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第1部分数学游戏与抽象游戏 / 1
引言 / 1
生活中的谜题 / 7
第1章数学游戏：从欧拉到卢卡斯 / 11
欧拉与柯尼斯堡的桥 / 11
欧拉与马的游历问题 / 15
卢卡斯与数学游戏 / 20
卢卡斯单人对策游戏的数学计算 / 23
第2章四则抽象游戏 / 26
从杜德尼趣题到戈洛姆游戏 / 28
九子棋 / 30
六边形棋 / 32
国际象棋 / 36
围棋 / 42
第3章数学与游戏：神秘的联系 / 48
游戏和数学的分析都可以在大脑中进行…… / 49
你能“预见”吗？ / 51
一种新型对象 / 52
它们是抽象的 / 56
它们很难 / 57
规则 / 59
规则限定下的隐藏结构 / 60
论证与证明 / 61
确定性、谬误与真理 / 63
玩家也会犯错 / 65
推理、想象力和直觉 / 66
类比的力量 / 67
简单、优雅和美 / 68
一起探索科学与游戏 / 69
第4章为何国际象棋不是数学 / 70
竞争 / 70
问东问西 / 73
数学与游戏式数学 / 75
改变解题的观念 / 76
创造新概念与新对象 / 77
递增的抽象性 / 78
寻找共同结构 / 79
数学与科学的互动 / 80
第5章证明与查证 / 81
数学休闲游戏的局限性 / 82
抽象游戏与答案验证 / 83
如何“证明”11是素数？ / 84
“5是素数”，这是巧合吗？ / 85
证明vs.验证 / 86
结构、模式与表现形式 / 87
任意性与不可控性 / 88
边界附近 / 90
第2部分数学：游戏化的、科学的和感性的 / 95
引言 / 95
第6章游戏化的数学 / 98
引言 / 98
技巧和策略 / 100
立方和与其内在关联 / 103
欧拉的巨作 / 106
第7章欧几里得与其几何游戏规则 / 110
赛瓦定理 / 114
西蒙线 / 116
抛物线及其几何特性 / 117
丹德林球面 / 120
第8章新概念与新对象 / 122
创造“新对象” / 124
它是存在的吗？ / 126
不得不这么做 / 127
无穷与无穷级数 / 128
微积分与切线概念 / 131
抛物线的形状是什么？ / 134
第9章收敛级数与发散级数 / 137
先驱者 / 137
调和级数发散 / 140
奇异的对象和神秘的情景 / 142
发散级数的实际用途 / 145
第10章数学的游戏化 / 146
欧拉与多面体 / 147
群论的发明——发现 / 150
阿蒂亚麦克莱恩之争 / 153
数学与几何 / 155
第11章作为一门科学的数学 / 156
引言 / 156
三角几何：三角形的欧拉线 / 158
现代三角几何学 / 161
七圆定理与其他新的定理 / 165
第12章数字与数列 / 167
平方和 / 168
简单问题，容易答案 / 170
素数 / 171
素数对 / 173
猜想的局限性 / 174
波利亚猜想及其驳斥 / 176
数学实验的局限性 / 177
证明vs.直觉 / 181
第13章计算机与数学 / 184
霍夫施塔德的“好问题” / 186
计算机与数学证明 / 188
计算机与“证明” / 190
结语：公式复公式 / 192
第14章数学与科学 / 193
科学家的抽象 / 193
数学先于科学与技术 / 194
数学在科学中的成功应用 / 196
科学家如何应用数学？ / 198
纯数学与应用数学中的方法和技巧 / 200
积分：求曲线下面积 / 202
摆线 / 206
科学激励着数学的发展 / 210
第15章最短路径：优美的简洁性 / 213
似曾相识的智力题 / 213
赫伦定理的发展 / 217
极值问题 / 219
帕普斯与蜂巢 / 220
第16章基石：感知、想象和洞察 / 221
阿基米德引理与用“看”来证明 / 223
通过剖分进行证明的中国人 / 224
拿破仑定理 / 226
多角数 / 229
分拆问题 / 233
（再谈）发明还是发现？ / 236
第17章结构 / 237
毕达哥拉斯定理 / 239
欧几里得坐标几何学 / 244
中点问题 / 247
挠四边形 / 249
第18章隐藏结构，共同结构 / 252
素数与幸运数 / 252
面纱背后的数学对象 / 254
证明一致性 / 257
结构变换，视角转换 / 259
第19章数学与美 / 263
哈代论数学和国际象棋 / 265
经验与期望 / 267
国际象棋和数学：美与才华 / 268
美、类比与结构 / 269
感知中的美和个体差异 / 271
“博大派”vs.“精深派” / 273
美，形式与理解 / 275
第20章起源：日常生活中的形式 / 277
游戏的心理学意义 / 280
形式性的起和落 / 283
宗教仪式、游戏与数学 / 284
形式性与数学 / 286
隐藏的数学 / 288
风格与文化，以及数学风格 / 290
系统精神vs.问题解决 / 292
视觉vs.语言：几何vs.代数 / 294
女性、游戏与数学 / 296
数学与抽象游戏：内在的紧密联系 / 298
· · · · · · (收起)