Sturm-Liouville Theory (Mathematical Surveys and Monographs) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Anton Zettl

出品人:

页数:328

译者:

出版时间:2005-09-13

价格:USD 88.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821839058

丛书系列:

图书标签:

• t
• 数学分析
• 常微分方程
• Sturm-Liouville问题
• 谱理论
• 自伴算子
• 数学物理
• 偏微分方程
• 泛函分析
• 数学史
• 应用数学

经典数学物理：线性算子、谱理论与微分方程的交汇 本书深入探讨了数学物理和应用数学领域中一个至关重要且影响深远的分支：线性算子理论及其在边界值问题中的应用。它并非聚焦于特定的Sturm-Liouville方程本身，而是构建了理解这类问题所需的基础数学框架和高级分析工具。本书的叙述结构旨在引导读者从基础的泛函分析概念出发，逐步攀升至对复杂算子谱性质的深刻洞察。 第一部分：泛函分析的基石与拓扑向量空间 本书首先为读者打下了坚实的分析基础，这是处理无限维空间问题的先决条件。我们从拓扑向量空间的严格定义入手，详细阐述了赋范向量空间和Banach空间的性质。重点在于理解收敛性、完备性和紧凑性的概念在无限维设置下的微妙变化。 拓扑结构与收敛性： 我们详细分析了不同类型的拓扑——例如弱收敛、强收敛以及依赖于特定范数的收敛——如何影响算子作用的结果。讨论涵盖了拓扑上紧的集合的特征，以及它们在微分方程解的先验估计中的重要性。 线性算子与有界性： 书中对有界线性算子进行了全面的考察，包括它们的范数计算和性质。关键的章节致力于证明Banach-Steinhaus定理（均匀有界性原理）和Hellinger-Toeplitz定理，这些定理是建立算子性质与序列收敛之间桥梁的支柱。我们还探讨了开映射定理和闭图像定理，它们是理解算子代数结构和可解性的核心工具。 第二部分：紧算子、核与余核 在这一部分，我们将注意力聚焦于一类具有特殊性质的算子——紧算子（Compact Operators）。紧算子的重要性在于，它们能将无限维问题“压缩”到有限维的代数结构中进行分析，这是谱理论得以建立的关键。 紧算子的定义与性质： 我们定义了紧算子，并展示了它们在无穷维空间中的等价刻画，特别是它们将有界集映射到相对紧集的性质。大量篇幅用于分析紧算子代数（如所有紧算子的集合构成的理想）的结构。 Fredholm型理论的先驱： 书中深入探讨了有限秩算子，并将其作为理解紧算子的基础。随后，我们引入了Fredholm交替式（Fredholm Alternative）的基本思想，即分析线性方程 $ (I - K)u = f $ 的解的存在性和唯一性，其中 $K$ 是一个紧算子。我们详细分析了由 $K$ 决定的核（Kernel）和余核（Cokernel）的有限维性质，这为后续更一般情况下的特征值问题奠定了分析基础。 第三部分：自伴随算子与谱理论的抽象建立 本书的核心理论部分转向了对自伴随算子（Self-Adjoint Operators）的深入研究，这是连接泛函分析与量子力学、振动理论等物理模型的桥梁。 希尔伯特空间与内积结构： 在此部分，背景被提升到希尔伯特空间，引入了内积和正交性的概念。这使得我们能够谈论“投影”和“正交分解”，这是分析自伴随算子谱的自然语言。 谱理论的抽象基础： 我们首先建立了一般有界线性算子的谱（Spectrum）的定义，包括点谱、连续谱和残缺谱。对于自伴随算子，我们详细证明了其谱完全落实在实轴上，并且算子可以被函数演算（Functional Calculus）所描述。 函数演算与谱测度： 书中详细介绍了谱测度（Spectral Measures）的概念，这是构造函数演算的基石。通过博赫纳积分（Bochner Integral）的视角，我们证明了对于任何 Borel 函数 $f$，算子 $f(A)$ 的定义是良定义的，并且保持了自伴随算子的基本性质。这一理论结构使得求解涉及积分形式的演化方程成为可能。 第四部分：无界闭算子与微分算子的不动点 为了真正处理微分方程，我们必须超越有界算子的范畴，进入无界闭线性算子的世界。 闭算子与稠密定义域： 严谨地定义了闭算子（Closed Operators）及其定义域的稠密性（Densely Defined）。我们证明了闭算子在满足特定条件下（如存在一个有界逆）是必需的。 半群理论的入口： 虽然本书不详述连续半群，但它为生成元（Generator）理论的引入做了准备。我们探讨了有界不变子空间和不变子空间的概念，并讨论了如何利用Hellinger-Toeplitz定理的变体来研究算子在特定子空间上的限制行为。 算子的谱与微分方程解的性质： 理论分析的最终目标是理解微分算子（如拉普拉斯算子在特定区域上的限制）的谱如何决定其解的稳定性、振荡特性和渐进行为。我们通过分析算子在Sobolev空间（如 $L^2$ 空间）上的作用，展示了抽象谱理论如何直接转化为对偏微分方程解的定性分析。 本书的结构严谨，注重从基础到高级概念的逻辑推进，为研究谱理论、微分方程的解的存在性和性质，以及算子理论的更深层次应用提供了全面的、不依赖于特定方程细节的数学基础。

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