具体描述
概率论与数理统计辅导教程，ISBN：9787308056663，作者：王炳兴 编
《高等数学：基础与应用精讲》 本书特色： 本教程以夯实数学基础、提升解决实际问题能力为核心目标，全面覆盖了高等数学课程中的核心概念、基本理论和典型应用。全书结构严谨，逻辑清晰，旨在为理工科、经济学、管理学等相关专业学生提供一本深度兼具实用性的学习指南与习题解析手册。 内容深度解析： 第一部分：函数、极限与连续性 本部分着重于构建微积分的理论基石。我们从函数的基本性质入手，深入探讨了有界性、单调性、周期性以及奇偶性的辨析。在极限部分，本书不仅详细阐述了 $varepsilon-delta$ 定义的严格推导过程，更结合丰富的几何直观和实际例子，帮助读者建立对极限概念的深刻理解，特别是对无穷大和无穷小关系的精细处理。连续性章节，则围绕闭区间上连续函数的性质（如介值定理、最大值最小值定理）展开，并通过实例展示了如何利用这些性质解决实际工程中的稳定性问题。特别地，我们加入了对函数逼近理论的初步介绍，为后续的级数展开打下铺垫。 第二部分：导数与微分在分析中的应用 本部分是微积分的核心应用篇章。导数的定义、运算法则（包括隐函数求导、反函数求导）的推导过程被细致呈现。微分的概念被提升到线性近似的角度来理解。在应用方面，本书重点剖析了利用导数进行函数图像描绘的完整步骤，包括极值点、拐点、渐近线的判定。更进一步，我们深入讲解了泰勒公式及其拉格朗日余项和佩亚诺余项的精确形式，并结合实例演示了其在估算、物理模型简化中的强大威力。罗尔定理、中值定理（均值定理）的证明及其在不等式证明中的巧妙运用，构成了本章理论深度的体现。 第三部分：不定积分与定积分 积分学是本教程的另一大支柱。不定积分部分，我们系统梳理了基本积分公式，并对最常用的换元积分法和分部积分法进行了分门别类的详尽讲解，尤其对三角函数有理代换和欧拉代换的应用场景进行了区分说明。定积分部分，首先基于黎曼和的严格定义，导出了牛顿-莱布尼茨公式的证明，这是连接微分与积分的桥梁。在应用方面，本书花费大量篇幅讲解了定积分在计算平面图形面积、体积（圆盘法、薄壳法）、弧长以及功、质心等物理量中的具体步骤和建模思路。对于反常积分，我们也进行了初步的探讨，明确了收敛性的判断标准。 第四部分：多元函数的微积分 面对多变量世界的复杂性，本章循序渐进地引入了偏导数、全微分的概念，并强调了全微分在多变量函数近似计算中的重要性。链式法则的多元推广被详细图解。极值理论部分，我们不仅讲解了利用一阶偏导数求驻点，更侧重于二阶偏导数构成的海森矩阵在判断极值类型（最大值、最小值、鞍点）中的关键作用。对于条件极值问题，拉格朗日乘数法被系统阐述，并通过经济学中的效用最大化问题进行直观演示。梯度、方向导数和曲线积分的概念则为后续学习矢量分析奠定基础。 第五部分：线面积分与场论初步 本部分将微积分的工具拓展到空间之中。我们对空间曲线和曲面的参数化表示进行了清晰的界定。格林公式、斯托克斯公式和高斯公式（散度定理）的表述被置于核心地位，它们体现了微积分在二维、三维空间中的内在联系和本质统一性。本书通过大量的向量场实例（如保守场、有势场），展示了如何利用这些定理简化复杂的线面积分计算。对旋度（Curl）和散度（Div）的物理意义阐释，有助于读者理解这些工具在电磁学和流体力学中的基础作用。 第六部分：无穷级数 本章聚焦于函数的展开与近似。我们首先区分了常数项级数和函数项级数。对于常数项级数，收敛判别法（比值判别法、根值判别法、积分判别法）的适用范围被明确区分。函数项级数部分，重点在于一致收敛性的理解，并分析了连续性、可积性、可微性在一致收敛和逐项运算之间的传递关系。幂级数被视为核心，其收敛半径和收敛区间的确定方法被细致讲解。泰勒级数和麦克劳林级数作为最常见的展开形式，本书提供了多个复杂函数（如 $ln(1+x)$， $arctan x$）的展开过程，并探讨了利用级数进行定积分或微分方程的近似求解方法。 学习资源与配套设计： 本书在每节内容后均配有“概念辨析与易错点”、“例题精讲与解题技巧”、“拓展思维训练”三个模块。概念辨析旨在澄清学生在理解上的模糊地带；例题精讲选取了历年经典考题的变体，详细剖析了从建立模型到得出结论的完整思维路径；拓展训练则提供了若干需要深度思考或跨章节联想的难题，以期激发学生的创新性解题能力。本书的目的是成为学生在面对复杂数学挑战时，最可靠的案头参考书。
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