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出版者:Independent Pub Group

作者:Barnes-Svarney, Patricia

出品人:

页数:506

译者:

出版时间:2005-1

价格:$ 24.80

装帧:Pap

isbn号码:9781578591718

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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深入几何的奥秘：探索非欧几何与拓扑学基础 一本献给所有对空间本质怀有无限好奇心的探索者的指南。 本书旨在带领读者穿越经典欧几里得几何的边界，进入一个充满奇特、直观且颠覆传统认知的数学领域——非欧几里得几何与拓扑学。我们不会探讨任何关于快速心算、日常应用数学公式或是速查数学手册的内容，本书的核心，在于对“空间”这一基本概念进行深刻的哲学与数学重构。 第一部分：欧几里得的基石与裂痕 在深入探索新领域之前，我们必须坚实地站立在传统几何的肩膀上。本部分首先回顾了欧几里得几何的五个基本公设，着重分析“平行公设”这一历史上最具争议和影响力的公设。我们将详细剖析历史上数学家们试图证明该公设的努力是如何徒劳无功，正是这种徒劳，最终引向了全新的数学视野。 我们将通过严谨的逻辑推导，展现欧几里得体系的完备性和优美之处，为后续偏离此体系时所产生的冲击做好铺垫。此外，还会涉及一些经典几何学中的高级定理，例如圆锥曲线的精确定义和性质，以及三维空间中的向量代数在解析几何中的应用，但这部分仅作为背景知识，用以衬托非欧体系的革命性。 第二部分：双曲空间的无限张开 本部分是本书的核心突破点，专注于罗巴切夫斯基几何（Hyperbolic Geometry），也就是我们常说的双曲几何。 2.1 罗巴切夫斯基的直觉革命 我们首先探讨罗巴切夫斯基是如何放弃平行公设，代之以“过直线外一点，有无数条直线与之平行”的假设。这种看似简单的替换，却构建了一个完全自洽、逻辑严密的全新几何世界。 我们将使用大量的图示和直观模型来描绘这个“马鞍面”般的空间。不同于平面几何中三角形内角和恒为 $180^circ$，在双曲空间中，三角形的内角和永远小于 $180^circ$。我们会深入研究这一现象背后的深层含义。 2.2 模型的构建与可视化 为了让抽象的双曲空间变得可触及，我们将详细介绍构建双曲几何模型的几种主要方法： 庞加莱圆盘模型 (Poincaré Disc Model): 在一个圆内，直线被表示为圆周的弧段（或直径），角度的测量遵循共形（Conformal）的原则。我们将分析这种模型如何精确地表现双曲距离和角度，并探讨其在可视化中的局限性——虽然距离被压缩，但角度的保持性是其核心优势。 庞加莱半平面模型 (Poincaré Half-Plane Model): 以一条直线为边界的半平面，直线被表示为垂直于边界的圆弧或垂直线。这种模型在某些方面比圆盘模型更易于理解，尤其是在处理等距变换时。 克莱因模型 (Klein Model): 将双曲空间嵌入到欧几里得空间中，直线表现为圆的弦，但这种模型并不保持角度的测量。我们将分析它在凸性上的优势，以及它如何揭示双曲空间与椭圆空间（球面几何）在某些代数结构上的对偶性。 2.3 双曲世界的度量与定理 我们将推导出双曲几何中的关键公式，包括双曲三角形的面积公式（与内角和直接相关），以及著名的双曲三角学定律（如双曲正弦定理和余弦定理）。这些公式的复杂性与形式的优美，完美体现了该几何系统的内在一致性。 第三部分：椭圆空间的回归与统一 本部分将视角转向黎曼几何的先驱——球面几何（Spherical Geometry），即椭圆几何。这代表了对平行公设的另一种极端修正：“过直线外一点，没有直线与之平行”（即所有直线最终都会相交）。 我们将使用地球表面（大圆）作为主要的直观模型。球面几何中，三角形内角和永远大于 $180^circ$。我们会详细分析其特有的性质，例如球面上的“直角三角形”可以有多个，甚至所有角都是直角（例如八分仪）。 通过将双曲几何（内角和小于 $180^circ$）和球面几何（内角和大于 $180^circ$）与欧几里得几何（内角和等于 $180^circ$）并置对比，读者将能深刻理解非欧几何不仅仅是“另一种数学”，而是对空间结构可能性的全面探索。 第四部分：迈向拓扑学的门槛 在掌握了不同“曲率”下几何的度量特性后，我们将话题转向一个更抽象的领域——拓扑学 (Topology)。拓扑学被称为“橡皮泥几何学”，它关注的是在连续形变下（拉伸、扭曲，但不撕裂或粘合）空间所保持不变的性质。 4.1 拓扑不变量 本部分将引入几个关键的拓扑不变量： 连通性 (Connectivity): 区分一个物体是否可以被分割成不相连的部分。 洞的数量 (Genus): 区分甜甜圈（一个洞）和咖啡杯（一个洞，但形状不同）。我们将严谨地阐述拓扑同胚的概念，并展示为什么咖啡杯和甜甜圈在拓扑上是等价的。 欧拉示性数 (Euler Characteristic): 这是一个连接几何与拓扑的重要数值，通过顶点、边和面的数量计算得出 ($chi = V - E + F$)。我们将用此工具分析简单的多面体，并预示其在更复杂流形分类中的作用。 4.2 经典拓扑问题 我们将讨论一些著名的拓扑学问题，它们完美地展示了拓扑学的反直觉魅力： 莫比乌斯带 (Möbius Strip): 构造方法、单侧性（Non-orientability）的深刻含义，以及它如何挑战我们对“内部”和“外部”的传统认知。 克莱因瓶 (Klein Bottle): 作为一个无法在三维欧几里得空间中完全嵌入的四维物体，我们将分析它的构造和它在三维空间中的“自相交”表示。 单性与双性： 通过分析这些基础曲面，理解什么是“可定向”的表面。 本书的最终目标是为读者建立一个坚实的、基于几何直觉和严谨代数推导的框架，理解空间并非一成不变的背景，而是可以被量化、被重塑的数学对象。它不是一本提供快速答案的工具书，而是一次邀请读者参与数学史上最深刻的几何学对话的旅程。

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