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出版者:Springer

作者:Daniel Bump

出品人:

页数:451

译者:

出版时间:2004-6

价格:USD 69.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387211541

丛书系列:

图书标签:

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《李群》：探索连续对称性的宇宙 《李群》是一部深度探索数学中一类极为重要对象的著作，它们以挪威数学家索菲·李（Sophus Lie）的名字命名。这本书并非简单介绍一个抽象概念，而是带领读者潜入一个由连续对称性构成的广阔而深刻的宇宙。想象一下，我们所见的物理世界，从原子核的构成到宇宙的演化，到处都充满了对称。而李群，正是理解这些连续对称性最核心、最强大的数学工具。 本书的宏大目标在于揭示李群如何作为连接几何、代数和分析的桥梁，其影响渗透到现代数学的几乎每一个角落。它为我们理解那些可以通过连续变换保持不变的结构提供了统一的语言和框架。从微分方程的解的性质，到几何空间的分类，再到量子力学中粒子的对称性，李群都扮演着至关重要的角色。 核心概念的逐层剖析 《李群》的开篇，将引领读者从最基础的概念入手，逐步构建起对李群的全面认识。首先，会深入探讨“群”这一代数结构。在这里，“群”的定义，即满足封闭性、结合律、单位元存在和逆元存在的四条基本公理，将被细致地讲解。这不仅仅是抽象的定义，而是理解一切后续内容的基础。读者将了解到，即使是看似简单的集合，一旦赋予了特定的运算规则，也能展现出丰富的结构。 接着，本书会将焦点转向“李群”的特殊之处。区别于离散群，李群是“光滑”的。这意味着，构成李群的元素不仅仅是孤立的点，它们可以看作是光滑流形上的点。这种“光滑性”是李群最关键的特征，它允许我们运用微积分的工具来研究群的结构。因此，对流形理论的初步介绍是必不可少的。读者会接触到拓扑空间、微分流形、切空间等概念，理解它们如何为李群的“光滑”性质提供几何基础。 至关重要的一个环节是“李代数”的概念。每一个李群都与之对应一个唯一的李代数，而李代数则是一种具有“李括号”运算的向量空间。李括号捕获了李群局部结构的信息，并且在代数上比李群本身更容易处理。本书会详细阐述李群与其李代数之间的对应关系，例如指数映射（exponential map）是如何将李代数中的元素映射到李群中的元素，从而架起了代数和几何之间的桥梁。通过研究李代数的结构，我们可以反过来理解李群的许多重要性质，例如其连通性、表示论等等。 李群的丰富结构与分类 《李群》不仅仅满足于定义李群和李代数，更会深入探讨它们的丰富结构和分类。一旦掌握了基本工具，读者将开始探索不同类型的李群。 线性李群是其中一个重要的分支，它们是可逆矩阵组成的群，并且矩阵的元素是光滑函数。这些群在几何、物理和工程中有着广泛的应用。例如，一般线性群 (GL(n, R)) 包含了所有n x n的实数可逆矩阵，而特殊线性群 (SL(n, R)) 则要求矩阵的行列式为1。正交群 (O(n)) 和特殊正交群 (SO(n)) 描述了保持长度和角度的变换，它们在欧几里得空间中扮演着核心角色，例如旋转和反射。酉群 (U(n)) 和特殊酉群 (SU(n)) 则是复数域上的对应概念，在量子力学中尤为重要。 本书将系统地介绍这些线性李群的结构，包括它们的李代数，例如gl(n), sl(n), o(n), so(n), u(n), su(n)等。通过分析这些李代数的根系（root systems）和威伊群（Weyl group），读者将领略到李群分类的深刻见解。根系是描述李代数中特征向量方向的抽象集合，而威伊群则是一种作用在根系上的有限群，它们揭示了李群对称性的更深层次结构。 不可约表示是理解李群及其应用的另一个关键领域。一个群的表示是将群的元素映射到向量空间的线性变换，使得群的运算保持不变。李群的表示论允许我们将抽象的群元素转化为具体的矩阵运算，这使得它们可以被用来描述物理系统中的对称性。本书将深入探讨不可约表示的概念，并介绍如何根据李群的根系和威伊图（Dynkin diagrams）来分类和构造它们的不可约表示。这对于理解粒子物理中的对称性分类，如SU(3)的夸克模型，至关重要。 李群的应用领域 《李群》的价值不仅在于其内在的数学美，更在于其在众多科学和工程领域的强大应用。本书将通过具体的例子，展示李群如何成为理解和解决实际问题的有力工具。 微分方程与对称性：许多复杂的微分方程的解可以通过其对称性来找到。李群提供了一种系统的方法来识别和利用这些对称性，从而简化方程的求解过程。例如，在寻找守恒律时，诺特定理（Noether's Theorem）就与李群密切相关。 微分几何：李群是研究黎曼流形、纤维丛和联络等概念的天然语言。它们提供了理解空间曲率、测地线以及各种几何结构之间联系的深刻洞察。 物理学：这是李群应用最广泛的领域之一。 粒子物理：量子场论中的基本粒子及其相互作用的对称性，如SU(2)的弱相互作用和SU(3)的强相互作用，都是由李群描述的。粒子的分类、衰变模式以及散射过程的计算，都离不开李群表示论的工具。 经典力学：经典力学中的许多对称性，例如拉格朗日量或哈密顿量的对称性，都与李群有关，并引出了守恒量。 量子力学：量子系统的演化和状态空间中的对称性，例如角动量算子的李代数 so(3)，都与李群紧密相连。 相对论：庞加莱群（Poincaré group），它结合了洛伦兹变换和时空平移，是描述狭义相对论时空对称性的核心李群。 控制理论：在研究非线性系统的稳定性和可控性时，李群理论也提供了重要的分析工具。 机器人学与计算机视觉：在处理三维空间中的物体姿态变换时，旋转群 SO(3) 和特殊欧几里得群 SE(3) 是至关重要的数学工具。 本书的阅读体验 《李群》旨在为读者提供一条清晰、严谨的学习路径。从基础的代数和拓扑概念，到抽象的李群理论，再到其具体的应用，本书将逐步引导读者深入理解。每一章都精心设计，逻辑连贯，并且通常会包含丰富的例题和练习，以帮助读者巩固所学知识。 本书的语言风格严谨而清晰，避免了不必要的术语堆砌，力求使复杂的概念易于理解。即使是初次接触李群理论的读者，也能在本书的引导下，逐渐掌握这门强大的数学语言。对于已有一定数学基础的读者，本书将提供更深入的视角和更广阔的应用前景。 总而言之，《李群》是一部内容丰富、结构严谨、应用广泛的数学专著。它不仅仅是一本介绍数学对象的书籍，更是一扇通往理解宇宙中连续对称性奥秘的大门。无论您是数学、物理、工程还是其他相关领域的探索者，本书都将为您提供宝贵的知识和深刻的启发，帮助您更深入地理解世界的运行规律。

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这本书的阅读体验，怎么说呢，就像是走进了迷宫，每一步都需要仔细辨认方向，但最终的出口又异常清晰。它的理论深度是毋庸置信的，尤其是在处理紧凑群和非紧凑群的结构分解时，作者似乎将一些非常抽象的概念用一种近乎直觉的方式呈现了出来。我花了相当长的时间去理解其中关于根系（root systems）的章节，那是构建一切复杂结构的基础。作者并没有简单地罗列定义，而是通过大量的图示和例子来辅助说明，这极大地降低了理解难度。我试着将其与我过去读过的几本经典教材进行对比，这本书的优势在于它对“流形”这一概念的融入非常自然，没有让人觉得是为了套用现代微分几何的工具而强行加入。更让我印象深刻的是，书中提到了许多应用实例，比如在粒子物理学中对称性的描述，这使得原本纯粹的抽象数学变得鲜活起来，让读者能看到这些理论的实际价值。唯一的挑战可能在于，对于初次接触这个领域的读者来说，可能需要查阅一些预备知识，比如基础的拓扑学和线性代数的高阶内容，但瑕不掩瑜，对于进阶学习者来说，它绝对是一笔宝贵的财富。

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阅读这本书的过程，仿佛进行了一次精密的工程设计。作者在处理全局与局部性质的关系时，展现了高超的驾驭能力。例如，当讨论李群的连通性和单连通性时，书中巧妙地引入了覆盖空间的概念，并清晰地展示了李群的结构如何被其李代数（作为切空间）所决定，但同时又强调了李代数本身无法完全恢复李群信息的微妙之处。这种对细节的把控，体现了作者深厚的学术功底。我尤其喜欢书中对一些经典例子，比如 $SU(2)$ 和 $SO(3)$ 的具体分析，这些例子被反复引用，用以阐释不同的理论工具如何作用于同一个对象。这种重复性的、多角度的观察，有助于加深对概念的理解，避免了“理论上懂了，但算不出”的尴尬境地。这本书的目录设计也十分实用，我可以非常迅速地定位到所需的定义或证明，这对于我日常工作中的快速查阅非常友好。它不是一本可以轻松读完的小说，而更像是需要被“啃食”和“消化”的营养品。

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这本书的价值，很大程度上体现在它对现代数学语言的接纳程度上。它没有固守传统的、更老派的描述方法，而是充分利用了现代微分几何的语言，例如切向量场、微分形式等概念，来构建李群的理论框架。这种与时俱进的叙述方式，使得这本书在今天看来依然具有强大的生命力。我注意到书中在介绍李群的幂零性（nilpotency）和半单性（semisimplicity）时，采用了与代数几何思想相通的视角，这为我理解更深层次的表示理论打开了一扇窗。虽然这本书的篇幅不薄，但页边距的留白恰到好处，使得在做笔记时有足够的空间。而且，书中的索引做得非常详尽，这对于需要快速检索特定术语的读者来说是极大的便利。整体而言，它成功地架起了一座桥梁，连接了纯粹的代数结构与具体的几何对象，对于任何想要在数学物理领域深耕的学者而言，这本书都是一个不可或缺的伙伴。它不仅传授知识，更塑造了思考问题的角度。

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这本书的封面设计得相当简洁，配色是那种经典的深蓝色配白色字体，给人一种沉稳、学术的感觉。翻开扉页，首先映入眼帘的是作者的介绍，看起来是该领域的资深学者，这让我对内容抱有很高的期待。我是在一个研讨会上听一位教授推荐这本书的，据说它在代数结构和拓扑性质的联系上讲解得非常深入。我正是在寻找一本能够系统梳理李群基础理论，同时又能触及一些前沿研究方向的教材。这本书的排版非常清晰，公式推导的步骤详略得当，对于我这种需要经常查阅精确定义的读者来说，这点非常重要。章节的组织结构也很有逻辑性，从基础的群论概念过渡到李群本身的定义和性质，再到李代数的引入，整个脉络非常流畅，感觉作者在构建知识体系方面下了很大功夫。我特别欣赏它在引言部分对这门学科历史背景的简要回顾，这让读者能更好地理解为什么会有李群这样的数学对象被研究。虽然我还没有完全读完，但初步的印象是，这是一本适合有一定数学基础，希望深入学习现代几何与物理交叉学科的读者的工具书。它不像一些入门读物那样为了简化概念而牺牲严谨性，而是坦率地展现了数学的精确之美。

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这本书的论述风格极其克制和严谨，几乎找不到任何可以被诟病为“口语化”或“过度解释”的地方。它更像是一部数学家的笔记，精确、高效，直击核心。我特别关注了关于表示论的部分，这是理解李群在物理学中应用的桥梁。作者在介绍完完约（unitary）表示和不可约性（irreducibility）的概念后，立刻转入了维格纳定理的阐述，其中的证明过程非常紧凑，每一步都基于前文建立的坚实基础。这种“步步为营”的写作方式，要求读者必须保持高度的专注力。我发现自己不得不频繁地使用荧光笔和便签纸来标记关键的引理和定理，因为跳过任何一个细节都可能导致后续理解的断裂。对于我个人而言，这种挑战是令人兴奋的，它迫使我主动去思考和重构知识链条。如果说有什么小小的遗憾，那就是在某些更偏向应用的例子中，可以再多加一些背景介绍，让非数学专业的读者也能更快地进入情境。但总的来说，它无疑是一部高质量的专业参考书。

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