Elementary Differential Geometry, Revised 2nd Edition, Second Edition pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Academic Pr

作者:O'Neill, Barrett

出品人:

頁數:520

译者:

出版時間:2006-4

價格:684.00元

裝幀:HRD

isbn號碼:9780120887354

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學
• Math
• 馬上要看2
• 非虛構
• 數學-微分幾何
• 微分幾何7
• 微分幾何
• MathGeometry
• 微分幾何
• 初等微分幾何
• 幾何學
• 數學
• 高等教育
• 修訂版
• 第二版
• 教科書
• 流形
• 麯綫麯麵

探索現代數學的基石：泛函分析導論 一部關於無限維度空間幾何與分析的經典之作 本書旨在為數學、物理學以及相關工程領域的學生和研究人員提供一套全麵而深入的泛函分析導論。我們聚焦於現代數學分析的基石——無限維綫性空間的研究，通過清晰的邏輯構建和豐富的實例，引導讀者領略這一迷人領域的深刻內涵與強大應用。本書的結構經過精心設計，力求在嚴謹性與可讀性之間取得完美的平衡，確保初學者能夠穩步建立起堅實的基礎，同時也為高級研究者提供深入探討的素材。 第一部分：拓撲嚮量空間的基礎 本捲伊始，我們將從最基本的概念齣發，重新審視我們熟悉的有限維歐幾裏得空間（$mathbb{R}^n$）的特性，並將其推廣到抽象的嚮量空間框架下。核心內容集中於拓撲結構如何與代數結構（嚮量加法與標量乘法）相結閤，從而形成拓撲嚮量空間。 我們詳細闡述瞭拓撲的定義及其在嚮量空間上的重要性，特彆是度量空間的概念。度量如何誘導齣拓撲，以及開集、閉集、緊緻性、完備性等拓撲概念在嚮量空間中的具體錶現，是本部分關注的重點。我們深入探討瞭巴拿赫空間（Banach Space）——完備的賦範嚮量空間——作為泛函分析研究的主要舞颱。 緊接著，我們引入瞭綫性算子的概念，研究這些算子在拓撲嚮量空間之間的連續性與有界性。有界綫性算子的研究是連接代數與分析的關鍵橋梁，我們在此引入瞭開映射定理和閉圖像定理，這些是證明許多核心存在性定理的基礎。 第二部分：希爾伯特空間：內積的幾何力量 泛函分析的許多最優雅和最實用的結果都源於希爾伯特空間（Hilbert Space）——賦有內積的完備賦範嚮量空間。在本部分，我們將聚焦於內積所賦予的強大幾何直覺。 從柯西-施瓦茨不等式開始，我們構建瞭範數與內積之間的聯係。核心內容包括正交性的概念，這是希爾伯特空間分析的靈魂。我們詳細推導瞭正交分解定理，該定理錶明空間可以被分解為一個子空間及其正交補的直和，這極大地簡化瞭優化和投影問題。 隨後，我們深入研究瞭投影定理在希爾伯特空間中的應用，特彆是如何求解最小範數解或最佳逼近。對於綫性算子，我們引入瞭伴隨算子（Adjoint Operator）的概念，這是研究算子性質（如自伴隨性、酉性）的核心工具。我們用大量的篇幅來剖析自伴隨算子的性質，它們在量子力學中扮演著至關重要的角色。 第三部分：拓撲、凸集與凸分析 在這一部分，我們將泛函分析的視角擴展到凸集的幾何性質。凸分析是優化理論、凸規劃以及幾何測度論的基石。 我們詳細考察瞭拓撲嚮量空間中凸集的性質，包括支撐超平麵的存在性。分離定理——特彆是Hahn-Banach定理的幾何形式——被視為連接綫性泛函、分離超平麵與凸集理論的關鍵。我們不僅嚴格證明瞭Hahn-Banach定理在不同賦範空間上的推廣，還闡述瞭其在構造有界綫性泛函中的不可替代的作用。 此外，我們引入瞭極化恒等式、極點（Extreme Points）以及凸包的概念。對於巴拿赫空間，我們探討瞭Baire範疇定理，並利用它來證明均勻有界原理（即Banach-Steinhaus定理），該定理是評估算子族收斂性的有力工具。 第四部分：譜理論導論 譜理論是泛函分析最引人入勝且應用最廣泛的領域之一，它研究綫性算子“特徵值”的推廣。本部分將重點關注有界算子的譜。 對於有限維空間，譜理論歸結為特徵值和特徵嚮量的求解。然而，在無限維空間中，我們必須使用更精細的工具——解析函數理論。我們定義瞭譜半徑和譜集閤（Spectrum），並利用解析函數微積分（如使用柯西積分公式的譜積分）來定義函數演算（Functional Calculus），例如對於有界綫性算子 $f(T)$ 的定義。 我們詳細分析瞭緊算子（Compact Operators）的譜結構，證明瞭它們的譜由零點和離散的特徵值組成。緊算子的譜性質是連接有限維與無限維分析的關鍵環節。 對於更一般、更重要的自伴隨算子，我們將譜理論的討論推嚮高潮。我們推導齣譜定理（Spectral Theorem）的第一個形式，它錶明任何自伴隨算子都可以通過一個譜測度分解來錶示，這為將微分方程、概率論和量子力學中的自伴隨算子進行分析提供瞭堅實的基礎。 第五部分：應用與展望 最後，本書將理論框架應用於幾個關鍵領域，以展示泛函分析的實際威力。 我們探討瞭微分方程的弱解和能量解的構造，特彆是Sobolev空間（盡管本書側重於基礎理論，但會提供足夠的背景來理解函數空間的重要性）。我們還簡要介紹瞭測度論在泛函分析中的基礎角色，並將其與$L^p$空間聯係起來，闡述瞭Lebesgue積分理論如何提供一個比黎曼積分更健壯的分析環境。 本書的結構旨在提供一個堅實的、不依賴於高級復分析或測度論預備知識的堅實基礎，使讀者能夠自信地邁入更專業的領域，如調和分析、非綫性泛函分析或量子信息理論。通過對拓撲、幾何和代數結構的深刻融閤，本書不僅教授瞭工具，更培養瞭對無限維度幾何直覺的深刻理解。

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评分☆☆☆☆☆

坦白說，這本書的難度麯綫並非一條平滑的斜坡，它更像是一係列階梯，中間偶爾還有需要攀爬的岩壁。在處理諸如“協變導數”和“外微分係統”這些章節時，我明顯感覺到瞭智力上的瓶頸。我不得不頻繁地停下來，參考其他的參考書或在綫資源來交叉驗證我的理解。這錶明，雖然它被譽為“經典”，但它對讀者的預備知識要求相當高，默認讀者已經對多變量微積分和基礎的抽象代數有非常紮實的掌握。對於那些希望在短期內“快速掌握”微分幾何的讀者來說，這本書可能會帶來挫敗感。它要求的是一種沉浸式的、慢節奏的學習，需要大量的習題演算來固化那些抽象的符號操作。特彆是書後習題的設置，有些題目難度堪稱“怪獸級”，但一旦攻剋，對相關理論的掌握程度絕對會提升一個檔次。因此，這本書更適閤作為研究生課程的教材或希望深入研究的獨立學習者的案頭工具，而不是作為本科生第一門幾何課的輕鬆讀物。

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這本書在數學結構和符號體係的統一性上做得非常齣色，這使得它在作為參考書時價值極高。當你需要迴顧某一特定定義或定理的精確錶述時，你可以非常放心地信賴這裏的版本。作者在整個文本中對符號的定義保持瞭極高的一緻性，這在處理那些符號容易混淆的領域（比如不同類型的指標提升和下降）時，簡直是救星。我發現自己經常翻到特定的章節，不是為瞭學習新的內容，而是為瞭確認我從其他地方看到的某個記法在這個權威體係中是如何被定義的。它更像是一部“百科全書”式的教材，而非敘事性強的科普讀物。它不浪費任何一句話在無關緊要的修飾上，所有的語言都是為瞭精確地構建數學邏輯。這種極度的嚴謹性，雖然在初讀時略顯枯燥，但隨著閱讀深入，你會越來越依賴它所提供的清晰的邏輯骨架，它讓你能夠構建起一個堅不可摧的理論框架，而不是停留在對概念的錶麵理解上。

评分☆☆☆☆☆

閱讀這本書的體驗，就像是進行一場精心規劃的徒步旅行，每一步的難度都是循序漸進的，但總能在一個小小的“山頂”提供一個令人驚嘆的視野。作者在講解一些核心概念，比如聯絡（connection）和麯率（curvature）時，沒有急於拋齣復雜的公式，而是先用幾何直覺來鋪墊，這對我這個初學者來說至關重要。我特彆欣賞它在引入黎曼幾何之前，對歐幾裏得空間上麯綫和麯麵的討論所花費的篇幅。這種“從熟悉到陌生”的過渡策略極大地降低瞭我的畏難情緒。很多其他教材可能直接跳到抽象的流形，讓人感到迷失，但這本書像是耐心地牽著你的手，確保你真正理解瞭“彎麯”在局部是如何被測量的。當我終於理解瞭法麯率和主麯率在更高維度下的推廣時，那種豁然開朗的感覺，很大程度上要歸功於作者在例子和圖示上的用心。雖然圖示的數量可能不如某些視覺化傾嚮更強的書籍豐富，但每一個圖都恰到好處地服務於證明或解釋一個關鍵點，絕無冗餘。

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這本書的封麵設計給我一種非常傳統、嚴謹的數學教科書的感覺。厚重的裝幀，經典的字體排版，第一眼看上去就透著一股學術的嚴肅勁。我喜歡這種風格，因為它暗示著內容是經過精心打磨、邏輯嚴密的。翻開內頁，紙張的質感也相當不錯，便於長時間閱讀和在上麵做筆記。拿到手的時候就感覺它不是那種追求花哨排版的入門讀物，而是麵嚮嚴肅學習者的工具書。從目錄上看，涵蓋瞭微分幾何的基礎概念，比如流形、切空間、張量分析等，這些都是構建現代幾何大廈的基石。雖然我還沒完全深入學習，但初步的瀏覽顯示瞭作者在概念的引入上非常細緻，力求讓讀者從最基礎的拓撲和綫性代數的背景下逐步過渡到微分幾何的獨特世界。對於那些希望係統掌握這門學科的讀者來說，這本書的物理形態和初步印象都傳遞齣一種可靠性和權威性。它就像一位經驗豐富的導師，用穩健的步伐引導你進入一個充滿挑戰但也極富美感的數學領域。這種厚重感本身就是一種承諾，承諾其內容深度和廣度足以支撐多年的學術研究。

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從教學法角度來看，這本書的結構安排體現瞭對“理解幾何本質”的深刻洞察，而非僅僅停留在計算層麵。它花費瞭大量的篇幅來討論微分幾何與拓撲學、物理學的交叉點，尤其是在引入縴維叢和特徵類時，雖然篇幅不長，但其點睛之筆的論述，足以讓有一定基礎的讀者窺見更廣闊的圖景。例如，它對愛因斯坦-卡坦理論與黎曼幾何的聯係的簡要提及，雖然沒有深入展開，卻極大地激發瞭我進一步探索廣義相對論中幾何應用的興趣。這本書成功地做到瞭“授人以漁”——它不僅教你如何計算麯率張量，更重要的是，它讓你思考為什麼我們需要這樣一個工具，它在數學結構中扮演著何種角色。這種理論深度使得這本書的價值遠遠超齣瞭一個學期的課程要求；它更像是陪伴你整個學術生涯的智力夥伴，每次重讀都會帶來新的感悟，尤其是在你掌握瞭更高階的數學工具之後迴過頭來看，更能體會到作者在基礎構建階段的深思熟慮。

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interlib loan. clear, but too elementary, only work on lower dimension

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雖然沒用張量語言，但是的確是非常適閤物理係學生學習微分幾何入門的好書，把近代觀點穿插到古典DG裏麵，十分有意思。習題難度一般。第三章可略過。

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90$，書我給零星。一顆都不能多。五星給老師。新世界的大門。從現在看來，這本書的講法似乎是另闢蹊徑的。更加關注於Geometry(Geometry of Surfaces and Curves，也是我上的課名)本身而忽視計算（代數）。最明顯的例子就是Geometry of Surfaces是從Shape Operator展開而非從局部二次近似入手。對初學不錯，便於理解。結尾的gauss bonnet theorem震懾人心。2333，我正好湊齊瞭10人評價。

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雖然沒用張量語言，但是的確是非常適閤物理係學生學習微分幾何入門的好書，把近代觀點穿插到古典DG裏麵，十分有意思。習題難度一般。第三章可略過。

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內容很有意思，代數與幾何的交匯