常表现出更强的整体结构）与更一般形式的非线性演化模型。重点分析熵条件在弱解理论中的关键作用。第二章：解的正则性和奇性发展非线性方程的解的“光滑性”往往是短暂的。本章深入探讨了解的生命周期，从光滑初始数据出发，如何以及何时出现奇性（如梯度爆炸或波的破碎）。弱解理论的必要性：阐述为什么在涉及非线性对流或非光滑非线性项时，经典（强）解的概念不足以描述物理过程，并详细介绍Sobolev空间、分布和积分解的定义。奇性形成机制：结合具体的例子（如Burgers方程），解析非线性项如何导致解的斜率增加，最终导致不可微点的出现。第二部分：特殊非线性方程的精确解与几何结构在某些特殊的非线性PDEs中，尽管系统本质上复杂，但却存在着能够维持自身形状并以恒定速度传播的特殊解——孤立波。本部分将侧重于这些“可积系统”的深入研究。第三章：可积系统与反散射方法我们将探讨那些可以通过精妙的代数方法精确求解的非线性方程，它们是理解复杂系统稳定性的关键窗口。 Korteweg-de Vries (KdV) 方程的深度分析：考察KdV方程的构造，特别是其背后的无限多个守恒量。反散射变换（Inverse Scattering Transform, IST）：详尽介绍如何利用IST将非线性演化方程转化为线性谱问题，从而实现精确求解。这包括对Zakharov-Shabat系统和Schrödinger谱问题的详细推导和应用。孤波的相互作用：分析多孤波解的构造及其特性——孤波在穿越彼此后保持形状不变，仅仅发生相位移动的现象，揭示了系统深层的线性结构。第四章：非线性薛定谔方程（NLS）及其变体 NLS方程是描述波场（如光学通信、Bose-Einstein凝聚）演化的核心模型。本章关注其在不同背景下的应用和解的结构。能量与质量的守恒：分析NLS方程的复值结构如何产生质量和能量守恒量，并讨论这些量对解的长期行为的约束。自聚焦现象：详细研究当非线性项和色散项竞争时所产生的自聚焦临界点，以及光束在无限时间尺度上的行为（例如，波的崩溃）。周期性解与多重孤子簇：探讨NLS方程在周期边界条件下的解，包括亮孤子、暗孤子以及周期性“蜂群”解的构造。第三部分：模式形成、稳定性与混沌当系统远离可积的理想情况时，非线性效应开始主导，导致全局或局域的不稳定性，进而引发空间结构（模式）的形成或演化进入混沌状态。第五章：反应-扩散系统中的空间模式本章关注耦合了扩散项和非线性反应项的方程组，这些方程是描述生物种群动态、化学振荡和相变过程的标准模型。 Turing 模式的形成：深入分析反应-扩散系统（如FitzHugh-Nagumo模型）中，通过激活-抑制机制如何从均匀状态自发地产生周期性的空间结构（斑图）。稳定性分析（线性稳定性与非线性稳定性）：使用特征值分析来确定均匀解的稳定性和亚稳态的性质，特别是当系统被扰动时，扰动是衰减还是增长。行波与脉冲解：研究描述界面移动或信号传播的单维波解（行波），并分析它们的速度与反应项的非线性程度之间的关系。第六章：高维系统中的复杂性与混沌对于更高维度的非线性方程，解析解变得极为罕见，因此数值分析和定性理论变得至关重要。耗散系统的吸引子：引入庞加莱截面和李雅普诺夫指数的概念，用于量化系统对初始条件的敏感依赖性，即混沌的标志。结构化混沌：探讨在一些特定的非线性PDE中出现的“准周期”或“结构化混沌”行为，这些行为介于完全的周期运动和随机性之间。相干结构与湍流的初探：在描述流体动力学或等离子体物理的非线性方程中，讨论能量在不同尺度间的传递机制，以及如何识别和跟踪能量集中的相干涡旋结构。结语：展望与开放性问题本书的结论部分将总结非线性PDE理论在描述复杂现象上的巨大成功，同时指出现有理论的局限性，特别是对于高度非线性、高维、缺乏显式守恒量的系统（如完全Navier-Stokes方程）的长期行为预测仍是数学和物理学界面临的主要挑战。本书力图为读者提供一个坚实的理论基础，以便进一步探索这些前沿的研究领域。