Representations of Finite and Compact Groups pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Barry Simon

出品人:

页数:266

译者:

出版时间:1995-12-1

价格:USD 45.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821804537

丛书系列:Graduate Studies in Mathematics

图书标签:

• 表示论
• 数学
• 调和分析
• 群表示
• 李群
• 微分几何7
• 微分几何
• 数学
• 群论
• 表示论
• 有限群
• 紧群
• 拓扑群
• 代数拓扑
• 李群
• 抽象代数
• 高等代数

《有限与紧致群的表示》 本书深入探讨了有限群和紧致群的表示理论，为读者提供了一个全面而严谨的理论框架。我们将从基础概念入手，逐步深入到更复杂的理论和应用。 第一部分：基础理论 我们将首先建立表示理论的基石。这包括： 群与向量空间的定义： 回顾群的基本性质，以及向量空间作为表示载体的必要知识。 表示的定义与性质： 详细介绍一个群作用在一个向量空间上的概念，即表示。我们将讨论表示的等价性、可约性与不可约性。 例子： 通过一系列具体的例子，例如对称群、循环群、矩阵群的表示，帮助读者直观理解表示的概念。 第二部分：有限群的表示 本部分将聚焦于有限群的表示理论，这是表示理论中最成熟和广泛研究的领域之一。 不可约表示与特征标： 引入特征标的概念，它是研究不可约表示的强大工具。我们将证明特征标的线性无关性，以及它们如何唯一地决定一个表示。 群代数： 探讨群代数及其与群表示的关系。我们将证明半单性，并介绍通过群代数的结构来理解群表示的方法。 诱导表示： 学习如何从子群的表示构造出大群的表示。我们将深入研究诱导表示的性质，以及 Mackey–Frobenius 互易律。 亏格与维数： 分析不可约表示的个数（亏格）及其维数与群结构的关系。 模与投射： 进一步讨论更一般的模（modules）和投射（projectives），以及它们在表示理论中的作用。 具体群的表示： 深入研究一些重要有限群的表示，例如交错群、单群等，展示理论在实际问题中的应用。 第三部分：紧致群的表示 本部分将扩展到更广泛的紧致群，特别是李群及其表示。 哈尔测度： 介绍紧致群上的哈尔测度，它是定义积分和平均运算的关键。 不可约酉表示： 探讨紧致群的不可约酉表示，并证明其完备性。 Peter–Weyl 定理： 这是紧致群表示理论中的一个核心定理，它表明紧致群的李群代数的函数空间可以通过其不可约表示的张量积来分解。 李群与李代数： 介绍李群及其李代数之间的关系，以及李代数表示如何帮助理解李群表示。 紧致李群的表示： 重点研究紧致李群，例如正交群、酉群等的表示。我们将介绍 Weyl 群、权（weights）等概念，以及它们在描述这些群的表示中的作用。 高次群的表示： 进一步探讨特殊线性群（$SL(n, mathbb{C})$）等非紧致但重要的李群的表示，尽管它们不属于紧致群的范畴，但其表示理论与紧致群的表示理论有着深刻的联系。 第四部分：进阶主题与应用 在掌握了基本理论之后，我们将触及一些更高级的主题和表示理论的应用。 张量范畴： 以更抽象和现代的视角，将表示视为张量范畴中的对象。 顶点代数与表示： 介绍顶点代数在无穷维表示理论中的作用，以及它们如何与一些量子场论和统计力学模型相关联。 有限群表示的应用： 讨论表示理论在其他数学领域（如代数几何、数论）以及物理学（如量子力学、粒子物理学）中的应用。 紧致群表示的应用： 探讨紧致群表示在调和分析、微分几何以及数学物理中的重要作用。 学习方法与风格 本书的写作风格力求清晰、严谨，并辅以大量的例证。每一章都包含了概念的详细阐述、定理的证明以及相关的练习题，旨在帮助读者深入理解并熟练掌握表示理论的各个方面。我们鼓励读者在学习过程中主动思考，并通过解决练习题来巩固所学知识。 本书适合数学系高年级本科生、研究生以及对表示理论感兴趣的科研人员。对于有群论、线性代数和抽象代数基础的读者而言，本书将提供一个扎实的进阶学习路径。

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当我拿起《有限和紧致群的表示》时，我立刻感受到了那种扑面而来的学术气息。这本书的排版和用词都极具古典数学著作的风格，每一个定义、每一个引理都带着一种不容置疑的权威性。不同于一些现代教材试图用大量例子来“软化”抽象概念，这本书选择了一条更直接的路径：通过证明的逻辑力量来展现美感。书中对表示论在不同代数结构（如李代数或环）上的推广都有所涉猎，尽管篇幅有限，但足以勾勒出表示论广阔的应用前景。我个人认为，本书最大的亮点之一是对“张量积”（Tensor Products）的表示如何分解的论述，这是后续理解更多复杂结构的关键。作者在这部分的处理方式极其清晰，展示了如何利用 Schur Functions 或其他代数工具来系统地计算这些分解。对于研究生来说，这本书是攻克表示论研究难点的必备良药，它能教会你如何像一个专业的代数几何学家那样去思考问题——关注不变性、关注结构分解、关注同构的判断标准。

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坦白说，这本书的阅读体验颇有些“硬核”，它无疑是为那些已经具备扎实数学背景、渴望深入钻研表示论的专业人士准备的“圣经”级别读物。作者的叙述风格极其凝练，几乎没有冗余的铺垫或过于口语化的解释，所有的篇幅都用来构建严密的数学框架。比如，在探讨特征标理论（Character Theory）的部分，作者直接跃入到特征标的内积性质及其与表示的不可约性之间的深层联系，那种直接面对核心问题的勇气令人钦佩。我特别关注了书中关于置换群（Permutation Groups）表示的章节，作者运用了非常巧妙的视角，将组合学的直观性与群论的抽象性巧妙地结合起来，构建出了一套强大的分析工具。如果你的目标是进行前沿的数学研究，或者需要将表示论应用于如粒子物理或量子信息等领域，这本书提供的理论深度是无可替代的。它不是那种“速成”教材，更像是一部需要反复查阅、标记和思索的工具书，其价值在于其完备性和无可挑剔的严谨性。

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这本书给我带来的最大冲击是其对紧致群表示的深度挖掘。如果说有限群的表示相对容易在有限的维度上进行操作，那么面对无限维的紧致群，挑战陡然增加。本书出色地平衡了理论的难度和读者的接受度，通过引入诸如 Haar 测度、紧致群上的积分等概念，成功地将傅立叶级数提升到了泛函分析的高度。我对作者如何证明任何酉（Unitary）表示都可以被分解为不可约表示的直和这一点印象深刻，这不仅仅是一个代数上的结论，更是连接分析学与群论的桥梁。它强调了在无限维空间中，保持“可分解性”是多么重要且不易得。读完这部分，我感觉自己对“对称性”的理解从简单的群作用，升华到了对无限维空间结构保持的深刻认识。这本书的价值在于它敢于直面这些高难度的分析与代数交叉点，并提供了一套优雅的解决方案。

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这本《有限和紧致群的表示》绝对是代数领域里的一部里程碑式的巨著，它以一种极其严谨和深刻的方式，剖析了表示论中最为核心和基础的部分。我尤其欣赏作者在处理抽象概念时所展现出的清晰逻辑链条，仿佛在引领读者一步步揭开群表示背后那层层叠叠的数学美感。书中对舒尔引理（Schur's Lemma）的阐述细致入微，从最基础的定义到其在不可约表示分类中的决定性作用，每一个细节都被梳理得井井有条，让人在阅读时几乎不会产生任何理解上的障碍。此外，对于紧致群（Compact Groups）的引入，更是将有限群的理论提升到了一个新的高度，傅立叶分析与群论的完美结合，特别是Peter-Weyl定理的推导过程，展现了作者深厚的数学功底和高超的教学艺术。尽管内容涉及大量高等代数和拓扑学的预备知识，但本书的结构设计使得即使是初次接触这一领域的读者，也能在循序渐进中建立起坚实的理论基础。它不是一本轻轻松松就能读完的书，需要投入大量的时间和精力去消化每一个定理的证明，但最终的回报是巨大的——一种对数学结构本质的深刻洞察力。

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从教学法的角度来看，这本书的风格是高度集中的，它要求读者必须有很强的自主学习能力。它不会过多地停留在动机的阐述上，而是迅速进入定理的陈述和证明。我欣赏它在某些关键定理的证明中，会同时展示不止一种证明思路——例如，在某些地方会先给出基于线性代数的直观证明，随后再补充一个更具代数几何意味的深入证明。这种对比极大地丰富了对同一数学事实的不同理解层面。例如，在讨论特征标的性质时，作者展示了如何利用迹（Trace）的概念来完全确定一个表示，这简直是数学中的“奥卡姆剃刀”的最佳体现。对于那些希望通过阅读经典著作来提升自己数学素养的读者，这本书无疑是一个极佳的选择，它所蕴含的数学智慧和结构美感，远超一般教科书的范畴，它塑造的是一种看待数学问题的独特视角。

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if an irreducible representation is self-conjugate (unitarily equivalent to its complex conjugate) but not real (can't be given by all real matrices by choice of basis), then the representation space has the structure of a vector space over the quaternions in such a way that every representation matrix is quaternionic linear!

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