Linear Algebra (Series of Books in the Mathematical Sciences) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:W.H. Freeman & Company

作者:Bill Jacob

出品人:

页数:547 Pages

译者:

出版时间:1989-10

价格:USD 45.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780716720317

丛书系列:

图书标签:

• 线性代数
• 数学
• 高等教育
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• 数学科学
• 代数
• 矩阵
• 向量空间
• 数学分析
• 工程数学

深入探索数学殿堂：代数核心与应用进阶 本套丛书旨在系统性地梳理和深入剖析现代数学的基石——代数结构，并着重探讨其在不同科学领域中的广泛应用。全系列聚焦于从基础概念的严格构建到前沿研究方向的探索，力求为数学专业学生、研究人员以及需要扎实代数背景的工程师和理论物理学家提供一套权威、详尽的参考资料。 --- 第一卷：群论基础与对称性原理 (Group Theory: Foundations and Symmetry Principles) 内容提要： 本卷是整个代数系列学习的起点，专注于群论——代数学中描述对称性的核心语言。我们首先从集合论的预备知识出发，严格定义了群、子群、陪集和正规子群的概念。 核心章节： 1. 群的代数结构： 详细阐述了二元运算、幺元、逆元以及结合律的严格要求。通过大量的实例，如整数加法群、非零有理数的乘法群、对称群（$S_n$）和二面体群（$D_n$），帮助读者建立直观理解。 2. 同态与同构： 这是理解结构相似性的关键。我们深入探讨群同态（映射保持运算）和群同构（结构完全一致的映射），并引入凯莱定理 (Cayley's Theorem)，证明了每个群都同构于某个置换群。 3. 正规子群与商群： 讲解了正规子群的特性，并详细构建了商群（或因子群），这是理解模运算和结构分解的基础。 4. 第一同构定理（基本定理）： 阐述了商群与同态像之间的本质联系，这是抽象代数中最强大的工具之一。 5. Sylow 定理的应用： 引入了Sylow 定理，这是有限群结构分析的利器，用于确定有限群中特定阶子群的存在性。随后，我们利用这些定理来分析 $p$-群和简单群的性质。 6. 群在几何与物理中的体现： 探讨了晶体学中的点群和空间群，以及在粒子物理学中描述基本作用力的李群（如 $SU(2), SU(3)$ 的基础概念介绍）。 目标： 掌握群论的基本概念和核心定理，理解对称性在数学和自然科学中的本质意义。 --- 第二卷：环论与域的构造 (Ring Theory and Field Constructions) 内容提要： 本卷将视角从单一运算结构（群）扩展到具有两种运算（加法和乘法）的结构——环。环论为数论、代数几何和代数拓扑提供了坚实的代数基础。 核心章节： 1. 环的基本定义与例子： 定义了交换环、单位环、整环。重点分析了整数环 $mathbb{Z}$、多项式环 $R[x]$ 和矩阵环 $M_n(R)$。 2. 理想与商环： 概念上对应于群论中的正规子群和商群，理想（Ideals）是环中重要的“特殊子集”。详述了主理想、素理想和极大理想的定义与区别。 3. 整环的特性与特殊结构： 深入研究了整环的性质，包括域的嵌入。引入了欧几里得整环 (Euclidean Domains)、主理想整环 (PID) 和唯一分解整环 (UFD) 之间的层级关系和相互转化条件。 4. 域的扩张 (Field Extensions)： 这是代数几何和伽罗瓦理论的基石。本卷详细讲解了如何从一个域 $F$ 构造出包含 $F$ 的更大域 $E$。讨论了有限域（Galois Fields）的存在性和结构。 5. 代数数与超越数： 利用域扩张的概念，精确定义了代数数，并探讨了超越数的性质（例如 $e$ 和 $pi$ 的超越性）。 目标： 熟练运用环和理想的概念分析代数结构，理解域扩张的构造方法，为学习更高阶的抽象代数打下基础。 --- 第三卷：模论与表示论初步 (Module Theory and Introduction to Representation Theory) 内容提要： 本卷将代数结构提升到更高的抽象层次——模 (Modules)，这是向量空间的推广，其中“标量”来自一个环而非域。随后，我们利用模论的成果引出表示论，将抽象的代数对象线性化，映射到矩阵代数（线性代数）上进行研究。 核心章节： 1. 模的定义与基本性质： 模作为“环作用于集合”的结构，是理解线性代数中线性映射的更一般框架。讨论了子模、模同态和模的构造。 2. 模分解理论： 重点分析了有限生成模，特别是对于主理想环上的模。引入了挠模和无挠模的概念。 3. 自由模与秩： 探讨了自由模（即具有基的模）的性质，并证明了在同一环上，自由模的秩是唯一的（这是自由模理论的关键结果）。 4. 表示论的动机： 解释了为何将群或环结构表示为矩阵群（线性变换）如此重要，这使得我们可以利用矩阵理论（如特征值、特征向量）来分析抽象的群结构。 5. 群表示的初步： 引入了表示、等变表示和不可约表示的概念。讨论了Maschke 定理在半简单群表示中的应用，以及Schur 引理的中心作用。 目标： 掌握模论的基本工具，理解表示论如何桥接抽象代数与线性代数的桥梁，为深入研究李群和代数几何中更高级的表示理论做准备。 --- 第四卷：伽罗瓦理论：多项式方程的深度解析 (Galois Theory: Deep Analysis of Polynomial Equations) 内容提要： 本卷是抽象代数在经典问题上集大成的体现。伽罗瓦理论完美地连接了域扩张（解析的对象）和群论（描述对称性的工具），从而彻底解决了多项式方程的可解性问题。 核心章节： 1. 有限域与伽罗瓦群的引入： 从伽罗瓦群 $ ext{Gal}(E/F)$ 的定义出发，探讨了正规扩张和可分扩张的条件。 2. 基本定理： 详细阐述了伽罗瓦基本定理，它建立了域扩张塔和伽罗瓦群子群之间的完美对偶对应关系。 3. 可解性与根式解： 利用伽罗瓦理论的结构，严格证明了五次及以上的一般多项式方程不可用根式求解（即不能仅通过加、减、乘、除、开 $n$ 次方来求解）。 4. 循环扩张与高斯素数： 探讨了特定类型的域扩张，例如二次扩张和高斯整数域 $mathbb{Z}[i]$ 上的性质。 5. 有限域的构造与应用： 再次深入有限域，讨论了构造特征为 $p$ 的域，以及它们在编码理论和密码学中的实际应用。 目标： 深刻理解域的代数性质如何通过其自同构群得以揭示，并对古典代数难题（如化圆为方、三等分角、多项式求根）给出完备的代数证明。 --- 丛书整体特色： 本套丛书强调概念的起源、证明的严谨性以及与其他数学分支的联系。每一卷都包含大量的练习题，分为计算性练习、证明性练习和探索性问题，以确保读者不仅理解理论，还能熟练应用。理论阐述清晰流畅，避免了不必要的符号堆砌，致力于构建一个清晰、逻辑严密的抽象代数知识体系。

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这本书的行文语调非常专业，甚至可以说是带着一种古典数学的庄重感，但奇怪的是，这并没有让它显得难以接近。相反，它建立了一种知识的权威性。作者在论述过程中，经常会引用一些历史背景或者不同学派对同一概念的不同理解角度。比如，在讲解矩阵的相似性时，它会提及早期数学家是如何从不同侧面去定义和使用这个概念的，这使得线性代数不再是一堆孤立的定理，而是一门有历史脉络和发展轨迹的学科。这种叙事手法，极大地丰富了阅读体验，让我感觉自己不是在解题，而是在参与一场与数学思想的对话。对于我这种喜欢探究“为什么是这样”而非仅仅满足于“怎么做”的读者来说，这种深层次的挖掘非常对胃口。它不会提供太多花哨的图表或色彩斑斓的排版来分散注意力，所有的重点都聚焦于文字的精准度和逻辑的严密性，非常适合那些需要沉下心来做深度学术阅读的理工科学生或研究人员。

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这本书的封面设计真的很有现代感，纯白背景下，黑色的标题字体醒目却不张扬，让人一眼就能感受到其中蕴含的严谨与深度。拿到手里分量十足，纸张的质感也很棒，翻阅起来手感细腻，油墨印刷清晰，即便是复杂的数学符号也能看得清清楚楚，这对于长时间阅读来说太重要了。初看目录，章节安排得非常系统，从基础的向量空间、线性变换讲起，逐步深入到特征值、特征向量，再到更抽象的正交性、对角化等等，逻辑链条非常完整。作者显然对教学法有着深刻的理解，不像有些教科书那样上来就抛出大量的定理和证明，而是用一种循序渐进的方式引导读者进入线性代数的思维世界。比如，在讲解基和维数这些核心概念时，它会结合一些非常直观的几何图像来辅助理解，而不是单纯地依赖于纯粹的代数操作，这对于初学者来说简直是福音。我个人感觉，这本书的编写者仿佛一位经验丰富的导师，深知学生在哪里会卡壳，并在关键点上设置了恰到好处的“脚手架”，确保读者能够稳扎稳打地迈过每一个难关。整体来看，这本书的装帧和排版都体现了专业水准，是那种愿意长期放在书架上时常翻阅的典藏级别读物。

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相较于我之前读过的几本专注于工程应用的线性代数书籍，这本书的理论基础打磨得异常扎实。它并没有急于将读者带入复杂的数值计算和算法实现中去，而是将精力集中在了代数结构的抽象构建上。例如，关于内积空间和希尔伯特空间（虽然可能不会深入到非常高的维度，但其概念的引入非常到位），作者在引入时并没有直接跳到无穷维的情况，而是先通过有限维欧几里得空间的几何直觉来铺垫，确保读者对“投影”、“正交”这些核心概念的几何意义有着坚实的把握。这种从具体到抽象，再在抽象层面进行统一规范的教学路径，有效避免了在理解抽象理论时因为缺乏具象参照物而产生的迷茫感。对于那些未来希望从事纯数学研究，或者对理论物理、高级统计模型有浓厚兴趣的读者来说，这本书提供的理论深度和严谨性是无可替代的基石。它为你打下的基础，能让你在后续学习任何更高级的数学分支时，都感到游刃有余，因为它教会你的不只是知识本身，更是一种纯粹而强大的数学思维方式。

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我花了相当长的时间来对比市面上几本主流的教材，最终还是被这本书在习题设计上的独到之处所吸引。习题部分绝不仅仅是简单地重复课本内容的计算练习，它们被精心设计成了一系列环环相扣的“微型研究项目”。有些题目可能只有寥寥数字，但要真正解答出来，却需要你灵活运用好几个章节中介绍的定理，甚至需要你进行一些小小的创造性思考。更妙的是，对于那些难度较高的证明题，作者没有直接给出标准答案，而是提供了一系列的“提示”或者“关键思路”，这极大地鼓励了读者自己去摸索和发现。这就像是攀岩，教练不会直接把你拉上去，而是告诉你应该抓哪里，如何调整重心，最终的成就感完全是自己的。我记得有一次，我被一道关于行列式性质的题目卡住了整整一下午，但当我最终通过构造一个特殊的矩阵找到突破口时，那种豁然开朗的感觉，远胜于直接看答案得来的理解。这种“引导式探索”的学习模式，无疑是本书教学法中最值得称赞的一点。

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这本书的讲解风格，用一个词来形容就是“毫不留情但又极其公正”。它不会为了迎合读者而刻意简化那些本质上就复杂的概念，但它会用最精炼、最富洞察力的语言去剖析这些概念的内涵。我尤其欣赏它对抽象代数结构与具体矩阵运算之间关系的阐述。很多教材只是把矩阵运算作为线性代数的唯一载体，而这本书则更注重“线性”这个核心思想本身，它强调线性变换是作用于抽象向量空间的映射，矩阵只是在特定基下的一种表现形式。这种视角上的提升，让我对整个学科的理解一下子拔高了好几个层次。例如，在讨论最小二乘法或奇异值分解（SVD）时，书中并没有停留在公式推导上，而是花了大量的篇幅去解释这些工具在数据科学和工程领域中的实际意义和几何解释，让那些原本枯燥的计算突然间变得“活”了起来，充满了应用价值。对于那些已经学过一遍基础线性代数，想要进行更深层次掌握的读者来说，这本书无疑提供了一个极佳的重塑认知的平台。它要求你动脑筋，但回报你的是深刻的理解，而不是肤浅的记忆。

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